1 I. Основы теории массового обслуживания


V.1.  Пуассоновский поток



Pdf көрінісі
бет6/10
Дата03.03.2023
өлшемі1,42 Mb.
#71432
түріЛекция
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Байланысты:
СМО

V.1. 
Пуассоновский поток 
Напомним, что в общем случае Пуассоновский поток является ординарным, и 
потоком без последствий. 


Компьютерное моделирование. СМО. Лекция №1 
11 
Случайная величина, которая характеризует количество заявок в потоке, 
поступающих в СМО на временном интервале [t
0
; t
0
+τ], распределена по закону 
Пуассона (вероятность появления m заявок за время τ): 
, где m – количество заявок, a – параметр Пуассона, 
, λ – 
интенсивность или плотность потока (среднее число заявок в единицу 
времени). 
λ математическое ожидание
дисперсия
В общем случае параметр Пуассона рассчитывается как:
λ
τ
, т.е. 
a – математическое ожидание числа событий (среднее число событий в 
рассматриваемом интервале τ). 
Если λ(t) = const, то это стационарный поток Пуассона (простейший), и в этом 
случае a=λτ, иначе – нестационарный поток. 
Вероятность непоявления событий (т.е. 
когда m = 0):
.
Если интенсивность потока велика, то 
вероятность 
непоявления 
события 
быстро уменьшается (быстрее наступит 
событие). 
Вероятность появления хотя бы одного 
события: 
Очевидно, что при возрастании времени 
наблюдения вероятность появления 
хотя бы одного события стремится к единице: P
*
→1 (событие рано или поздно 
произойдёт). 
Таким образом, в случае простейшего потока (a=λτ) длительность временного 
интервала между двумя последовательными заявками имеет показательное 
распределение с параметром λ: 
λ

λ


P

τ
λ
1
< λ

Вероятность непоявления события для 
простейшего потока в зависимости от 
времени наблюдения. 


Компьютерное моделирование. СМО. Лекция №1 
12 
, где λ – параметр масштаба, интенсивность случайной 
величины. 
λ математическое ожидание
дисперсия
Это распределение – единственное непрерывное распределение, обладающее 
свойством 
отсутствия 
последствий, 
т.е. 

Это 
свойство 
называется 
Марковским свойством. 

Пример 
Чтобы смоделировать Пуассоновский простейший поток, надо смоделировать 
временной интервал между заявками (для этого воспользуемся методом 
обратной функции): 
.
(1) 
Рассмотрим поток покупателей интернет-магазина, приходящих в среднем 6 
человек в сутки. Необходимо промоделировать процесс в течение 100 часов. 
Значит, интенсивность потока:

Время наблюдения: T
н
= 100(час). 
Математическое ожидание (среднее время) длительности между двумя 
покупателями:
. (т.е. в среднем приходит один покупатель за 4 часа). 

Количество 
смоделированных 
τ
i
равно 
количеству покупателей за Т
н

В среднем это количество будет равно 
τ

τ
0

1
T
н 


Компьютерное моделирование. СМО. Лекция №1 
13 
человек за 30100 часов. 

Пример
Приведем пример моделирования неординарных событий (когда в один момент 
может появиться несколько событий). Т.е. необходимо моделировать и число 
событий. Например, вагоны на ж/д станцию пребывают в составе поезда в 
случайные моменты времени: ординарный поток поездов. 
При этом в составе поезда может быть разное (случайное) количество вагонов. 
В этом случае о потоке вагонов говорят как о потоке неординарных событий. 
Пусть в среднем в 68 случаях за 100 приходит от 6 до 14 вагонов в составе 
поезда и их число распределено по нормальному закону, т.е.
. Т.е. после того, как мы смоделировали τ
i
, надо смоделировать число 
вагонов. 

Пример
Каково среднее время суточного простоя оборудования технологического узла, 
если узел обрабатывает каждое изделие случайное время, заданное 
интенсивностью потока случайных событий λ
2
? При этом экспериментально 
установлено, что производят изделия на обработку тоже в случайные моменты 
времени, заданные потоком λ
1
партиями. До начала моделирования Т=0 
изделий на складе не было. Необходимо промоделировать этот процесс в 
течение Т
н
=100. 


Компьютерное моделирование. СМО. Лекция №1 
14 



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет