003-Функция нескольких переменных ppt

Лектор Беркімбаева С.Б.

Көп айнымалы функциялардың анықтамасы

Көп айнымалы функциялардың анықтамасы

Көп айнымалы функциялардың шегі мен үзіліссіздігі

Анықтама.

X = {(x1, x2 , …, xn) | xiXi  ℝ } , U  ℝ  берілсін.

Функция f : X  U функциясы n айнымалыдан тәуелді функция д.а.:

u = f(x1, x2 , …, xn) ,

f – x1, x2 , …, xn және u арасындағы сәйкестікті беретін заңдылық.

X –функцияның анықталу облысы (D(u) ),

x1, x2, …, xn – аргументтер (тәуелсіз айнымалылар),

U – мәндер облысы (E(u) ),

u (u U) – тәуелді айнымалы (функция).

2. Көп айнымалы функциялардың шегі

Aℝ саны f(x) функциясының x x0 -ге ұмтылғандағы шегі деп аталады, егер >0 >0 xU*(x0, ) орындалса, онда f(x)U(A, ) .

2. Көп айнымалы функциялардың шегі

2. Көп айнымалы функциялардың шегі

Aℝ саны f(x) функциясының x x0 -ге ұмтылғандағы шегі деп аталады, егер >0 >0 xU*(x0, ) орындалса, онда f(x)U(A, ) .

(x,y)  MxOy ;

 z = f(x,y) = f(M), мұндағы MDxOy .

(x,y,z)  MOxyz 

(x,y,z)  MOxyz 

 u = f(x,y,z) = f(M), мұндағы MDOxyz .

Осылайша (x1, x2 , …, xn) нүктелерін n-өлшемді кеңістіктің нүктесінің декарт координаталары деп есептейміз де n айнымалыдан тәуелді функцияны қарастырамыз:

ℝn – n-өлшемді кеңістік,

u = f(M)  , мұндағы M(x1, x2 , …, xn)ℝn .

Егер M1(x1), M2(x2)Ox , онда олардың ара қашықтығы

(| M1M2 |) :

Егер M1(x1,y1), M2(x2,y2)xOy , онда

Егер M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2)Oxyz , онда

Егер M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2)Oxyz , онда

Егер

M1(x1, x2 , …, xn),  M2(y1, y2 , …, yn)ℝn

онда

Анықтама.

Aℝ саны f(M) функциясының M M0 -ге ұмтылғандағы шегі д.а. егер >0 >0

MU*(M0, ) , онда f(M)U(A, ) .

3. Көп айнымалы функциялардың үзіліссіздігі

u = f(M) функциясы M0 ℝn функциясының айналасында

анықталған болсын.

Анықтама 1. f(M) функциясы M0 нүктесінде үзіліссіз д.а. егер

Егер u = f(M) функциясы M0 нүктесінің айналасында анықталған болса (M0 есептемегенде), бірақ осы нүктеде анықталған болмаса, онда функция M0 нүктесінде үзілісті деп, ал M0 – нүктесі үзіліс нүктесі д.а.

Дербес туындылар

z = f(x,y) , D(z) = D  xOy , D – ашық облыс болсын.

M0(x0,y0)D .

M(x0 + x,y0)D нүктесін қарастырамыз.

z = f(x,y) функциясы өсімше алады:

xz(M0) = f(M) – f(M0) = f(x0 + x,y0) – f(x0,y0).

xz(M0) - z = f(x,y) функциясының x бойынша M0(x0,y0) нүктесіндегі дербес өсімшесі д.а.

Анықтама.

Анықтама.

шегі (егер ол бар болса) z = f(x,y) функциясының x айнымалысы бойынша M0(x0,y0) нүктесіндегі дербес туындысы д.а.:

немесе

деп белгіленеді.

(и )

Сәйкестігі D1(D2) D(f) облысында анықталған функция болып табылады.

Оны z = f(x,y) функциясының x (y) айнымалысы бойынша дербес туындысы деп атайды:

z = f(x,y) функциясының x және y айнымалылары бойынша дербес туындысын табуды z = f(x,y) функциясының x және y айнымалылары дифференциалдау деп атайды:

Мысал. Келесі функцияның x және y бойынша дербес туындысын табыңыз:

f(x,y) = x2 + xy2 + y3

Шешімі.

Шешімі.

f(x,y) = x2 + xy2 + y3

Шешуі:

Жоғары ретті дербес туындылар

z=f(x,y) функциясының D  xOy  осінде анықталған дербес

туындылары бар болсын.

және функцияларын бірінші ретті дербес туындылар деп атайды.

Белгіленуі:

Белгіленуі:

МЫСАЛ. Келесі функцияның 2-ші ретті дербес туындыларын табыңыз:

z = x4 + 3x2y5 .

z = x4 + 3x2y5 .

z = x4 + 3x2y5 .

Күрделі функцияның дербес туындылары

Айталық z = f(x,y) болсын, мұндағы x = 1(u,v), y = 2(u,v).

Онда z –u және v айнымалыларынан тәуелді күрделі функция.

x және y айнымалылары для z үшін аралық айнымалылар деп аталады.

ТЕОРЕМА (күрделі функцияның туындысы туралы).

Айталық z = f(x,y) болсын, мұндағы x = 1(u,v), y = 2(u,v).

Егер f(x,y), 1(u,v), 2(u,v) дифференциалданатын болса, онда келесі формулалар ақиқат

(1)

Келтірілген ТЕОРЕМА аргументтер саны екіден артық болған жағдайға да ақикат, яғни егер

u = f(x1, x2 , …, xn) болса, мұндағы xi = i(t1, t2 , …, tm) (i = 1,2, …, n),

онда

Көп айнымалыдан тәуелді функцияның дербес жағдайы

Көп айнымалыдан тәуелді функцияның дербес жағдайы

1) Айталық z = f(x,y), x = 1(t), y = 2(t).

онда z – t айнымалысынан тәуелді күрделі функция.

Егер f(x,y), 1(t), 2(t) дифференциалданатын болса, онда келесі

формула ақиқат:

(2)

2) Айталық z = f(x,y), мұндағы y = (x)

Онда z – x бір айнымалыдан тәуелді күрделі функция.

Егер f(x,y), (x) дифференциалданатын болса, онда келесі формула орынды

(3)

(3) z функциясының толық туындысы деп аталады.

Шешімі: