№10 дәріс. «Жоғары математика» дәуірі (

0,1, … 𝑛 − 1
) 
түріндегі жіктелуді қарастырды (1665),
 
санау жүйелері туралы білімдерді 
жүйелеу қолға алынды (Лейбниц, 1720; Бюффон, 1777; Вернебург,1798). 
 
XVII ғасырдағы есептеу құралдарын жетілдіру бағытындағы жұмыстар (Непер, 
Гутер, Шикард, Паскаль, Лейбниц) XVIII ғ. өнертапқыштарына үлкен әсерін тигізді. 
Осының барысында Ган (1774), Мюллер (1783) сияқты оқымыстылар өз арифмометрлерін 
құрастырды, логарифмдік және тригонометриялық кестелер жасауда (Гардинер,1742; 
Вега,1783), жай сандар мен құрама сандардың бөлгіштерінің кестелерін жасауда 
(Ламберт,1770; Вега,1797) бірқатар табыстарға қол жеткізілді. 
XVII ғ. шектеусіз ондық бөлшектерге, периодты бөлшектерге арнайы көңіл бөлінді 
(Валлис, т.б). Ламберт бөлімі 2 мен 5-тен өзгеше қысқартылмайтын бөлшектің жіктелуінің 
периодтылығын және кез келген периодты бөлшектің рационалдығын дәлелдеді (1758), 
период цифрларының саны туралы бірқатар теоремаларды тағайындады (1769). 
Мөлшермен осы мезгілде Робертсон периодты бөлшектерге амалдар қолдану мен оларды 
жай бөлшектерге айналдыру ережелерін көрсетіп берді. 
Теориялық зерттеулерде үздіксіз бөлшектер де қолданыла бастады. Үздіксіз 
бөлшектерге қатысты бірқатар теоремалар дәлелденіп, үздіксіз бөлшектерді шектеусіз 
қатарларға түрлендіру тәсілдері, периодты бөлшектердің квадрат теңдеулермен және 
квадрат иррационалдықтармен байланысы ашып көрсетілді, 
e
санының үздіксіз бөлшектер 
түрінде өрнектелуі табылды, кез келген рационал санның шектеулі үздіксіз бөлшекпен 
өрнектелетіндігі және алымдары 1-ге тең болатын периодты үздіксіз бөлшектің квадрат 
теңдеудің түбірі болатындығы көрсетілді (Эйлер,1744, 1748). Лагранж соңғы тұжырымға 
кері тұжырымды дәлелдеді (1770). 
XVIII ғ. басына қарай математиктерге комплекс сандар жүйесі белгілі болды, 
ғасырдың бірінші жартысында алгебра мен анализдің барлық белгілі амалдарын теріс және 
жорымал сандарға қолдану мәселесі игерілді. Алайда, соған қарамастан, сан туралы ілімде 
әлі де болса бірқатар қиындықтар туындап отырды. Бұл кезеңде натурал сандар 
арифметикасының өзі теориялық түрде негізделе қоймаған еді, натурал санды әлі де болса, 
бірліктердің жиыны ретінде ғана түсіну орын алды.
XVII-XVIII ғғ. рационал бөлшектер туралы ілім мына сияқты әртүрлі көзқарастарға 
негізделіп құрылды: 1)бөлшекті бірліктің тең үлестері немесе бүтін сан болып 
табылмайтын екі натурал санның қатынасы түрінде қарастыру; 2) оң нақты санның біртекті 
екі шаманың қатынасы ретіндегі Ньютон ұсынған жалпы анықтамасын басшылыққа алу.
Иррационал сандар Ньютон бойынша, өлшемдес емес шамалардың қатынасы 
ретінде анықталды. Бұл анықтаманың жаппай таралуына Х.Вольфтың «Барлық 
математикалық ғылымдардың алғашқы негіздемелері» атты оқулығы (1710) үлкен әсер етті. 
Сонымен бірге иррационал сандарға қолданылатын амалдарды рационал сандарды 
шектеусіз ондық бөлшектерге жуықтаулар ретінде қарастыра отырып, зерттеудің алғашқы 
әрекеттері жасалды (Кестнер, 1758). Алайда, XVIII ғ. математиктері иррационал сандар 
теориясын құра алған жоқ.
Санның ньютондық анықтамасы оң нақты сандарды ғана қамтыды, мұнда нөл мен 
теріс сандар қосымша түрде енгізілді. Жалпы алғанда, сол кезеңнің математиктері теріс 
шамаларды «ештеңеден де кем шама» ретінде анықтады. Алайда, бұл анықтама 
математиктердің барлығын бірдей қанағаттандырған жоқ. Кейбір математиктер оң 
сандарды қосылатын және плюс таңбасымен берілетін, ал теріс сандарды азайтылатын және 
минус таңбасымен берілетін шамалар ретінде анықтады (Маклорен, Клеро, Эйлер).
XVIII 
ғасырда теріс сандарға қолданылатын амалдардың негіздемесін жасау әрекеттері 
байқалады. Алайда, бұл әрекеттер оң сандарға қолданылатын амаладардың заңдары мен 
қасиеттерін теріс сандар облысына формальді және айқын емес түрде қондыру стпатында 
жүргізілгендігін атап айту керек. Көптеген математиктер (Вольф, Даламбер, Клеро, Гурьев, 
т.б.) теріс сандарды нақты мазмұны жоқ, ойдан шығарылған ұғымдардың ыңғайлы 
таңбалары ретінде карастырды.

Осы кезеңде математиктер нақты сандарға қандай да бір амалдарды қолдану 
барысында пайда болатын, бірақ олардан өзгеше кез келген «сандық мөлшерлерді» 
жорымал сандар деп атады және оларға арифметиканың кәдімгі ережелері бойынша 
амалдар қолдануға болады деп болжады, бірақ математикада қандай жорымалдықтардың 
кездесуі мүмкін екендігін түсіндіре алмады. Сол кездегі алгебра мен анализдегі белгілі 
амалдардың барлығының да осы түрге келтіретіндігін Даламбер мен Эйлер тағайындады. 
Алайда, бұл сияқты жалпы нәтижелерге дейін жорымал шамалар теориясында бірқатар 
проблемалар қойылып, кейбір жаңалықтар ашылды (теріс сандардың логарифмдері, 
𝑎 +
√−𝑏 
түріндегі сандардан түбір табу, т.б. мәселелер). Комплекс сандар теориясында 
айтарлықтай нәтижелер алынды (Муавр, Коутс, Вессель)
e
мен 
𝜋
сандарының арифметикалық табиғатын зерттеуде біршама жетістіктерге қол 
жеткізілді (Валлис, Грегори, Мечин, де Ланья, Эйлер,т.б.). Бұл орайда, Ламберттің 
зерттеулерін ерекше атап айту керек. Ол 1766 жылғы екі еңбегінде 
e
мен 
𝜋
сандарының 
иррационалдығын дәлелдеді. Арифметиканың қарастырылып отырған дәуірдегі дамуының 
жалпы ерекшеліктері осындай болды. 
2. 
Бұл дәуірде алгебра саласында да көптеген жаңалықтар ашылды. Крамер бүкіл 
сызықтық алгебраға жол ашқан белгісіз сызықтық теңдеулер жүйесін анықтауыштар 
арқылы шешудің жалпы алгоритмін ұсынды (1750), белгісіздерден құтылу арқылы шешу 
әдісін тапты (1767). Осыдан кейін анықтауыштар зерттеу пәніне айнала бастады 
(Вандермонд, Лаплас, Лагранж). Жалпы алғанда, XVIII ғ. анықтауыштардың әртүрлі 
таңбалануы пайдаланылды, олардың қазіргі түрдегі таңбалануын Кэли енгізді (1841). 
Анықтауыштар теориясының дамуына Лаплас, лагранж, Гинденбург, Роте айтарлықтай 
үлес қосты.
 
Алгебраның басты назарда болған проблемаларының бірі алгебраның негізгі 
теоремасы болды. Ол XVII ғ. алғаш рет Роте, Жирар және Декарт еңбектерінде қазіргіден 
өзгеше түрде тұжырымдалған еді. Теореманың алғашқы дәлелдемесін Даламбер ұсынды 
(1746), Эйлер оның алгебралық дәлелдемесін тапты. Д.Бернулли алгебралық теңдеулерді 
жуықтап шешудің жаңа әдісін ұсынды (1738). Эйлер алгебралық теңдеулердің түбірлерінің 
шекараларын анықтауға арналған әдісті тапты (1755). Варинг алгебралық теңдеулер 
түбірлерінің симметриялық функциялары теориясын дамытты, кез келген бүтін рационал 
симметриялық функцияны дәрежелік қосындылар арқылы және элементар симметриялық 
функциялар арқылы өрнектеу әдісін көрсетті (1762). Түбірлері берілген теңдеудің 
түбірлерінің айырмасына кері болатын теңдеулер Варингке берілген теңдеудің нақты 
түбірлерінің шекараларын тағайындауға мүмкіндік туғызды (1762). Ламберт алгебралық 
теңдеулерді жуықтап шешудің екі тамаша әдісін ұсынды (1758). Бұл бағытта Лагранждың 
зерттеулерінде жалпылық сипаты басым нәтижелерге қол жеткізілді (1770). Ол алгебралық 
теңдеулерді үздіксіз бөлшектердің көмегімен шешу әдісін ұсынды (1769). Муррайль 
Ньютон әдісін жан-жақты талдап, оның кейбір кемшіліктерін қалай жоюдың жолдарын 
көрсетіп берді (1768).
Осы дәуір алгебрасындағы негізгі проблемалардың бірі алгебралық теңдеулерді 
радикалдар арқылы шешу проблемасы болды. Жалпы алғанда, бұл проблеманың екі жалпы 
алгебралық (функционалдық) және арифметикалық (сандық) аспектілері бар. Бірінші 
жағдайда әріп коэффициенті 
𝑓
𝑛
(𝑥) = 𝑥
𝑛
+ 𝑎
1
𝑥
𝑛−1
+ 𝑎
2
𝑥
𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎
𝑛−1
𝑥 + 𝑎
𝑛
= 0
теңдеуінің түбірлері рационал операциялар мен радикалдардың көмегімен оның 
коэффициенттері арқылы өрнектелетіндей формалар іздестіріледі. IX ғ. 

жүктеу/скачать 1,12 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: