№1 дәріс. Кіріспе. Математиканың бұлақ-бастаулары (IX ғ. дейін). Курстың объектісі, пәні және оны оқытудың мақсат-міндеттері. Курстың басқа оқу пәндерімен байланысы
жүктеу/скачать 1,12 Mb. Pdf көрінісі
|
|
5. XVII ғ. басында тригонометриялық және логарифмдік функциялардың кестелерін жасау, сондай-ақ 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑖𝑛𝑥 функциясының жеті және одан да көп ондық таңбаға дейінгі дәлдіктегі мәндерін табу жүзеге асырылды. Мұндай есептеулерде сызықтық интерполяция кеңінен қолданылды. Алайда, сызықтық интерполяцияның бірінші айырма тұрақты болмаған жағдайда жеткіліксіз болатындығы байқалды. Бірақ екінші немесе үшінші, жалпы жағдайда ∆ 𝑛 𝑓(𝑋) рекуренттік формуламен анықталатын қандай да бір n-ретті айырма тұрақты болуы мүмкін. Сонда жоғары ретті айырмалар бойынша біртіндеп кіші ретті айырмаларды, ең соңында функцияның ізделінді мәндерін табуға болады. Математиктер осы мәселелемен байланысты интерполяция теориясы мен шекті айырмалар теориясын жасауға кірісті. Интерполяцияның осы ерекшелігін ең алғаш Бригс байқап, өзінің еңбектерінде интерполяциялау техникасының негізін салды (1624). Интерполяция мәселесінде И.Ньютон, Дж.Грегори жоғары табыстарға жетті. Интерполяциялық есептеулер мен формулалар жаңа математикалық әдістердің дамуында орасан зор рөл атқарады. Олар, бір жағынан, көптеген есептерді, сандық есептеулерге келтіріп, математиканың қолданбалы мүмкіндігін кеңейтсе, екінші жағынан, жаңа квадратураларға және қатарларға жіктелулерге келтірді. 6. XVII ғ. есептеу техникасының дамуы жинақталатын шектеусіз тізбектерге қатысты бірқатар жаңалықтардың ашылуына алып келді. Тізбектердің жаңа түрі – шектеусіз көбейтінділер Виеттің еңбегінде (1593) енгізілді. Дж.Грегоридің орталық конустық қиманың секторын квадратуралауды зерттеуде қолданған әдісінің (1667) Виеттің әдісіне біршама ұқсастығы бар. XVII ғасырда ашылған жаңалықтардың бірі функцияны жуық түрде өрнектеуде шектеусіз қатарлардың пайдаланылуы болып табылады. Осыған қатысты логарифмдер айрықша роль атқарғанын атап айту керек. Бұл салада Сен Венсан (1647), Сараса (1649), Менголи (1659), Броунер (1657, 1668) елеулі нәтижелерге қол жеткізді. Менголи өз еңбектерінде бірқатар сандық қатарларды қосындылауды жүзеге асырды, ∑ 1 𝑘 ∞ 𝑘=1 гармониялық қатарының жинақсыздығын дәлелдеді. Бұл алынған нәтижені Менголи жалпыланған гармониялық ∑ 1 𝑎+𝑘𝑏 ∞ 𝑘=1 қатарына таратты, сондай-ақ гармониялық қатардың дербес қосындыларын логарифмдерді зерттеуде қолданды. Логарифмдік функцияның зерттеудегі келесі қадам оны жіктеусіз дәрежелік қатар түрінде өрнектеу болып табылады. Бұл маңызды қадамды математика тарихына Меркатор жасады (1668). Ол ln(1 + 𝑥) , Вомис 𝑙𝑛 1 1−𝑥 , Грегори 𝑙𝑛 1+𝑥 1−𝑥 логарифмінің шектеусіз қатарға жіктелуін тапты (1668), Галле log(1 + 𝑥) логарифмінің шектеусіз қатарға жіктелуін қорытып шығарды (1695). Гармониялық қатарлардың логарифмдермен байланысы оларды тыңғылықты зерттеуге түрткі болды және асимптотикалық қосындыларды қарастыруға алып келді. Оны Ньютон жүзеге асырды (1669,1671). Логарифмді қатарға жіктеу дәрежелік қатарларды пайдаланудың жалғыз ғана мысалы болып табылмайды.Дж.Грегори басқада көптеген жіктеулерді ашты.Осы кезеңде қатарлар теориясында Ньютон жоғары нәтижелерге қол жеткізіп, бірқатар жіктеулерді ұсынды. Ол сонымен бірге аргументтің бөлшек және теріс дәрежелері бойынша қатарларға жіктеулерді де қарастырады. 7. XVII ғасырда ғылым мен техника арасындағы қатынастардағы түбірлі өзгерістер математикада инфинитезималдық (infinitesimal- шектеусіз аз деген мағынаны білдіреді) есептердің ролінің күшеюіне әкеліп соқтырды. Квадратуралау, кубатуралау, ауырлық центрін анықтау, жанамалар жүргізу, экстремумдарды табу және т.с.с. туралы есептер осындай есептердің мысалдары болып табылады. Инфинитезималдық есептерді шешу барысында дифференциалдық және интегралдық есептеулер элементтерінің қоры жинақталып, олардың жалпы теориялық негіздемелерін жасау қолға алынды. Кеплер, Кавальери, Галилей, Торричелли, Паскаль, Валлис, Роберваль, Ферма, Декарт, Барроу және т.б. математиктер осы бағыттағы атқарылған жұмыстарға өлшеусіз үлес қосты. Әдетте, математика тарихшылары инфинитезималдық есептерді шешудің әдістерін екі топқа бөліп қарастырады, олар: интеграциялық әдістер және және дифференциалдық әдістер. Интеграциялық әдістер аудандарды, көлемдерді, ауырлық центрлерін және т.с.с. табуға берілген есептерді шешу барысында ежелгі замандардан бастап-ақ пайда болды. Уақыт өте келе математикада біртіндеп мұндай әдістердің бай қоры жинақтала берді. XVII ғ. басында интегралдық әдістер жаңа сапалық деңгейге көтеріліп, бар-жоғы 50-60 жыл ішінде интегралдық есептеулердің пайда болуына алып келді. Жариялану мерзімі жағынан алғанда, олардың ең алғашқысы шектеусіз аз шамаларға тікелей амалдар қолданумен байланысты И.Кеплердің әдісі болып табылады (1615). Кеплердің пікірі бойынша, кез келген фигураны немесе денені шектеусіз аз бөліктердің жиындарының бірігуі түрінде қарастыруға болады. Дәл осы сияқты, ол бойынша, шарды төбелері шардың центрінде жататын, ал табандары біріге отырып, шар бетін құрайтын саны шексіз жіңішке кішкене конустар жиынының бірігуі ретінде қарастыруға болады. Кеплер әдісіне қарсы шыққандар да оның әдісін қолдап, дамытуға ұмтылғандар да болды. Олардың арасында Б.Кавальери ерекше орын алады. Оның математиканың дамуында маңызды роль атқарған екі еңбегін атап көрсетуге болады, олар: «Үздіксіздіктердің бөлінбейтіндері арқылы жаңа әдіспен баяндалған геометрия» (1635) және «Алты геометриялық тәжірибе» (1647). Бұл еңбектер Кавальеридің атақты «бөлінбейтіндер әдісіне» арналған. Бөлінбейтіндер әдісі жазық фигуралар мен денелердің өлшемдерін анықтау мақсатында ойлап табылған. Мұнда фигуралар сияқты, денелер де өлшемділігі бір бірлікке аз болатын элементтерден құралады деп қарастырылады. Кавальери енгізген барлық бөлінбейтіндердің жиынтығы шын мәнінде, анықталған интеграл ұғымына сәйкес келеді. Бөлінбейтіндер әдісі бұрын шешілмеген қиын есептерді шешуге мүмкіндік жасады. Алайда, бұл әдістің өзіндік кемшіліктері болды. Бірақ соған қарамастан, XVIII ғ. бірінші жартысында геометриялық квадратуралау түріндегі интегралдау мәселесі өзін жақсы қырынан таныта бастады. Сөйтіп барлық күш-жігер оны нақтылауға және неғұрлым жалпы нәтижелерге қол жеткізуге бағытталды. Квадратуралауды Кавальериге жақын қолданғандар: Паскаль, Ферма. Интегралдық есептеулердің кейбір элементтерін қамтитын осы сияқты идеялар Батыс Еуропа математиктері арасында кеңінен таралды. XVII ғ. 60-жылдарына қарай интегралдау әдістері алгебралық және тригонометриялық функциялардың кең кластарын қамтып, көптеген есептер шешілді. Енді бір ғана серпіліс интеграциялық әдістердің барлық жиынтығын бірыңғай көзқарас тұрғысынан қарастыра отырып, интегралдық есептеулердің жасау қалған еді. XVII ғ. инфинитезималдық есептерді шешудің дифференциалдық әдістеріне де ерекше мән берілді. Сол кезеңде дифференциалдық әдістермен шешілетін есептердің үш түрі болды, олар: 1) қисықтарға жүргізілетін жанамаларды анықтау есептері; 2) функцияның максимумы мен минимумын табу есептері; 3) алгебралық теңдеулердің еселі түбірлерінің бар болу шарттарын іздеу есептері. Есептердің осы үш тобына бірқалыпты емес қозғалыс жағдайында траекторияның кез келген нүктесіндегі жылдамдықты анықтаумен байланысты есепті де қосуға болады. XVII ғ. дейін жанаманы қисықпен бір ғана ортақ нүктесі бар және локальдық біржақтылық қасиеттерге ие болатын түзу ретінде түсінуге ұмтылушылық басым болды. Экстремумға берілген есептер саласында диоризмдер қою орын алды. Алгебралық теңдеулердің еселі түбірлері болғанда, берілген теңдеу қиылысулары арқылы шешілетін қисықтар қиылыспайды, бірін-бірі жанап өтеді. Сонымен, XVII ғ. дифференциалдық әдістер арқылы шешілетін әр алуан есептер арасында қандай бір байланыстардың бар екендігі белгілі бола бастады. Галилей мен оның шәкірттері қисыққа жүргізілген жанама мен нормальды табу үшін жүйелі түрде кинематикалық әдістерді қолданды. Кинематикалық әдісті жүйелі түрде баяндауды Роберваль жүзеге асырды (1640). Алдымен нормальды жүргізіп алып, сонан кейін оған перпендикуляр етіп жанаманы да жүргізуге болады. Нормальдар әдісі деп аталатын бұл әдісті өзінің Р.Декарт ұсынды. Мұнда ол бірнеше қисықтарға нормаль сызық жүргізудің мысалдарын келтірді. Декарттың зерттеулерінің ықпалымен И.Гудде алгебралық теңдеулердің еселі түбірлерін табу әдісін жасады (1657-1658). Диффференциалдық әдістер Ферманың еңбектерінде анағұрлым айқын формада көрінеді. Ол нормальдарды анықтауға да экстремумдарды табуға да қолдануға болатын басқа әдісті ойлап табады (1629) Сонымен қорыта айтқанда, XVII ғ. ортасына қарай қазіргі күні дифференциалдау амалы арқылы шешілетін есептердің мол қоры және оларды шешудің әртүрлі әдістері жинақталды. Алайда, әлі де болса, дифференциалдаудың математикадағы ерекше амал ретінде мән-мағынасы айқындала қоймаған еді. XVII ғ. аяқ шеніне дейін жоғарыдағы есептер әртүрлі әдістердің көмегімен шешілді. Ежелгі және ортағасырлық математиктер ойлап тапқан ескілікті әдістер кейбір жаңа әдістермен толықтырылды. Геометриялық салулар, механикалық пайымдаулар, Декарт математикасы негізіндегі жаңа әдістер – осылардың барлығы өзара тығыз бірлікте дифференциалдық есептеулердің пайда болуына әкеліп соқтырды. 8. ХVII ғ. ортасына дейін дифференциалдау және интегралдаумен байланысты есептердің және оларды шешу барысында орындалатын «жанаманы табу амалы» мен «квадратуралау амалының» табиғатының өзара кері амалдар екендігі айқын болмады. Соған қарамастан, осы байланысты жекеленген есептерді қарастыру арқылы тағайындауға әрекет жасаған математиктер болды, алайда, олардың осы байланысты тағайындау барысында алған нәтижелерін сипаттайтын әртүрлі өрнектер алғашқыда қазіргі қалыптасқан аналитикалық пайымдаулардан мүлде алшақ еді. «Жанаманы табу амалы» мен «Квадратуралау амалының» арасындағы байланысты механикалық және геометриялық тұрғыда Торричелли, Менголи, Валлис және т.б. қарастырып, елеулі нәтижелерге қол жеткізді. Көп ұзамай квадратура есептері мен жанама жүргізу есептерінің өзара кері есептер екендігі туралы жалпы тұжырым жасалды. Оны жүзеге асырған – И.Барроу (1669). Мұнда Барроу өзара кері болып табылатын екі теореманы дәлелдеді. Сонымен, Барроудың бұл теоремалары айнымалы жоғарғы шегі бар интеграл мен дифференциалдық есептеулердің өзара кері сипаттағы амалдар екендігін тағайындауға мүмкіндік туғызды. Алайда, бұл мәселе ХVII ғ. математиктеріне кейінірек, Ньютон мен Лейбниц интегралдау мен дифференциалдау амалдарын аналитикалық тұрғыда анықтағаннан кейін ғана түсінікті болды. жүктеу/скачать 1,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|