№1 дәріс. Кіріспе. Математиканың бұлақ-бастаулары (IX ғ. дейін). Курстың объектісі, пәні және оны оқытудың мақсат-міндеттері. Курстың басқа оқу пәндерімен байланысы

бесінші 
дәрежелі 
теңдеудің 
𝑥 = √𝐴
5
+ √𝐵
5
+ √𝐶
5
+ √𝐷
5
алмастыруы 
арқылы 
шешілмейтіндігі белгілі болды. Бұл тұжырымның маңызы зор болды, өйткені кейіннен 
Абель бесінші дәрежелі теңдеудің радикалдар арқылы шешілмейтіндігі туралы атақты 
теоремасын дәлелдеуде осы тұжырымға сүйенді (1824). Алгебралық теңдеулердің 
резольвенталарын зерттеуге Безу (1768), Бринг(1786), Варинг(1762) сияқты математиктер 
үлкен үлес қосты. 
Жоғары дәрежелі теңдеулерді радикалдар арқылы шешу проблемасында 
Лагранждың еңбектері (1771) маңызды рөл атқарды. Олар XIX ғ. Галуа теориясының пайда 
болуына әсерін тигізді (1830).
3. 
Бұл дәуірдегі математиканың жоғары қарқынмен дамыған салаларының бірі - 
сандар теориясы. Онымен Эйлер, Гольдбах, Лагранж, Лежандр, Гаусс және т.б. айналысып, 
жоғары нәтижелерге қол жеткізді. Осылардың арасында Эйлердің еңбектері маңызды орын 
алады. Оның сандар теориясына арналған жүзден астам еңбектері бар. Эйлер осы салада 
өзіне дейінгі алынған көптеген тұжырымдарды дәлелдеді, сандар теориясындағы жаңа 
аналитикалық әдістерді ойлап тапты және бірқатар жаңа есептерді қарастырып, оларды 
шешті.
Ферма XVII ғ. «
2
2
𝑛
+ 1
(мұндағы 
n
=1,2,3,...) түріндегі сандардың барлығы жай сан 
болады» деген тұжырым жасаған еді. Эйлер бұл тұжырымның қате екендігін көрсетті 
(1738). 
n
=5 болғанда-ақ
2
2
5
+ 1
саны 641-ге бөлінеді. Ферманың «Кез келген 
4n+1
түріндегі жай сан екі квадраттың қосындыса жіктеледі және мұндай жіктелу жалғыз ғана 
болады» деген тұжырымын, сондай-ақ сандар теориясының бірқатар теоремаларын 
дәлелдеп көрсетті. Ферманың ұлы теоремасының екі жағдайын (
n
=4 және 
n
=3) дәлелдеп 
берді (1747, 1769). Ферма сандар теориясының тағы бір аса маңызды есебін ұсынған 
болатын: 
«Кез келген берілген жай саннан артық болатын жай санды табу керек».
Эйлер 
осымен байланысты мынадай теореманы дәлелдеді: «Бүтін коэффициентті
𝑎
0
𝑥
𝑛
+
𝑎
1
𝑥
𝑛−1
+ 𝑎
2
𝑥
𝑛−2
+ ⋯ 𝑎
𝑛
, (𝑛 ≥ 1) 
түріндегі көпмүшенің ешқайсысы да 
х
-тің барлық бүтін 
мәндерінде жай сандарға тең болатын мәндерді қабылдамайды» (1752).
 
Сандар теориясының аса маңызды теоремаларының бірі - Ферманың кіші теоремасы:
«Жай рационал санына бөлінбейтін а саны үшін p-1 санының бөлгіші болып табылатын 
және 
𝑎
𝑓
-1 саны p-ға бөлінетіндей f саны бар болады».
Эйлер осы теореманың биномдық 
коэффициенттердің қасиетіне негізделген дәлелдемесін келтірді (1741), кейінірек оның 
екінші дәлелдемесін ұсынды (1761) және осы бағыттағы зерттеулерін одан әрі дамыта 
отырып, Ферманың кіші теоремасын жалпылады (1763, 1784). Эйлер ашқан өзаралықтың 
квадраттық заңы сандар теориясына қосылған үлкен үлес болып табылады (1751). 
Эйлердің бірқатар жұмыстары анықталмаған теңдеулер мен олардың жүйелеріне 
арналған.
𝑥
2
− 𝑎𝑦 = 1 
түріндегі Ферма теңдеуінің бүтін шешімдерін табу әдісін көрсетті 
(1759),
𝐴𝑥
2
+ 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦
2
+ 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 
теңдеуін 
𝑢
2
− 𝑎𝑣
2
= 𝑏 
түріне келтіріп, 
оның шешімін Ферма теңдеуінің шешімімен байланыстырды (1769). 
Эйлер аддитивтік және мультипликативтік есептерді шешуде де аналитикалық 
әдістерді шебер пайдалана білді. Оның бірқатар жұмыстары бөлгіштердің қосындысына 
арналған рекурренттік формулаларды қорытып шығаруға арналған (1751; 1738; 1740; 1748; 
т.с.с.). Ол мынадай теңбе - теңдікті қорытып шығарды: 
𝛱
1
(1−
1
𝑝𝑛
)
= ∑
1
𝑘
𝑛
∞
𝑘=1
,
мұндағы p - 
барлық жай сандарды, ал k барлық натурал сандарды қабылдайды (1744). Бұл - сандардың 
бүкіл аналитикалық теориясының негізі болып табылатын Эйлердің атақты теңбе-теңдігі. 
Одан жай сандардың шексіз көп екендігі туралы теореманың жаңа дәлелдемесі келіп 
шығады.
Сандар теориясының дамуына Лагранж үлкен үлес қосты. Ол Ферма теңдеуін 
√а
- 
ны үздіксіз бөлшекке жіктеу арқылы шешті (1769). Ферманың 
𝑥
2
− 𝑎𝑦 = 1 
теңдеуі мен 
анықталмаған 
𝐴𝑥
2
+ 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦
2
+ 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
теңдеуінің бүтін және рационал 
шешімдерін табу мәселесін толық зерттеді (1769; 1770), квадраттық формалар теориясының 

бастамасы болып табылатын тамаша жаңалық ашты (1775), Баше де Мезириактың төрт 
квадрат туралы теоремасының толық дәлелдемесін берді (1772), Вильсон теоремасының 
екі дәлелдемесін келтірді (1773),т.б.
XVIII ғ. бойына сандар теориясы бойынша жүргізілген жұмыстар Лежандр 
еңбектерінде қорытындыланды (1798). Мұнда оның өзінің және өзіне дейінгі 
математиктердің сандар теориясы бойынша алған ғылыми нәтижелері толық және жүйелі 
түрде баяндалып, өзаралық заңының қазіргі заманғы тұжырымдамасы келтірілді. Осының 
көмегімен Лежандр Эйлердің бірқатар тұжырымдамаларын және басқа да теоремаларды 
дәлелдеді, 

жүктеу/скачать 1,12 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: