1. Орталық симметриялы өрістердегі ықтималдық тығыздығының таралуы
жүктеу/скачать 333,95 Kb.
|
| Өзара әрекет (Дирак) көрінісі
Біз қарастыратын жүйенің гамильтонианы екі қосылғыштан тұрсын (26.12) мұндағы - жүйенің өзінің гамильтонианы, ал - осы жүйенің сыртқы өрістермен немесе басқа жүйелермен өзара әрекетін сипаттайды. Бұл жағдайда Дирак енгізген өзара әрекет көрінісін пайдаланған жөн. Өзара әрекет көрінісінде толқындық функция мына түрде беріледі . (26.13) Ал, кез келген оператор өзара әрекет көрінісінде былай анықталады . (26.14) Бұл өрнектердің (26.8) және (26.11) өрнектерден айырмашылығы, экспонентаның дәреже көрсеткішіне толық гамильтониан кірмейді, онда тек оператор бар. Енді функция қанағаттандыратын теңдеуді алу керек, ол үшін (26.13) қатысты уақыт бойынша дифференциалдаймыз . Бұл теңдеуге Шредингер теңдеуін ауыстыра отырып және (26.14) операторды ескеріп, жаңа теңдеу аламыз . (26.15) Сонымен, біз гамильтонианы бар Шредингер теңдеуін алдық. (26.14) қатысты уақыт бойынша дифференциалдай отырып, мына теңдеуді аламыз . (26.16) Жасайтын қорытындымыз: (26.15) бойынша, өзара әрекет көрінісінде толқындық функциялардың уақытқа тәуелділігі өзара әрекет гамильтонианымен, (26.16) бойынша оператордың уақытқа тәуелділігі гамильтонианымен анықталады. Осы мағынада, Дирак көрінісі Шредингер және Гейзенберг көріністерінің аралық көрінісі болып саналады. Ауытқу теориясының негізгі идеялары аспан механикасынан алынған. Аспан механикасында планеталардың Күнді айнала қозғалысы зерттеледі. Мысалы, Жер – Күн жүйесінің қозғалысын зерттейтін мәселенің дәл шешімін табуға болады. Енді екі планетаның Күн айналасындағы қозғалысын қарастырсақ, ол үш дене мәселесіне көшеді. Үш дене мәселесінің дәл шешімін табуға болмайды, сондықтан жуық әдіс қолданылады. Егер екі планетаның өзара әрекеті, планета мен Күннің өзара әрекетінен әлдеқайда кіші болса, онда ауытқу теориясы қолданылады. Бұл жағдайда, екі планетаның өзара әрекеті кішкене ауытқу ретінде қарастырылады. Ауытқу теориясы бойынша, алдымен планета мен Күннің өзара әрекеті қарастырылады. Бұл жуықтау нөлдік жуықтама деп аталынады. Нөлдік жуықтамадағы мәселені шешкеннен кейін, ауытқу есепке алынады. Бұл жуықтау бірінші жуықтама деп аталынады. Кванттық механикадағы бұл мәселенің баламасын қарастырсақ, атомдағы электрондардың қозғалысын мысалға алуға болады. Электрон мен ядроның өзара әрекетін нөлдік жуықтама, ал электрон мен электронның өзара әрекетін ауытқу ретінде, яғни бірінші жуықтама деп қарастырамыз. Тоғысу жоқ кездегі стационар есепті қарастырайық. Бұл жағдайда Шредингер теңдеуінің гамильтонианы уақытқа тәуелсіз болып мына түрде беріледі: , (27.1) мұндағы - дәл шешімі бар есептің гамильтонианы (нөлдік жуықтамадағы оператор) , - ауытқу операторы (бірінші жуықтамадағы оператор), - кез келген кішкене параметр , . Шредингер теңдеуі мына түрге келеді: . (27.2) Біздің мақсатымыз, осы теңдеуді шешу арқылы энергияның мәнін және оған сәйкес келетін толқындық функцияларды, операторды есепке ала отырып табу. Ауытқу теориясы бойынша, және үшін шешімдер қатарлар түрінде іздестіріледі (27.3) мұндағы - шамаларға қатысты аздығы бірінші ретті шамалар, ал - аздығы екінші ретті шамалар және т.б. (27.3) шамаларды (27.2) теңдеуге аударып қоямыз, сонда . (27.4) Аздығы бірінші ретті шамаларды ғана қарастырып және нөлдік жуықтамада Шредингер теңдеуі мына түрде болатынын ескерейік . Сонда (27.4) теңдеу мына түрге келеді . (27.5) Кез келген толқындық функцияны функциялардың толық жүйесі бойынша жіктеуге болады, сондықтан , (27.6) мұндағы - белгісіз коэффициенттер. Оларды табу үшін, тағы да нөлдік жуықтамадағы Шредингер теңдеуін ескереміз және (27.6) функцияны (27.5) теңдеуге ауыстырсақ, . Бұл теңдеуді сол жағынан функцияға көбейтіп, барлық кеңістік бойынша интегралдайық . (27.7) Ортонормаланған шартты , және оператордың , матрицалық элементін еске ала отырып, мынадай формуланы алуға болады . (27.8) Жалпы жағдайда , сонда . (27.9) (27.3) , (27.6) функцияларды және (27.9) коэффициентті ескере отырып, ауытқуға тәуелді толқындық функцияны табамыз (27.10) мұндағы қосынды белгісінің шекесіндегі штрих, қосындылау индексінен басқа барлық индекстері бойынша жүргізілетінін көрсетеді. Егер болса, онда (27.3) және (27.8) бойынша ауытқуға тәуелді энергияны табамыз , (27.11) мұндағы (27.12) ауытқу операторының орта мәні, ол матрицасының диагоналдық элементтеріне тең. Ескерте кететін жағдай, ауытқу теориясын пайдалануға болады, егер . Енді нөлдік жуықтамадағы оператор тоғысқан өзіндік мәндерге ие болып, ал тоғысудың еселігі болсын. Жоғарыда қарастырған әдістерді қолдана отырып, алынған (27.5) теңдеуді есептеуге ыңғайлы түрде жазайық . (27.13) Осы теңдеуді шеше отырып, бірінші жуықтамадағы энергияның мәні мен оған сәйкес келетін толқындық функцияларды табамыз. Ол үшін (27.13) теңдеуді сол жағынан функциясына көбейтіп, барлық кеңістік бойынша интегралдайық . Егер (17.17) ережені пайдалансақ, онда . (27.14) функциясы нөлдік жуықтамадағы Шредингер теңдеуінің шешімі болады . Сондықтан (27.14) теңдеудің сол жағы нөлге тең . (27.15) Тоғысу еселігі болса, онда функциясы функциялардың суперпозиция болады . (27.16) Ортонормаланған шартты , ескере отырып, мына теңдеуді аламыз , (27.17) мұндағы . (27.18) (27.17) теңдеудегі қосынды белгісінің шекесіндегі штрихтың мағынасы (27.10) өрнекте көрсетілген. Бұл теңдеу біртекті теңдеулер жүйесі болып табылады Бұл жүйені мына түрде де жазуға болады: (27.19) Егер белгісіздердің алдындағы коэффициенттерден тұратын анықтауыш нөлге тең болса, онда (27.19) жүйенің нөлден өзгеше шешімі болады. Ол анықтауыш мына түрде көрсетіледі . (27.20) Бұл анықтауышты аша отырып, біз белгісіз шамаларға қатысты дәрежелі теңдеу алдамыз. Ол теңдеу секулярлық немесе ғасырлық деп аталынады. Ғасырлық теңдеу ретті теңдеу болады, сондықтан оның түбірі бар. Бұның мағынасы, - ші энергетикалық деңгей өзара жақын орналасқан деңгейлерге бөлшектенеді. Бұл жағдайда ауытқу деңгейлердің тоғысуын толық жояды. Егер сутегі атомын электр өрісіне енгізсе, онда оның спектр сызықтары бөлшектенеді, мұнда электр өрісі ауытқу ретінде қарастырылады. Бұл құбылысты 1913 жылы неміс физигі И. Штарк байқаған, ол Штарк эффектісі деп аталады. Өзіміз қарастырған (15.3) теңдеуге назар аударайық. Ол сызықтық емес теңдеу, сондықтан оның дәл шешімін табуға болмайды. Алғашқы рет Шредингер теңдеуінің шешімін 1926 жылы жуық әдіспен тапқан неміс физигі Г. Вентцель, нидерланд теоретигі Х. Крамерс және француз физигі Л. Бриллюэн болған. Сондықтан бұл әдісті ВКБ әдісі немесе көбінесе квазиклассикалық жуықтау әдісі деп атайды. Он бесінші параграфтағы дайын нәтижелерді пайдалана отырып, стационар есепке көшейік. Ол үшін толқындық функцияны (11.14) бойынша мына түрде жазайық . (28.1) Осыған байланысты (15.2) және (15.4) өрнектерде , (28.2) ал және т.б. функциялар уақытқа тәуелсіз деп есептейміз. (15.5) теңдеуден энергияның мәнін табамыз (28.3) осыдан (28.4) мұндағы . (28.5) Сонымен біз, классикалық механиканың формулаларын алдық. (15.6) теңдеуден функцияны табуымыз керек , немесе . Бұл теңдеуді интегралдап, функцияны табамыз (28.6) мұндағы - интегралдау тұрақтысы. (15.2) анықтаманы, (28.2) , (28.6) табылған өрнектерді және (28.4) бойынша импульстің екі таңбасы бар екенін ескере отырып, толық шешімді екі шешімнің суперпозициясы ретінде жазамыз (28.7) (28.8) Енді (28.7) және (28.8) өрнектердің мағынасын қарастырайық. Егер болса, онда (28.5) бойынша импульс нақты болады, ал толқындық функция тербелмелі сипатта болады. Бөлшекті және аралықта табу ықтималдығы болады, яғни классикалық механикадағы нәтижені алдық. Егер болса , онда импульс жорамал болады, ал толқындық функция экспоненттік сипатта болады. бұрылыс нүктесінде болады және алынған толқындық функция мағынасын жоғалтады. Классикалық механика бойынша бұрылыс нүктесінде бөлшек жылдамдықтың таңбасын өзгертіп, теріс бағытта қозғалады. Толқындық көзқарас бойынша, қозғалыс аймақта болуы мүмкін. Бұл құбылыс туннелдік эффект деп аталынады. (28.7) және (28.8) функциялардың қолданылу шегін, яғни квазиклассикалық жуықталу қай жағдайда дұрыс болатынын табайық. Ол үшін (15.3) теңдеуге оралайық. Егер болса, онда кванттық теңдеу классикалық теңдеуге көшеді және болады. Егер , онда мына шарт (28.9) орындалғанда, кванттық мүшелер классикалық теңдеуде болмашы түзетулер енгізеді. (28.9) жуықтау квазиклассикалық жуықтау деп аталынады, оны мына түрде ықшамдап жазуға болады (28.10) Бірөлшемді жағдайда бұл теңсіздік былай жазылады , (28.11) немесе ( - толқындық сан) екенін ескере, (28.12) квазиклассикалық жуықтау шартын аламыз. Сонымен, (28.12) бойынша де Бройль толқын ұзындығы баяу өзгеру керек немесе тұрақты шама болу керек. Бордың сәйкестік принципі бойынша, кез келген классикалық емес теория белгілі шекте ескі классикалық теорияға өтеді. Осы принциптің көрнекі мысалы ретінде Шредингер теңдеуінің классикалық Гамильтон-Якоби теңдеуіне өтуін қарастырайық. Шредингердің толық теңдеуін жазайық: . (15.1) Кванттық механикадан классикалық механикаға шектік өтуінің ең қарапайым шартын зерттеу үшін, толқындық функцияны комплекс функциясы арқылы мына түрде өрнектейік: (15.2) (15.2) функцияны (15.1) теңдеуге ауыстырып қояйық: нәтижесінде функцияға арналған теңдеу аламыз: . (15.3) Формальды түрде функцияны шаманың дәрежелері бойынша жіктейік: (15.4) (15.4) функцияны (15.3) теңдеуге ауыстырып қойып, Планк тұрақтысының бірдей дәрежелерінің алдындағы коэффициенттерді теңестіреміз. Егер шаманың бірінші дәрежесіне дейінгі дәлдікті есепке алсақ, онда екі теңдеу аламыз: , (15.5) . (15.6) (15.5) теңдеу классикалық механикадағы әрекет функциясына арналған Гамильтон – Якоби теңдеуімен дәл келеді. (15.6) теңдеудің мағынасын анықтау үшін, бөлшекті табу ықтималдығын (15.2) өрнекті пайдалана отырып табайық: . (15.7) Енді (15.6) теңдеуді -ға көбейтіп және , ескере отырып, мына теңдеуді аламыз: . (15.8) Сонымен біз, үзіліссіздік теңдеуін таптық. Бұл теңдеу бойынша ықтималдық тығыздығы кеңістікте жылдамдықпен орын ауыстырады. жүктеу/скачать 333,95 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|