1 дәріс. Механикалық қозғалыстардың теориялық негіздері

(
)
d
dt
t

=
+


L
L
ω L
(9.3.4) 
түрге келеді, немесе
(
)
t

=
+


L
M
ω L
(9.3.5) 
теңдеуін аламыз. (9.3.5) теңдеудің қозғалатын координаталар жүйесіндегі проекциялары 
мына түрде болады (
,
,
,
0,
0
x
x
x
y
y
y
z
z
z
i
I
L
I
L
I
L
I
t
x






=
=
=
=
=


): 
(
)
(
)
(
)
;
;
.
x
x
x
z
y
y
z
y
y
y
x
z
z
x
z
z
z
y
x
x
y
dω
M
I
I
I
ω ω
dt
dω
M
I
I
I
ω ω
dt
dω
M
I
I
I
ω ω
dt
=
+
−
=
+
−
=
+
−
(9.3.6) 
Алынған теңдеулерді 
Эйлер теңдеулері
деп атайды. Жалпы жағдайда олар бір нүктесі 
бекітілген қатты дененің қозғалысын анықтайды. 
9.3.2. Нутация 
(9.3.6) қатыстарды еркін гироскоп үшін жазып шығайық. Гироскоптың (дискінің) 
симметрия осі бойында 
х
осі орналасып, ал 
y
және 
z
осьтері қалған екі центрлік бас осьтер 
бойымен бағытталсын. Гироскоптың симметриясынан 
1
2
;
x
y
z
I
I I
I
I
=
=
=
екені айқын. 
Онда еркін гироскоп (
M
=0) үшін (9.3.6) теңдеулер
𝐼
1
𝑑𝜔
𝑥
𝑑𝑡
= 0;
𝐼
2
𝑑𝜔
𝑦
𝑑𝑡
+ (𝐼
1
− 𝐼
2
)𝜔
𝑧
𝜔
𝑥
= 0;
𝐼
2
𝑑𝜔
𝑧
𝑑𝑡
+ (𝐼
2
− 𝐼
1
)𝜔
𝑥
𝜔
𝑦
= 0
(9.3.7) 
түрге келеді. Бірінші теңдеуден 
1
x
ω
ω
const
=
=
екенін көреміз, яғни ω - ның гироскоптық 
симметрия осіне проекциясы уақыт бойынша тұрақты болады. Енді (9.3.7) жүйенің екінші 
және үшінші теңдеулерін түрлендірейік: 
0
0
0;
0,
y
z
z
y
dω
ω ω
dt
dω
ω ω
dt
+
=
−
=
(9.3.8) 
мұнда
1
2
0
1
1
I
I
ω
ω
I
−
=
тұрақты шама. Бұл теңдеулердің шешімдері ретінде 
0
0
cos
;
sin
y
z
ω
A
ω t
ω
A
ω t
=
=
(9.3.9) 
функцияларын алуға болады. 
(9.3.9) шешімдерді талдай отырып, 
ω
вектор шамасын тұрақты сақтап, гироскоптың 
симметрия осін айнала 
0
ω
жылдамдықпен конус сызатыны туралы қорытындыға келеміз 
(9.3.2-сурет). Шешімдер құрамындағы 
А
шама 
(
)
2
2
y
z
A
ω
ω
=
+
баcтапқы шарттарға 
тәуелді. Конустық бұрыш 
1
A ω
қатынасымен анықталады, 
0
1
ω ω
шама инерцияның бас 

моменттерінің қатынасына, яғни гироскоп массасының үлестірілуіне тәуелді. Қорыта кeле 
еркін гироскоптың қозғалысын былай суреттеуге болады: 
ω 
лездік жылдамдық және 
симметрия осі жатқан жазықтық 
L
векторын 
0
ω
бұрыштық жылдамдықпен айналады және 
айналу барысында 
ω
векторы мен симметрия осінің өзара салыстырмалы орындары 
өзгермейді. 
Симметрия осінің кеңістікте қозғалмайтын 
L
импульс моменті векторын айнала қозғалуын 
нутация
дейді, ал 
0
ω
– нутация жылдамдығы. Нутация амплитудасы бастапқы шарттарға 
тәуелді. Егер гироскоптың бұрыштық жылдамдық векторы симметрия осінде жатса, ол 
нутациясыз айналады.
Шар үшін 
x
y
z
I
I
I
=
=
екені белгілі, демек
0
0
ω
=
. Бұл сыртқы күштер жоқ болған 
кезде шардың айналу осі оған қарағанда тұрақты орнын сақтайтынын және ешқандай 
нутация болмайтынын білдіреді. Дегенмен, шар біртекті болмаса, нутация пайда болуы 
мүмкін. Мысалы, бақылауларға қарағанда Жер осінің нутациясы байқалады, яғни Жер 
шарының біртекті еместігі айқын дәлелденеді.
 
 
9.4. Сыртқы күштер әрекет еткен гироскоп. Прецессия 
Бұрын айтылғандай, гироскоп денесі бірнеше қозғалыстарға қатысуы мүмкін: олардың 
бірі өз осінің айналасында, қалғандары осы осьтің қозғалысымен байланысты. Жалпы жағ-
дайда импульс моменті гироскоптың айналу осімен үйлеспейді. Бірақ, егер гироскоптың өзі 
дискінің симметрия осін өте тез айналып, керісінше диск осімен қосыла өте баяу айналса, 
жуықтап келгенде импульс моментінің бағыты айналған дискінің симметрия осімен бірдей 
деп санауға болады. Шынында, айналудың 
ω
лездік жылдамдығын дискінің симметрия осі 
бойымен 


және диск бетінде жатқан 

⊥
құраушыларға жіктейік (9.4.1-сурет). Анықтама 
бойынша 
0
ω
ω
⊥

және 
I
I

⊥

екенін ескере отырып, импульс моменті, диск айнала 
қозғалысының бұрыштық жылдамдығы және симметрия осі бағыттары жуықтап санағанда 
өзара үйлеседі деуге болады. 
Гироскоп қозғалыстарының ең бір қызық түрі болып 
еріксіз прецессия 
саналады. Ол 
сыртқы күштер әрекетінен туады. Үш еркіндік дәрежесі бар, яғни, массалар центрінде
бекітілген гироскоп-дискіні қарастырайық (9.4.2-сурет). Импульс моменті 
L
, бұрыштық 
9.3.2 - 
сурет

A 

 

1
 
9.4.1 - сурет 

 

1
 
I
II

II
 
L
 

жылдамдық 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: