1 дәріс. Механикалық қозғалыстардың теориялық негіздері

Күштер және потенциалдық энергия. Жоғарыда келтірілген деректерге қарағанда, 
денелердің өзара әрекеттерін не күш арқылы, не әрекеттескен бөлшектер 
координаталарының функциясы түрінде өрнектелген потенциалдық энергия арқылы 
бейнелеуге мүмкіндік бар. Екінші әдіс тек әрекет күштері консерватив болғанда ғана 
қолданылады. Макроскопиялық механикада екі әдісті де қолдануға болады. Ал, 
микродүниені 
зерттейтін 
кванттық 
механикада 
потенциалдық 
емес 
күштер 
қарастырылмайды, сондықтан физиканың бұл саласында бөлшектердің өзара әрекетін тек 
екінші әдіс көмегімен суреттейді. 
Күштер мен потенциалдық энергия арасындағы байланысты табу үшін (5.3.3) қатысты 
мына түрде жазайық: 
n
d
d
= −
F r
E
, (5.3.4) 
мұнда 
dr 
– материялық нүктенің кез келген шексіз аз орын ауыстыруы, 
F 
– оған әрекет 
жасайтын күш, 
n
E
– нүкте орнын анықтайтын 
r
радиус-векторының немесе 
x
, 
y
, 
z
координаталарының функциясы болатын потенциалдық энергия. Ары қарай (5.3.4) теңдікті 
күштің тікбұрышты координаталар жүйесінің осьтеріне 
,
,
x
y
z
F F F
проекциялары арқылы 
жазып шығуға болады: 
x
y
z
n
F dx
F dy
F dz
dE
+
+
= −
. (5.3.5) 
Потенциалдық энергия жүйе күйінің функциясы болғандықтан, оның 
n
dE
толық 
дифференциалы 
n
n
n
n
E
E
E
dE
dx
dy
dz
x
y
z



=
+
+



(5.3.6) 
түрде өрнектеледі. Енді (5.3.5) және (5.3.6)-ны бірге қарастырсақ және 
(
)
, y, z
n
E
x
функциясы белгілі болса, күш құраушылары потенциалдық энергияның координаталар 
бойынша дербес туындылары арқылы есептелетінін көреміз, яғни 
; F
;
.
n
n
n
x
y
z
E
E
E
F
F
x
y
z



= −
= −
= −



(5.3.7)
Соңғы қатысты векторлық түрде беруге болады. Ол үшін (5.3.7) теңдеулердің сол және оң 
жақтарын сәйкес , ,
x
y
z
e e e
бірлік векторларға көбейтіп, мүшелеп қосамыз: 
n
n
n
x
x
y
y
z
z
x
y
z
E
E
E
F
F
F
x
y
z





+
+
= −
+
+







e
e
e
e
e
e
. 
Теңдіктің сол жағындағы қосынды материялық нүктеге әрекет жасайтын қорытқы 
потенциалдық күш, ал сол жақтағы векторлық мүшені скаляр физикалық шаманың, 
бұл жерде потенциалдық энергияның 
градиенті 
деп атап, 
n
gradE
- өрнегімен 
белгілейді: 
n
gradE
= −
F
(5.3.8) 
Кейде 
n
gradE
белгісінен басқа 
n
E

символы да қолданылады, мұнда 

(набла) – векторлық 
оператор, мысалы, тікбұрышты координаталар жүйесінде ол мынаған тең: 
x
y
z
x
y
z



 =
+
+



e
e
e
(5.3.9) 
Сонымен, (5.3.8)-теңдеуді мына түрде де жазуға болады: 
n
E
= −
F
. (5.3.10) 
Жалпы, физикада, математикада кеңінен тараған 
градиент 
түсінігі тек потенциалдық 
энергияға ғана емес, координаталар функциясы болатын кез келген басқа да скаляр 
шамаларға (мысалы: температура, қысым) қатысты қолданылады.

n
n
E
gradE
n

=

n
. (5.3.11) 
Бұдан 
n
gradE
потенциалдық энергия тұрақты бетке нормаль, 
n
E -нің өсу жағына 
бағытталған вектор 
екені туралы қорытынды шығады. 
5.4. Толық механикалық энергияның сақталу заңын қолдану шарттары 
Материялық нүкте мен Жерден тұратын тұйық жүйені қарастырайық. Нүкте Жер бетіне 
жақын орналасып, оның тартылыс күші әрекетінен қозғалсын (5.4.1-сурет).
5.4.1 - сурет 
Потенциалдық энергияның нольдік деңгейі үшін Жер бетін аламыз. Бірінші жағдайда (1 
нүкте) нүкте Жермен салыстырғанда тыныштық күйде болады, сондықтан оның толық 
механикалық энергиясы 
1
1
E
mgh
=
(5.4.1) 
формуласымен есептелетін потенциалдық энергияға тең. Ары қарай дене 1 нүктеден 2 
нүктеге еркін түсіп, 

жылдамдық қабылдасын. Онда оның толық энергиясы 
2
2
2
2
m
E
mgh

=
+
(5.4.2) 
өрнегімен анықталады. Енді қарастырылып отырған тұйық жүйенің 1 және 2 күйлердегі 
механикалық энергияларының арасындағы қатысты табайық. 
Дененің жылдамдығын кинетикалық энергия туралы теореманы (5.2.4) қолдана отырып 
анықтаймыз, яғни денеге әрекет еткен қорытқы күштің жұмысы, біздің мысалымызда 
ауырлық күшінің жұмысы, дене кинетикалық энергиясының өзгеруіне тең, яғни (5.4.1), 
(5.4.2)-лерге қарағанда: 
2
1
2
2
a
к
к
m
A
E
E

=
−
=
мұндағы 
a
A
– ауырлық күші жасайтын жұмыс. Ол (5.2.5) формула 
бойынша
(
)
1
2
a
A
mg h
h
=
−
. Соңғы екі теңдіктен 
(
)
2
1
2
2
m
mg h
h

−
=
, немесе
2
1
2
2
m
mgh
mgh

=
+
(5.4.3) 
яғни, 
1
2
E
E
=
қорытындыға келеміз. Сонымен, консерватив күштер (ауырлық күштер) 
әрекет еткен тұйық жүйеде толық механикалық энергия өзгерусіз тұрақты болып қалады.
Осы қорытындыны жалпы түрде консерватив күштер өзара әрекет еткен материялық 
нүктелердің кез келген тұйық жүйесі үшін де алуға болады. 
Енді араларында әрі консерватив, әрі консерватив емес күштер әрекет еткен 
материялық нүктелерден тұратын жүйені қарастырайық. Жүйе бір күйден екінші күйге 
h
1

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: