№1 дәріс. Кіріспе. Математиканың бұлақ-бастаулары (IX ғ. дейін). Курстың объектісі, пәні және оны оқытудың мақсат-міндеттері. Курстың басқа оқу пәндерімен байланысы
жүктеу/скачать 1,12 Mb. Pdf көрінісі
|
|
2. Шексіз аздар анализі мен оның негіздемесін жасау мәселесі шектеусіз дәрежелік қатарлардың математикалық теориясын жасаумен тығыз байланыста дамыды. Бұл орайда, Тейлор және Маклорен қатарлары маңызды роль атқарғанын атап айту керек. Тейлор өз атымен аталатын қатар мен теореманы жариялады (1715) және оларды кейбір дифференциалдық теңдеулерді шешуде және теңдеулердің жуық түбірлерін табуда қолданды. Осы еңбектегі XI теоремада ол Лейбниц – Бернулли қатарын қорытып шығарды. К.Маклорен қатарға жіктеуді қорытып шығарудың жаңа әдісін көрсетті (1784). Мұнымен қоса ол аналитикалық функцияны өрнектейтін дәрежелік қатарды өзінің алған Тейлор қатары екендігін көрсетті, көрсеткіштік және тригонометриялық функциялардың, сондай- ақ биномның дәрежелік қатарларға жіктелулерін келтірді. Қандай да бір функцияның a аргументінің өсімшелерінің дәрежелері бойынша Тейлор қатарына жіктелуін Эйлер көрсетті (1741). Даламбер Тейлор қатарын басқа жолмен (қайталап интегралдау әдісімен) қорытып шығарды (1754). Алайда, оның пайдаланған символикасы ыңғайсыз болды. Тейлор қатары мүшелерінің дербес қосындылары беретін жуықтаулардың дәлдігін бағалау туралы мәселені жалпы түрде алғаш рет Лагранж қойып, оны шешті. Сондықтан қазіргі күні Тейлор формуласының қалдық мүшесі Лагранж түріндегі қалдық мүше деп аталады. XVII–XVIII ғғ. математиктері жинақты қатарларды жинақсыз қатарлардан айыра білді. Алайда, осы айырмашылықтың анық түсіндірмесі мен соған сәйкес терминологияны қалыптастыру кейбір парадокстардың төңірегіндегі пікірталасқа байланысты кешеуілдей берді (Гранди, Лейбниц, Вариньон, Н. І Бернулли және т.б.). Н. І Бернулли алғашқы болып «жинақсыз қатар» терминін қолданды, бірақ оған анықтама бермеді (1713). «Жинақты қатар» атауын алғаш Лейбниц пайдаланфп, түсініктеме берді (1713). Маклорен қатардың қосындысы ұғымына анықтама берумен шектеліп қалған жоқ, оны қатардың тұрақты таңбалы қатардың жинақтылық белгісін қорытып шығаруда пайдаланды. Даламбер тұрақты таңбалы қатардың жинақтылық шарттары туралы мәселені қарастырды (1768). Шын мәнісінде, қазіргі күні Даламбердің атымен аталатын жинақтылық белгісін алғаш рет ұсынушы – Варинг (1776). Эйлер тұрақты таңбалы қатардың жинақтылығының аса айқын емес қажетті критерийін (1740), Лейбниц ауыспалы қатардың жинақтылық критерийін (1714) ұсынды. XVIII ғ. тригонометриялық қатарларды зерттеуде елеулі нәтижелерге қол жеткізілді (Эйлер, 1744; 1752; Д.Бернулли, 1773). Эйлер, Клеро және Даламбердің планеталық қозғалыстар теориясы бойынша зерттеулерінде (1 − 𝑎 cos 𝑥) −𝑚 түріндегі функцияны x бұрышының еселі мәндерінің косинустары бойынша қатарларға жіктеу мәселесі кездеседі. 𝑚 = 3 2 болатын жағдайды Эйлер қарастырды, бірақ ол қатардың алғашқы бес мүшесінің сандық коэффициенттерін табумен шектелді (1749). Даламбер берілген функцияның жіктелуінің алғашқы екі коэффициентін көрсетті (1754). Біраз уақыттан кейін жалпы нәтиже Клероның жұмысында алынады (1759). Мұнда ол кез келген 𝑓(𝑥) функциясының (0; 2𝜋) аралығындағы шектеусіз қатарға жіктелуін келтірді. Эйлер шектеулі аралықта берілген функцияны тригонометриялық қатарға жіктеумен байланысты елеулі нәтижелерге қол жеткізді (1777). Сонымен, қарастырылып отырған кезеңде тригонометриялық қатарлар теориясының негізі қаланды. 3. XVIII ғасырдың ортасына қарай Лейбництің, Иоган, Бернуллидің, Коутстың, Даламбердің және Эйлердің еңбектері арқасында комплекс аргументтің элементар функцияларының теориясы дами бастады. Оларды дәрежелік қатарларға шектеусіз көбейтінділерге және қарапайым бөлшектерге жіктеу мәселелерін зерттеу және комплекс айнымалыларды интегралдық есептеулерде қолдану қолға алынды. XVIII ғ. математиктері аналитикалық функциялар теориясын жасауды жүйелі түрде жүзеге асыра қоймағанымен, кейіннен оның жалпы теориясының жасалуында ерекше роль атқарған бірқатар аса маңызды идеялар мен әдістерді ұсынды. Осылайша, конформдық түрлендірулер, аналитикалық функциялардың бірден-бірлігі қасиеті енгізілді. Ең басты жаңалық аналитикалық функцияның нақты және жорамал бөліктері арасындағы байланыстың тағайындалуы болып табылады. XVIII ғ. ортасында комплекс айнымалылардың дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді шешуде қолданылу маңызы арта түсті. Бұл мәселе Даламбер мен Эйлердің гидромеханикалық зерттеулерінен бастау алады. Даламбер толық дифференциалдың шарты мен комплекс облыстағы күрделі емес түрлендірулер арқылы ізделінді функцияларды формулалар түрінде жазды. Кейінірек, ол (1761) және Лагранж (1766) 𝑢 мен 𝜗 функцияларының екінші ретті 𝜕 2 𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕 2 𝑧 𝜕𝑦 = 0 дифференциалдық теңдеуінің шешімі гармониялық түйіндес функциялар болып табылатындығын тағайындады. Эйлер 𝑢 және 𝜗 функцияларын тригонометриялық қатарлар арқылы өрнектеді. Эйлер осы салада тағы бір аса маңызды қадам жасап, анықталған интегралдарды комплекс айнымалылардың көмегімен есептеулер туралы зерттеулер жүргізді (1793, 1797). Мұнда ол бірқатар аса қиын анықталмаған интегралдарды есептеудің жаңа әдістерін ұсынды. Эйлердің бұл интегралдау әдістері кейіннен Пуассонның (1813 ж.бастап) және Кошидің (1814 ж.бастап) комплекс облыстағы қисық сызықтық интеграл ұғымын енгізумен байланысты зерттеу жұмыстарын қолға алуларына әсер етті. Әрине, XVIII ғ. комплекс облыстағы интеграл ғана емес, сонымен қатар комплекс айнымалысы бар функцияның туындысы туралы да айқын түсінік қалыптаспаған еді. Алайда, соған қарамастан, қатаң түрде болмаса да, аналитикалық функциялардың аса маңызды бірқатар қасиеттері анықталды. 4. XVII ғасырдың соңы мен XVIII ғасырдың басында математиктер айналысқан әр алуан проблемалар қарапайым дифференциалдық теңдеулердің әр түрлі түрлерін шешу мәселесіне келіп тірелді. Бұл бағыттағы жұмыстар Лейбниц математикалық мектебінің өкілдері еңбектерінен бастау алады. Дифференциалдық теңдеулерді интегралдауда ең алғашқы болып айнымалыларды ажырату әдісі қолданылды. И.Бернулли бірінші ретті біртекті 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑦 𝑥 ) теңдеуін y=xt алмастыруы арқылы шешті (1691-1692) және сонымен қатар кейбір жағдайларда интегрралдық көбейткішті қолданды. Лейбниц бірінші ретті сызықтық 𝑦 ′ = 𝑝(𝑥)𝑦 + 𝑞(𝑥) теңдеуін ізделінді шешімді 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 түрінде өрнектеу арқылы айнымалылары ажыратылған түрге келтірді (1695). Я.Бернулли 𝑦 ′ = 𝑝(𝑥)𝑦 + 𝑞(𝑥)𝑦 𝑛 теңдеуін шешу туралы есепті ұсынды. Лейбниц бұл теңдеуді сызықтық теңдеуге келтіру жолын көрсетті (1697), И.Бернулли оны сызықтық теңдеуге келтіру үшін 𝑦 1−𝑛 = 𝑧 алмастыруын ұсынды (1697). И.Бернулли траекториялар туралы есепті ұсынып (1697), оны бірінші ретті дифференциалдық теңдеуге қалай келтіруге болатындығын көрсетті (1698). Лейбниц те осындай нәтиже алды, ал Я.Бернулли логарифмдік қисықтардың ортогональдық траекторияларын анықтады (1698). И.Бернулли 𝑦 + 𝐴𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝐵𝑥 2 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 + ⋯ + 𝑄𝑥 𝑛 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 = 0 дифференциалдық теңдеуін 𝑥 𝑝 интегралдық көбейткішінің көмегімен шешіп көрсетті (1700). Осы жұмыстардың барысында XVII ғасырдың аяғында шексіз аздар анализінің құрамында жаңа пән - дифференциалдық теңдеулер теориясы пайда болды және ол XVIII ғасырда дербес ғылым саласына айналды. 1723ж. Дж.Риккати мынадай есепті ұсынды: 𝑥 𝑛 𝑑𝑞 𝑑𝑥 + 𝑢 2 = 𝑛𝑥 𝑚+2𝑛−1 жүктеу/скачать 1,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|