Салыстырмалылықтың арнайы теориясындағы координаталар


және 

шамалардың таңбалары қарама-қарсы болу керектігін, оның үстіне уақыт 
алдындағы коэффициент

теріс сан бола алмайтынын ескере отырып, (10.1.6
'
), (10.1.7
'
) 
мәндерді (10.1.8)-ге қойсақ, 
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
α
α 1 α
0.
υ c
υ
c
c
−
−
+
=
(10.1.8
'
) 
Бұдан 
2
2
1
α
.
1
υ
c
=
−
(10.1.9) 
Енді (10.1.9) дaн α-ның мәнін (10.1.7
'
)-ке қойып, 
2
2
1
β
1
υ
c
=
−
(10.1.10) 
табамыз. Сол сияқты (10.1.9)-ды (10.1.6
'
)-ке қойып, 
2
2
2
γ
.
1
υ
c
υ
c
= −
−
(10.1.11) 
Табылған (10.1.9)-(10.1.11) мәндерді ескере отырып, (10.1.4)-теңдеулер жүйесінен мына 
түрлендірулерді анықтаймыз: 
2
2
,
1
x
υt
x
υ
c
−
 =
−
,
,
y
y
z
z
 =
 =
2
2
2
.
1
υx
t
c
t
υ
c
−
 =
−
(10.1.12) 
Келтірілген 
теңдеулер 
жүйесі 
салыстырмалылықтың 
арнайы 
теориясындағы 
координаталардың тура түрлендірулері болып есептеледі. Кері түрлендірулер мына түрде 
беріледі: 
2
2
,
1
x
υt
x
υ
c


+
=
−
,
,
y
y
z
z

=

=
2
2
2
.
1
υx
t
c
t
υ
c

 +
=
−
(10.1.13) 
Координаталардың (10.1.12) және (10.1.13) түрлендірулерін оларды Максвелл теңдеулері 
инварианттары ретінде Л.Лоренц ұсынған еді. Сондықтан оларды координаталардың 
Лоренц-Эйнштейн түрлендірулері
деп атайды. 
 
10.1.3. Салыстырмалылықтың арнайы теориясындағы жылдамдықтарды қосу заңы 
Қозғалмалы координаталар жүйесіндегі 
х
осіне дене жылдамдығының проекциясын 
табайық: 
.
x
dx
u
dt

 =

(10.1.14) 

 Бірақ 
х
'
координатасы 
t
'
-қа 
t 
арқылы тәуелді 
.
x
dx dt
u
dt dt

 =

(10.1.15) 
(10.1.12) формуладан 
2
2
2
2
,
1
1
x
dx
υ
dx
u
υ
dt
dt
υ
υ
c
c
−

−
=
=
−
−
(10.1.16) 
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
x
υ dx
u
υ
dt
c dt
c
dt
υ
υ
c
c
−
−

=
=
−
−
(10.1.17) 
табамыз.Табылған мәндерді (10.1.15)-ке қойсақ, 
2
.
1
x
x
x
u
υ
u
υu
c
−
 =
−
(10.1.18) 
Дене жылдамдығының қозғалмалы жүйенің 
у
'
осіне проекциясын есептейік: 
.
y
dy
dy dt
u
dt
dt dt

 =
=


(10.1.19) 
(10.1.17) мәнді (10.1.19)-ға қойсақ, 
2
2
2
1
.
1
y
y
x
υ
c
u
u
u
υ
c
−
 =
−
(10.1.20) 
Осыларға ұқсас жылдамдықтың
z
'
бағытына проекциясын анықтап, Лоренц-Эйнштейннің 
жылдамдықтарды қосудың тура заңын өрнектейтін теңдеулер жүйесін келтіруге болады: 
2
;
1
x
x
x
u
υ
u
υu
c
−
 =
−
2
2
2
1
;
1
y
y
x
υ
c
u
u
υu
c
−
 =
−
2
2
2
1
.
1
z
z
x
υ
c
u
u
υu
c
−
 =
−
(10.1.21) 
Жылдамдықтарды қосудың кері заңы мына түрде беріледі: 
2
;
1
x
x
x
u
υ
u
υu
c
 +
=

+
2
2
2
1
;
1
y
y
x
υ
c
u
u
υu
c
−

=

+
2
2
2
1
.
1
z
z
x
υ
c
u
u
υu
c
−

=

+
(10.1.22) 

10.2. Лоренц-Эйнштейннің координаталарды түрлендірулерінің кинематикалық 
салдарлары. Лоренц-Эйнштейннің жылдамдықтар қосу заңының кинематикалық 
салдары 
10.2.1. Лоренц-Эйнштейннің координаталарды түрлендірулерінің кинематикалық 
салдарлары 
Бір координаталар жүйесі екінші жүйеге қарағанда 
х
осі бойымен қозғалсын. 
Қозғалмайтын координаталар жүйесінің 
х
1
және 
х
2
нүктелерінде сол жүйедегі сағат 
бойынша бір уақыт
t
1
= 
t
2
мезетінде 
А
және 
В
оқиғалары жүріп жатыр дейік. Сол оқиғалар 
қозғалып бара жатқан бақылаушы үшін де бір уақыт мезетінде жүре ме? 
(10.1.12)
 теңдеуге 
қарағанда 
1
1
2
1
2
2
;
1
υx
t
c
t
υ
c
−
 =
−
2
2
2
2
2
2
,
1
υx
t
c
t
υ
c
−
 =
−
яғни
1
2
t
t



. 
Сонымен, бірмезеттілік салыстырмалы түсінік болып отыр.
 
Енді 
А 
және 
В 
оқиғалары қозғалмайтын координаталар жүйесінде 
х
1 
және 
х
2 
нүктелерінде уақыт бойынша бірінен кейін екіншісі жүрсін, мысалы, 
t
1
<
t
2
. Екі оқиғаны 
бөліп тұрған уақыт интервалы
2
1
0
t
t
t
 = − 
. Осындай екі оқиғаның уақыт бойынша 
тізбегі қозғалатын жүйедегі бақылаушы үшін сақтала ма? 
(10.1.12)
 теңдеуден 
(
)
2
1
2
2
2
1
υ x
x
t
c
t
υ
c
−
 −

 =
−
(10.2.1) 
табамыз. Алынған нәтижеден үш мүмкіншілікті көруге болады: 
0,
t

 
егер
(
)
2
1
2
υ x
x
t
c
−
 
; (10.2.2) 
0,
t

 =
егер
(
)
2
1
2
υ x
x
t
c
−
 =
; (10.2.3) 
0,
t

 
егер
(
)
2
1
2
υ x
x
t
c
−
 
. (10.2.4) 
Бірінші жағдайда (10.2.2) оқиғалар тізбегі сақталады, екіншіде (10.2.3)-оқиғалар бір 
мезетте жүреді, ал үшінші жағдайда (10.2.4) оқиғалар тізбегі кері өзгереді. Егер 
А
оқиға 
В
оқиғаны тудыратын себеп болса, айтылған екінші және үшінші мүмкіншіліктер қисынсыз 
болар еді. Дегенмен, мысалы, (10.2.3) шарт орындалсын дейік. Онда алынатын 
2
x
c
c
t
υ

=


нәтиже белгілі қорытындыға қайшы келер еді.Бұған қарағанда, қозғалатын 
жүйеде де оқиғалар тізбегі сақталуы керек. 
Қозғалмайтын жүйенің 
х
1
нүктесінде оқиға 
t
1
уақыт мезетінде басталып, 
t
2
уақыт 
мезетінде аяқталсын, яғни, оқиға 
2
1
t
t
t
 = −
уақыт аралығында жүрсін. Уақыт оқиға жүріп 
жатқан координаталар жүйесіндегі сағатпен анықталғандықтан 

t
- оқиғаның өзіндік 

ұзақтығы. Оны ерекшелеу үшін 

деп белгілейік. Осы ұзақтық қозғалатын жүйедегі 
бақылаушы үшін қандай болмақшы? 
(10.1.12)
-теңдеуден
2
2
,
1
t
υ
c



 =
−
яғни
.
t


  
(10.2.5) 
Егер оқиға қозғалмалы жүйеде жүріп жатса, өзіндік ұзақтық 

t

= 

 
болар еді. Онда 
(10.1.13)-те
н 
2
2
,
1
t
υ
c


 =
−
яғни
t

  
. (10.2.6) 
(10.2.5), (10.2.6) қатыстардан өзіндік ұзақтық барлық мүмкін болатын ұзақтықтардың ең 
азы болытыны көрінеді. Бұл қорытынды ХХғасырдың 30-жылдары ғарыштық сәулелер
құрамында μ - мезондар табылғанда тәжірибелік қолдау алған болатын. Олардың өмір сүру 
уақыты Жердегі сағат бойынша әртүрлі болғанмен де, өзіндік ұзақтық интервалына 
көшкенде бірдей уақыт өмір сүретіндері дәлелденді. 
Кесіндінің ұзындығын дұрыс өлшеу үшін міндетті түрде өлшеу жүріп жатқан жүйедегі 
сағат бойынша екі ұшының да координаталарын бір мезетте анықтау керек. Өлшенетін 
кесінді қозғалмайтын жүйеде 
x 
осінің бойында тыныштық қалыпта орналассын. Оның басы 
мен аяғының координаталары: 
x
1
= 0, 
x
2
= 
l
. Кесіндінің өзіндік ұзындығы 
l 
= 
x
2
- 
x
1
= 
l
0
. Осы 
ұзындықты қозғалмалы жүйеде тұрып өлшейік. Лоренц-Эйнштейннің координаталарды 
кері түрлендірулерін (10.1.13) - ті қолдана отырып,
0
2
2
,
1
l
l
υ
c

=
−
яғни
0
l
l


(10.2.7) 
екенін көреміз. Егер кесінді қозғалмалы жүйеде тыныштық қалыпта болып, басқа шарттар 
сақталса, 
0
l
l
 =
, ал 
l
-дің мәнін Лоренц-Эйнштейннің тура 
(10.1.12)
түрлендірулерінен 
анықтаймыз.
0
2
2
,
1
l
l
l
υ
c

= =
−
яғни
0
.
l
l

(10.2.8) 
(10.2.7), (10.2.8) формулалардан кесінді ұзындығы салыстырмалы шама екендігі және қай 
жүйеде тыныштық қалыпта болса, сонда ең ұзын болатыны байқалады. 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: