Гюйгенс–Штейнер теоремасы

Соңғы теңдеудің қосылғыштарын талқылайық. Бірінші қосылғыш, (8.3.3)-ке қарағанда, 
0
I
- 
ге тең. Екінші қосылғыш – дене массасы мен екі ось арасындағы қашықтық квадратының 
көбейтіндісі, яғни, 
2
md
- қа тең. Үшінші қосылғышты былай түрлендірейік: 
1
1
2
2
2
,
N
i
i
N
i
i
i
c
i
x m
d
x m
md
mdx
m
=
=

 =
=


мұндағы
c
x
oxyz
−
жүйесінде дененің инерция центрінің координатасы. 
ОО 
осі инерция 
центрі арқылы өткендіктен
0
c
x
=
, демек, (8.3.5)-тегі соңғы мүше нольге тең.
Сонымен, (8.3.5) дәлелдеу керек болған теореманың (8.3.2) математикалық өрнегі түріне 
келеді. 
8.3.3. Дененің нүктеге салыстырмалы инерция моменті
Егер инерция моментін нүктеге қарағанда анықтаса, оны есептеу біршама оңай болады. 
Дененің 
О
нүктеге сәйкес инерция моменті деп оны құраушы материялық нүктелер 
массалары мен олардың 
О
нүктеге дейін қашықтықтар квадраты көбейтінділерінің 
қосындысын айтады: 
2
1
,
N
i
i
i
θ
m R
=
=

(8.3.6) 
мұнда 
R
i
– массасы 
m
i
материялық нүктенің 
О
нүктеге дейінгі қашықтығы. 
Кез келген денені массалары 
m
i
материялық нүктелер жиынтығы ретінде қарастырайық. 
О
нүктесімен декарттық координаталар жүйесінің бас нүктесін біріктіріп, массасы
m
i
, 
координаталары 
,
,
x y z
i
i i
кез келген нүктені таңдап алайық (8.3.2-сурет). Таңдап алған 
нүктенің 
x
, 
y
, 
z
осьтеріне сәйкес инерция моменттері 
(
)
(
)
(
)
2
2 ;
2
2 ;
2
2
I
m y
z
ix
i
i
i
I
m x
z
iy
i
i
i
I
m x
y
iz
i
i
i
=
+
=
+
=
+
(8.3.7) 
формулалармен өрнектеледі. Бүкіл дененің 
x, y, z
осьтеріне қарағандағы инерция 
моменттерін барлық құраушы нүктелер үшін жазылған теңдіктерді қосу нәтижесінде: 
(
)
(
)
(
)
2
2 ;
1
2
2 ;
1
2
2 .
1
N
I
m y
z
x
i
i
i
i
N
I
m x
z
y
i
i
i
i
N
I
m x
y
z
i
i
i
i
=
+

=
=
+

=
=
+

=
(8.3.8) 
Енді 8.3.8) теңдеулердің оң және сол жақтарын мүшелеп қосайық: 
(
)
2
2
2
2
.
1
N
I
I
I
m x
y
z
z
x
y
i
i
i
i
i
+
+
=
+
+

=
(8.3.9) 
Жақша ішіндегі көбейткіш 
2
2
2
2,
x
y
z
R
i
i
i
i
+
+
=
мұндағы 
R
i
– материялық нүктеден 

координаталар жүйесінің бастама нүктесіне дейінгі қашықтық. Енді (8.3.6)-ны ескерсек, 
(8.3.9) - дан мынадай нәтиже аламыз: 
2 .
I
I
I
θ
z
x
y
+
+
=
(8.3.10) 
Сонымен,
дененің бір нүктеде қиылысатын үш өзара перпендикуляр осьтерге сәйкес 
инерция моменттерінің қосындысы оның нүктеге қарағандағы екі еселенген инерция 
моментіне тең.
8.3.4. Дене массасын жазық үлестіру
Пішіні кез келген, заты қалай болса солай үлестірілген жұқа пластинаны қа-
растырайық. Декарттық координаталар жүйесін пластина 
хоу
жазықтығында жататындай 
қылып таңдап алайық (8.3.3-сурет). Осындай таңдаудың арқасында пластина үшін 
координата 
z 
= 0. Пластинаның 
x
, 
y
, 
z
осьтеріне сәйкес инерция моменттері
(
)
2
1
2
1
2
2
1
;
;
N
x
i
i
i
N
y
i
i
i
N
z
i
i
i
i
I
m x
I
m y
I
m x
y
=
=
=
=
=
=
+



(8.3.11) 
формулалармен анықталады. 
Пластинаның 
О
нүктеге қарағандағы инерция моменті келесі өрнекпен есептеледі: 
(
)
2
2
1
N
i
i
i
i
θ
m x
y
=
=
+

. (8.3.12) 
Олай болса, (8.3.11) және (8.3.12) теңдіктерден мынадай қатыстар алуға болады: 
I
x
 + I
y
 = I
z
; I
z
 = θ.
(8.3.13)
 
 
 
8.3.3 - 
сурет
m
i
(x
i
,y
i
)
 
x 
 
О 
 
z 
 
 y 
 
8.3.2 - 
сурет
m
i
(x
i
,y
i
,z
i
)
 
R
i
x 
О 
z 
 y 
•

8.4. Қозғалмайтын осьті айналған қатты дененің кинетикалық энергиясы 
Бұрыштық 
ω
жылдамдықпен кез келген 
z
осьті айналған қайсыбір қатты дененің 
қозғалысын қарастырайық (8.4.1-сурет). Дененің кинетикалық энергиясы оны құраушы 
материялық нүктелердің кинетикалық энергияларының қосындысынан тұрады. Айналу 
осінде жатқан 
О 
нүктеге қарағанда радиус-векторы
i
r
, массасы
i
m
кез келген материялық 
нүктені таңдап алайық. Бұл нүкте айналу осінен
i
R
қашықтықта тұр, яғни ол радиусы
i
R
шеңбер бойымен
i
υ
жылдамдықпен қозғалады.
Нүктенің кинетикалық энергиясы 
2
2
i
i i
к
m υ
E
=
формуламен анықталатыны белгілі. 
Сызықтық жылдамдықты бұрыштық жылдамдық арқылы өрнектеп, түгел дененің 
кинетикалық энергиясын табайық: 
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
sin α
.
2
2
2
2
i
N
N
N
N
i
i
к
k
i
i
i
i
z
i
i
i
i
m
m
E
E
ω r
ω
m R
ω I
=
=
=
=
=
=

=
=
=




ω r
(8.4.1) 
Материялық нүктелер жүйесінің ілгерілемелі қозғалысы кезінде оның кинетикалық 
энергиясы қорытқы күш жұмысымен, яғни ішкі және сыртқы күштер жасайтын жұмыспен, 
анықталынатыны туралы жоғарыда сөз болып еді. Денені құраушы материялық нүктелерге 
әрекет жасаған күштер жұмысы мен кинетикалық энергияның оған сәйкес өзгеруінің 
арасындағы байланысты анықтайық. Дененің массасы 
i
m
материялық нүктесіне әрекет 
жасаушы ішкі күштердің қорытқы күшін 
i
f
деп, ал сыртқы күштердің тең әрекет күшін 
i
F
деп белгілейміз. Уақыттың 
dt
аралығында бұл күштер 
(
)
(
)
i
i
i
i
i
i
i
i
i
dA
dt
dt
dt
dt
=
+
=

+


жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: