υ салыстырмалы жылдамдығы мен қозғалмалы жүйенің  қозғалмайтын жүйеге қарағандағы  0 υ

Массасы 
i
m
і
-ші материялық нүктенің кинетикалық энергиясы 
(
)
(
) (
)
2
2
2
2
0
0
0
1
1
2
2
2
2
i
i i
к
i
i
i
i
i
m υ
E
m
m υ


=
=

+
=
+

+







ω r
υ
υ ω r
ω r
(8.5.2) 
шамаға тең. Мұндағы екінші қосылғышты векторларды аралас көбейту ережесіне сәйкес 
түрлендіруге болады: 
(
) (
)
0
0
.
i
i

=

υ ω r
υ
ω r
(8.5.3) 
Бұрыштық жылдамдық (
ω
) мен радиус-вектор (
i
r
) өзара перпендикуляр екенін ескерсек, 
(
)
2
2
2
.
i
i
ω r

=
ω r
(8.5.4) 
Табылған (8.5.3) және (8.5.4) мәндерді (8.5.2)-ге қоямыз: 
(
)
2
2
2
0
0
1
2
.
2
i
к
i
i
i
E
m υ
r ω r


=
+

+


υ
ω
Осы өрнекті барлық 
і
бойынша (
1, 2,...
i
N
=
) қосып шықсақ, 
(
)
(
)
2
2
2
2
2
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
.
2
2
2
2
N
N
N
N
к
i
i i
i i
i i
i
i
i
i
E
υ
m
m
ω
m r
mυ
m
Iω
=
=
=
=
=
+

+
=
+

+




υ
ω
r
υ
ω
r
(8.5.5) 
Мұнда 
m 
– цилиндр массасы, 
I 
– оның 
z
осіне салыстырмалы инерция моменті. Ары қарай 
(8.5.5)-тің екінші қосылғышын былай түрлендіруге болады: 
(
)
(
)
(
)
1
0
0
0
1
0 ,
N
i i
N
i
i i
c
i
m
m
m
m
m
=
=

=

=

=


r
υ
ω
r
υ
ω
r υ
ω
мұнда
c
r
– массалар центрінің радиус-векторы. Демек, қорытынды шешімді 
2
2
0
2
2
к
mυ
Iω
E
=
+
(8.5.6) 
түрде аламыз. 
8.5.2. Цилиндрдің көлбеу жазықтықта домалауы 
Радиусы 
R
, массасы 
m
біртекті цилиндр көлбеу беттен сырғанамай түссін (8.5.2 -
сурет). Биіктігі 
h
көлбеу жазықтық көкжиекпен 
α
бұрыш құрады. Цилиндрдің бастапқы 
жылдамдығы нольге тең. Цилиндр горизонталь бетке шыққан кездегі оның бұрыштық 
жылдамдығы мен инерция центрінің жылдамдығын анықтайық. 
Сырғанау жоқ болғандықтан, 
F
ү
үйкеліс күші нольден 
0
F
максималды мәніне дейін 
(
0
cosα
kmg
=
F
) өсе алатын тыныштық үйкеліс күшіне тең болады. Оған қоса цилиндрдің
жазық бетпен түйіскен нүктелерінің көлбеу жазықтықпен байланысқан санақ жүйесінде 
сызықтық жылдамдығы нольге тең. Жылдамдықтарды қосу теоремасын қолдана отырып, 
цилиндрдің инерция центрімен байланысқан санақ жүйесінде оның көлбеу бетпен түйіскен 
нүктелерінің 
υ
’
жылдамдығы модулі бойынша инерция центрінің 
υ
c
жылдамдығына тең 
екенін көреміз: 
.
c
υ
υ
 =
(8.5.7) 
8.5.2 - 
сурет
О 
y 

m
g
 
N 
F
Y 
x 

Екінші жағынан, 
(
)
,
 =

υ
ω R
(8.5.8) 
мұнда 
R
-цилиндр радиусы. Бұрыштық жылдамдық 
ω
мен радиус 
R
-дың арасындағы бұрыш 
π/2-ге тең. Олай болса, 
υ
’
=ωR
және (8.5.7)-ге сәйкес 
υ
c
=ωR
. Демек, инерция центрінің үдеуі 
c
a
βR
=
(8.5.9) 
формуламен анықталады (мұнда 
β
– бұрыштық үдеу). 
Инерцияның центрлік бас осі өтетін 
О
нүктесі үшін қозғалыс теңдеуін жазайық:
(8.1.1), (8.1.2) теңдеулері 
c
Y
m
m
=
+ +
g
N
F
a
; 
Y
mg
N
F
I
 =
+
+
β M
M
M
(8.5.10) 
түрге келеді. Осы теңдеулердің 
х
және цилиндр инерциясының центрлік бас осіне сәйкес 
проекцияларын жазайық: 
sinα
;
,
c
Y
Y
ma
mg
F
I
RF

=
−
=
(8.5.11) 
мұнда 
I=mR
2
/2 – цилиндрдің инерция моменті. (8.5.9)-(8.5.11)-ден 
1
sinα ;
3
2
sinα ;
3
2
sinα .
3
Y
c
F
mg
a
g
g
R

=
=
 
=  
 
(8.5.12) 
Цилиндрге сырғанаусыз домалап түсуге мүмкіндік беретін шарттарды табайық. Сырғанау, 
егер 
0
,
1
sinα
cosα
3
Y
F
F
mg
kmg


(8.5.13) 
шарттар орындалса, болмайды. Бұдан 
tgα
3 .
k

(8.5.14) 
Демек, 
tgα
3
k

болса, сырғанау басталады. 
Ақырында, кинематикалық теңдеулерді қолдана отырып, 
1
3
;
sinα
h
t
g
=
(8.5.15) 
4
;
3
c
c
υ
a t
gh
=
=
(8.5.16) 
1
4
3
ω
t
gh
R

=
=
(8.5.17) 
қозғалыс уақытын, инерция центрінің жылдамдығын және домалаудың бұрыштық 
жылдамдығын табамыз. 

9 дәріс. Бір нүктесі бекітілген қатты дене қозғалысының теориялық негіздері 
9.1. Инерция тензоры. Инерция моментінің бас осьтері және олардың физикалық 
мағынасы 
 
Бір нүктесі бекітілген қатты дене қозғалысының ең бір маңызды сипаттамасы – инерция 
тензоры. Денені 
О
нүктеде бекітейік (9.1.1-сурет). Лездік бұрыштық жылдамдықты 
ω
әрпімен белгілеп, денені массалары 
i
m
материялық нүктелердің жиынтығы ретінде 
қарастырамыз. Дене импульсы моментін векторлық түрде іздейміз: 
1
,
N
i
i
i
i
m
=
=


L
r
υ
(9.1.1) 
мұнда 
i
r
– массасы 
i
m
нүктенің 
О
центрге қарағанда радиус-векторы, 
i
υ
– сол нөмірі 
і
нүктенің жылдамдығы. Кинематикадан белгілі болғандай:
i
i
= 
υ
ω r
. 
Сондықтан (9.1.1) өрнек мына түрге келеді: 
(
)
1
.
N
i i
i
i
m
=
=



L
r
ω r
(9.1.2) 
Қос векторлық көбейту формуласына сәйкес (9.1.2) теңдігінен 
(
)
2
1
1
N
N
i i
i i
i
i
i
m r
m
=
=
=
−



L
ω
r ω r
(9.1.3) 
нәтиже аламыз. Декарттық координаталар жүйесінің бастама нүктесін 
О
нүктесімен 
біріктіріп, координаталық осьтер бойындағы бірлік векторларды 
,
,
x
y
z
e e e
әріптермен 
белгілейік. Бұрыштық жылдамдық векторы және радиус-вектор координаталар осьтеріне 
проекциялары арқылы енді былай өрнектеледі: 
;
.
x x
y
y
z
z
i
x
y
z
ω
ω
ω
x
y
z
=
+
+
=
+
+
ω
e
e
e
r
e
e
e
(9.1.4) 
Векторлардың скалярлық көбейтіндісі ережесін қолданып және (9.1.4)-ті ескерсек, 
(
)
i

ω r
мына түрге келеді:
(
)
i
i
x
i
y
i
z
x ω
y ω
z ω

=
+
+
ω r
. Соңғы мәнді (9.1.3)-ке қойып, L вектордың 
координаталық осьтерге проекцияларын табамыз: 
(
)
(
)
(
)
2
1
1
2
1
1
2
1
1
;
;
.
N
N
x
x
i i
i
i
i
x
i
y
i
z
i
i
N
N
y
y
i i
i
i
i
x
i
y
i
z
i
i
N
N
z
z
i i
i i
i
x
i
y
i
z
i
i
L
ω
m r
m x x ω
y ω
z ω
L
ω
m r
m y x ω
y ω
z ω
L
ω
m r
m z x ω
y ω
z ω
=
=
=
=
=
=
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+






9.1.1 - сурет 
m
i
 
R
i
x 
О 
z 
y 
r
i

 
•

Алынған теңдеулер жүйесінде жақшаларды ашып, ары қарай түрлендірейік: 
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
;
;
.
N
N
N
x
x
i
i
i
y
i
i
i
z
i
i i
i
i
i
N
N
N
y
x
i
i
i
y
i
i
i
z
i
i i
i
i
i
N
N
N
z
x
i i
i
y
i i
i
z
i
i
i
i
i
i
L
ω
m r
x
ω
m x y
ω
m x z
L
ω
m y x
ω
m r
y
ω
m y z
L
ω
m z x
ω
m z y
ω
m r
z
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
= −
+
−
−
= −
−
+
−









(9.1.5) 
Мынадай белгілер математикалық өрнектерді ықшам қылады: 
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
;
;
;
;
;
;
;
;
.
N
N
N
xx
i
i
i
xy
i
i
i
xz
i
i i
i
i
i
N
N
N
yx
i
i
i
yy
i
i
i
yz
i
i i
i
i
i
N
N
N
zx
i i
i
zy
i i
i
zz
i
i
i
i
i
i
I
m r
x
I
m x y
I
m x z
I
m y x I
m r
y
I
m y z
I
m z x I
m z y
I
m r
z
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
= −
= −
= −
=
−
= −
= −
= −
=
−









(9.1.6) 
Осы (9.1.6) белгілерді ескере отырып, (9.1.5) жүйені қайтадан жазамыз: 
;
;
.
x
xx
x
xy
y
xz
z
y
yx
x
yy
y
yz
z
z
zx
x
zy
y
zz
z
L
I ω
I ω
I ω
L
I ω
I ω
I ω
L
I ω
I ω
I ω
=
+
+
=
+
+
=
+
+
(9.1.7) 
Қарастырылуға енгізілген (9.1.6) коэффициенттердің өлшемдігі инерция моменті 
өлшемдігімен бірдей болады. Әлбетте 
,
,
xx
yy
zz
I
I
I
шамаларды 
инерцияның осьтік 
моменттері
, ал қалған 
,
,
,
,
,
xy
xz
yx
yz
zx
zy
I
I
I
I
I
I
шамаларды инерцияның 
центрден тепкіш 
моменттері
деп атайды. (9.1.6) теңдіктерге қарағанда 
,
,
xy
yx
xz
zx
yz
zy
I
I
I
I
I
I
=
=
=
екені 
байқалады, яғни 
ij
ji
I
I
=
. 
Сонымен, дененің импульс моменті масса үлестірілуіне күрделі тәуелділікте болып, 
оның бағыты жалпы жағдайда дене айналуының бұрыштық жылдамдығы бағытымен 
бірдей емес. Төмендегі 
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
I
I
I
I
I
I
I
I
I
(9.1.8) 
шамалар жиынтығын 
инерция тензоры
деп атайды. (9.1.6) және (9.1.8)-ден көрінгендей, 
,
,
xx
yy
zz
I
I
I
диагональ мүшелерге симметриялы орналасқан басқа мүшелер қос-қостан өзара 
тең. Мұндай тензорды 
симметриялық тензор
деп атайды. Демек, симметриялық тензор, 
(9.1.6)-ға қарағанда, алты компонентасымен толық анықталады. Инерция тензоры 
координаталар жүйесінің бастама нүктесін таңдау мен координаталық осьтер бағыттарына 
тәуелді. Егер дененің симметриялық осьтері координаталық осьтермен бірдей болса, 
инерция тензорының диагональ емес мүшелері нольге тең болып, тек 
,
,
xx
yy
zz
I
I
I
компоненталары нольден айрықша болады. Демек, инерция тензоры 

0
0
0
0
0
0
xx
yy
zz
I
I
I
(9.1.9) 
түрге келеді. Бұл жағдайда дене осьтері инерциялық бас осьтері, ал 
,
,
xx
x
yy
y
zz
z
I
I I
I
I
I
=
=
=
тензор компоненталары инерцияның 
бас моменттері
деп аталады. Қатты дененің кез 
келген нүктесі арқылы үш өзара перпендикуляр бас осьтер жүргізуге мүмкіндік бар. Тек 
дененің әр түрлі нүктелеріне сәйкес инерцияның бас моменттерінің мәндері бірдей 
болмайды. Егер бас осьтер дененің массалар центрі арқылы өтсе, олар 
центрлік бас осьтер
деп аталады. 
Сонымен,
бір нүктеден екінші нүктеге ауысқанда жалпы жағдайда бас осьтер 
өздерінің бағыттарын, ал бас моменттер – мәндерін өзгертеді. 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: