№1 дәріс. Кіріспе. Математиканың бұлақ-бастаулары (IX ғ. дейін). Курстың объектісі, пәні және оны оқытудың мақсат-міндеттері. Курстың басқа оқу пәндерімен байланысы

асырды (1715). Дифференциалдаудың аналитикалық түрде өрнектелген және қорытылып 
шығарылған ережелерінің толық жиынтығын Эйлер жариялады (1755).
 
Осы кезеңде көп айнымалысы бар функциялар туралы ілім дами бастады. 
Алғашқыда оған қатысты символикада бірізділік болған жоқ. Лейбниц дербес
𝜕𝑦
𝜕𝑥
туындысы 
үшін ϑy символын ұсынды. Эйлер x,y,z бойынша дербес туындыларды P,Q,R әріптерімен 
таңбалады (1728), кейінірек, оларды кіші p,q,r әріптерімен ауыстырды. Бертінге дейін 
дербес туындыларды белгілеуді d әрпі пайдаланылып келді, оларды 
𝜕 әрпімен 
белгілеуді 
математикаға алғаш рет Якоби енгізді (1841). 
Бірнеше айнымалы бойынша дифференциалдау нәтижесінің дифференциалдау 
ретіне тәуелсіз болатындығын алғаш Н. I Бернулли анықтады (1721), бұл теореманың 
алғашқы дәлелдемелерін бір-біріне тәуелсіз түрде Эйлер (1740) мен Клеро (1739) ұсынды. 
Көп айнымалысы бар функцияның толық дифференциалы ұғымы да пайда болды. Көп 
айнымалысы бар функциялар туралы ілім Эйлердің «Дифференциалдық есептеулері»
жарыққа шығар тұста анализдің үлкен бөліміне айнала бастады. Мұнда көп айнымалысы 
бар күрделі функцияларды, сондай-ақ айқындалмаған функцияларды дифференциалдау 
ережелері келтірілді. Лагранж бірнеше туындысы 0-ге айналған кездегі функцияның 
экстремумын табудың әдісін келтірді (1742). Эйлер экстремумдарды анықтауға Тейлор 
қатарын қолданды (1755). Лагранж Эйлердің бұл бағыттағы зерттеулерін жетілдіріп, 
Тейлор қатарының орнына қалдық мүшесі бар формуланы пайдаланды (1774). Көп 
айнымалысы бар функциялардың экстремумын табуға берілген есепті алғаш рет Маклорен 
қарастырды (1729). Эйлер f(z,y) функциясы экстремумының бар болу шарттарын көрсетті, 
Лагранж Эйлер шарттарының жеткіліксіз болатындығын анықтады, экстремум туралы 
есепті шешуде қазіргі күні өз атымен аталатын анықталмаған көбейіткіштер әдісін 
пайдаланды (1759). 
Ньютон интегралдаудың алғашқы функцияларды іздеу, ал Лейбниц шектеусіз аз 
дифференциалдауды қосындылау ретіндегі мағынасына баса мән берген еді. Лейбниц пен 
И.Бернулли анықталған интегралдарды мүмкіндігінше, алғашқы функцияны іздеуге 
келтіруге тырысты. Эйлер интегралдық есептеулерді «мөлшерлердің дифференциалдары 
арасында берілген қатынас бойынша мөлшердің өздерінің арасындағы қатынасты табу 
әдісі» ретінде анықтады (1770). Эйлерде анықталған интеграл қандай да бір қосымша 
шарттардағы дербес интегралдың қабылдайтын мәні ретінде қарастырылды. XVIII ғ. 
математиктерінің интегралдауға арналған жұмыстары анықталған интегралдың зерттеудің 
ерекше объектісі ретінде бөлініп шығуына алып келді. Осының барысында Лаплас 
«анықталған интеграл» (1782) және «интегралдау шектері» (1786), Лакруа «анықталмаған 
интеграл» терминін (1798) ұсынды. Лакруа анықталған интегралды интегралдық 
қосындылардың шегі ретінде анықтауға және осы шектің бар болатындығы туралы 
мәселені қоюға жақындап келді. Алайда, интегралдың қосынды (немесе қосындының шегі) 
ретіндегі түсініктемесінің анықталған интегралды алғашқы функция мәндерінің айырмасы 
арқылы есептеудің жалпы ережесімен қабыспайтындығын көрсететін кейбір парадокстар 
айтыла бастады (Даламбер,Эйлер, т.б.). Бұл математиктер алдына анықталған интегралдың 
бар болу мәселесін жаңа аналитикалық құралдар арқылы зерттеудің қажеттігін қойды. 
Үздіксіз функцияның анықталған интегралы туралы ұғымның қазіргі қабылданған 
анықтамасын беру 
XIX 
ғасырда ғана жүзеге асырылды (Коши, 1823).
XVIII ғ. элементар функциялар арқылы өрнектелетін анықталмаған интегралдарды 
есептеу әдістерін жасауда маңызды табыстарға қол жеткізілді. Бұл кезеңнің математиктері 
көптеген 
интегралдарды 
элементар 
функциялар 
мен 
олардың 
шектеулі 
суперпозициялары арқылы өрнектей алды. Лейбниц пен И.Бернуллидың рационал 
функцияларды интегралдауға байланысты ашқан жаңалықтары бар мәселені шеше алған 
жоқ. Жалпы айтқанда, рационал функцияны элементар бөлшектерге жіктеу арқылы 
интегралдаудың әдістерін Эйлер көрсетті(1730).
Алгебралық иррационалдықтарды интегралдау мәселесіне қатысты Ньютонның 
зерттеулерін Коутс дамытты (1722). Көптеген математиктер дифференциалдық биномның 

элементар функциялармен рационалдандыру арқылы интегралдау шарттарын іздеумен 
айналысты (Голдьбах, т.б.). Алайда, интегралдау ережелері мен техникасына формасы да 
мазмұны да бойынша XVIII ғ. 60-жылдарына дейін математиктердің өздері де 
қанағаттанған жоқ деуге болады. Элементар функцияларды интегралдаудың барлық дерлік 
жағдайлары алғаш рет Эйлердің «Интегралдық есептеулерінде» қарастырылды (1768). Ол 
кейінірек күрделі иррационал функциялардың дербес түрлерін интегралдау әдістерін де 
көрсетті.
8. 
Екі және үш еселі интегралдық қосындыларды есептеулермен алғаш шексіз аздар 
анализінің негізін салушылар кездескен болатын. Ньютон екі және үш еселі интеграларды 
есептеумен мәндес болатын есептеулерді орындаса, Лейбниц 1697 ж. бұрын белгісіз болған 
екі есе қосындылаулардың мысалдарымен таныс болған еді. Еселі интегралдар 
теориясының жалпы бастамаларының негізі Эйлердің еңбектерінде салынды (1770). Ол 
интегралдау мәселесін алдымен бір, сонан кейін екінші айнымалы бойынша екі рет 
дифференциалдағанда Z
𝑑𝑥𝑑𝑦
өрнегі алынатындай функцияны іздеу ретінде қарастырды,
жазық облыста алынған қандай да бір екі еселі интегралды есептеу әдісінің жалпы 
сипаттамасын шардың сегізден бір бөлігінің көлемін табуға берілген есепті шешіп көрсету 
арқылы түсіндіреді. Сонымен қатар ол айнымалыларды ауыстыру туралы мәселені
қарастырды және аналитикалық түрлендірулер арқылы негізгі формуланы қорытып 
шығарды.
Үш еселі интегралдарды алғаш рет Лагранж қарастырды (1775). Мұнда ол 
есептеулерді жеңілдету үшін айнымалыларды ауыстыруды пайдаланады және формальды 
түрлендірулер жолымен оның жалпы формуласын қорытып шығарып, оны сфералық 
координаталар жағдайына қолданды. Алайда, Лагранж қандай да бір белгіленулер 
енгізбейді, бірақ олар көп кешікпей, Лапластың жұмыстарында ене бастады (1785).
Эллипстік интегралдар туралы ілім анализдің үлкен бір саласына айналды. Мұндай 
есептер алғаш XVIII ғасырдың екінші жартысында механикада және серпімділік 
теориясында кездесті. Көп кешікпей ғалымдар эллипстік интегралдардың ерекше 
қасиеттерге ие жаңа трансценденттік функциялар екендігіне көз жеткізді. Фаньяно 
эллипстік интегралдарды қосудың алғашқы теоремаларын ашты, алайда, оның 
жаңалықтары бірден өз жалғасын тапқан жоқ. Осы кезеңде математиктер иррационал 
функциялардан алынған әртүрлі интегралдарды эллипстер мен гиперболалардың 
доғаларына келтіру туралы аса маңызды мәселемен айналысты (Маклорен,1742;Даламбер, 
1746-48). XVIII ғ. 50-жылдары Эйлер эллипстік интегралдарды қосудың жалпы теоремасын 
тұжырымдады (1768). Тура әдісті пайдалана отырып, Лагранж да осы нәтижеге қол жеткізді 
(1766-69). Әр түрлі конустық қималардың доғаларын өзара салыстыру, яғни эллипстік 
интегралдарды түрлендіру, интегралдарды классификациялау және олардың канондық 
формаларын анықтау сияқты мәселелермен Эйлер, Лексель, Мальфатти, Даламбер, 
Лагранж, Ланден, Лежандр сияқты математиктер айналысты (1775-86). Лежандрдың 
жұмыстарында эллипстік доғалар ыңғайлы тригонометриялық формаға келтірілді және 
олардың жинақты қатарларға жіктелулері берілді (1793-94).
XVIII ғ. екінші жартысында меншіксіз интегралдарды есептеу мәселесі 
қарастырылып, ол үшін әртүрлі әдістер қолданылды (қатарларға жіктеу, интеграл 
таңбасының астында дифференциалдау, комплекстік алмастырулар, т.б.). Меншіксіз 
интегралдарды жорымал алмастырулар жасау арқылы есептеуде (Лаплас, 1785-86; Эйлер, 
1794; т.б.), сондай-ақ сандық интегралдауда (Эйлердің интегралды интегралдық қосынды 
ретінде түсінуге негізделген әдісі, 1768; Симпсон формуласы, 1668; т.б.) бірқатар 
табыстарға қол жеткізілді. 

жүктеу/скачать 1,12 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: