10 Дәріс сабақ. Тақырыбы
Шредингер теңдеуі және сақталу заңдары
жүктеу/скачать 194,1 Kb.
|
| Шредингер теңдеуі және сақталу заңдары.
Классикалық механикада Ньютонның теңдеуі және электродинамикада Максвелл теңдеулері қандай рөл атқарса, кванттық механикада Шредингер теңдеуінің рөлі сондай болады. Ньютон және Максвелл теңдеулері сияқты, Шредингер теңдеуі қорытылмайды. Шредингер теңдеуі постулат түрінде қабылданады, яғни белгілі тәжірибелердің қорытындысы болып саналады. Бірақ, Шредингер теңдеуін себептілік принципінің көмегімен формальды түрде алуға болады. Бұл әдістің тарихи және әдіснамалық маңызы бар. Себептілік принципі бойынша бастапқы уақыттағы толқындық функция кейінгі уақыттағы толқындық функциямен байланысты болады. Осы байланысты қалай табуға болады? Оны табу үшін функцияны уақыт мезетінде қарастырайық, яғни -ді қатарға жіктейміз: Себептілік принципі бойынша функциядан анықталу керек: мұндағы - ны алу үшін - ге қатысты жасалатын амал. Біздің жағдайда кез келген түрде алынған, сондықтан , (11.1) мұндағы - уақыт бойынша ығысу операторы. Кванттық механикадағы анықтама бойынша, оператор - бір толқындық функцияны басқа толқындық функцияға ауыстыратын кез келген математикалық символ. Сондықтан (11.1) теңдеудегі оператор постулат түрінде қабылдану керек. Суперпозиция принципі бойынша сызықтық түрде болу керек. Бұл операторда уақыт бойынша алынған туындылар мен интегралдар болмау керек, ал тек параметр ретінде болу керек. Егер керісінше жорамалдасақ, онда функция жүйе күйін сипаттайды деген кванттық механиканың негізгі қағидасы бұзылады. (11.1) теңдеудің көмегімен бастапқы функция арқылы функциясын табуға болады, осыған сәйкес t уақыттағы әр түрлі өлшеулер нәтижелерінің ықтималдығын болжауға болады. (11.1) теңдеудегі L оператордың түрін анықтау керек. Оны табу үшін белгілі бір P импульске ие болатын еркін қозғалысты қарастыру қажет. Бұл қозғалыстың толқындық функциясы де Бройль толқыны болады: (11.2) мұндағы A- толқын амплитудасы. Осы толқындық функциядан және туындыларды табайық: Бұл есептеуде еркін бөлшектерге арналған қатысын пайдаландық. Жоғарыдағы екі қатыстан (11.2) функцияның мына теңдеуді қанағаттандыратынын байқаймыз: . Бұл теңдеуді мына түрде қайта жазуға болады (11.3) Мұнда оператор еркін қозғалыстағы бөлшектің гамильтонианы (Гамильтон операторы): . (11.4) Сонымен (11.1) және (11.3) теңдеулерді салыстыра отырып, еркін қозғалысқа арналған уақыт бойынша ығысу операторын табамыз: . (11.5) Кванттық механикада бұл нәтижені жалпы түрде жазуға болады, ол үшін L ығысу операторын Гамильтон функциясының операторы ретінде қарастыру керек (11.6) мұндағы U-бөлшектің потенциалдық энергиясы. Сонымен (11.5) постулатқа сәйкес (11.1) теңдеуді мына түрде жазуға болады: . (11.7) Бұл теңдеуді 1926 жылы басқа әдіспен Шредингер алған, ол Шредингер теңдеуі немесе Шредингердің толқындық теңдеуі деп аталынады. Шредингер теңдеуінің ерекшелігі, ол уақыт бойынша бірінші ретті теңдеу және оның құрамына комплекс бірлік кіреді, сол себепті оның периодты шешімдері болады. Сондықтан да, Шредингер теңдеуі толқындық теңдеу болады. (11.7) теңдеу бойынша толқындық функциядан уақыт бойынша тек бірінші ретті туындысы ғана болады, яғни бұл теңдеудің көмегімен бастапқы уақыт мезетіндегі толқындық функцияның мәні белгілі болғанда, кейінгі уақыт мезетіндегі толқындық функцияның мәнін табуға болады. Осы жағдай Шредингер теңдеуінің себептілік принципін қанағаттандыратынын көрсетеді. Шредингер теңдеуінің бірнеше түрлері болады. Егер (11.6) өрнектегі потенциалдық энергия U=0 болса, онда еркін қозғалыс болады. Егер болса, онда тұрақты күй болады. Егер болса, онда бұл айнымалы өрістегі қозғалыс (11.7) теңдеумен қарастырылады. Егер потенциалдық энергия r - радиус – вектордың модуліне тәуелді болса, яғни , онда біз центрлі – симметриялы өрістегі есепті аламыз, мұндағы . Cыртқы айнымалы өріс болмаған жағдайда, гамильтониан уақытқа тәуелді болмайды, яғни , ал . Бұл жағдайда Шредингер теңдеуі мына түрде болады: . (11.8) Бұл теңдеуде айнымалыларды бөлу әдісін пайдалануға болады: . (11.9) (11.9) өрнекті (11.8) теңдеуге қояйық: Бұл теңдеуді басқаша түрге келтірейік . (11.10) (11.10) теңдеудің сол жағы уақытқа ғана тәуелді болса, оң жағы координатаға ғана тәуелді. Бұл теңдік сол жағында да және оң жағында да кейбір тұрақты шамалар тең болса, мүмкін болады. Ондай тұрақты шамалар айнымалыларды бөлудің тұрақтылары деп аталынады. Оларды E әрпімен белгілейік. Бұндайда (11.10) теңдеу екі тәуелсіз теңдеулерге бөлінеді (11.11) . (11.12) (11.11) теңдеу толық энергия операторының өзіндік функцияларына арналған теңдеу, оларды деп, ал өзіндік мәндерін деп белгілеуге болады. (11.12) теңдеудің шешімі мына түрде болады (11.13) (11.13) функциясын есепке ала отырып, (11.9) шешімді табамыз: . (11.14) Энергияның анықталған мәнімен сипатталатын (11.14) күйді тұрақты күй деп атайды, ал (11.11) теңдеуді Шредингердің тұрақты күйлеріне арналған теңдеуі деп атайды. (11.8) теңдеу сызықтық теңдеу болғандықтан, оның жалпы шешімі үзікті спектр үшін тұрақты күйлердің суперпозициясы болады , (11.15) мұндағы - тұрақты амплитудалар. Егер оператордың өзіндік мәндері үзіліссіз спектр құрса, онда . (11.16) Жоғарыда айтылғандай, белгілі бір энергияға ие болатын күйлер кванттық механикада тұрақты күйлер деп аталады. Тұрақты күйлердің толқындық функциясы (11.14) өрнекпен сипатталады, ал уақытқа тәуелсіз (11.11) теңдеу Шредингердің стационар теңдеуі деп аталады. Алдыңғы тақырыптарда қарастырылған мәліметтер бойынша, толқындық функция жалпы жағдайда кеңістік пен уақытта өзгеріске ұшырайды. Бірақ, бұл өзгеріс қалай болса солай болмайды. Бұл жағдайда белгілі бір сақталу заңы орындалуы керек. Біздің мақсатымыз – осы заңды табу. Ол үшін, классикалық электрдинамиканы еске түсірейік. Электрдинамикада үзіліссіздік теңдеуі бар: , (12.1) мұндағы p- заряд тығыздығы, i- ток тығыздығы. Бұл теңдеу зарядтың сақталу заңын береді. (12.1) теңдеуді кванттық механикада Шредингер теңдеуінің көмегімен алуға болады. Басқаша айтқанда, Шредингер теңдеуінің шешімі (12.1) теңдеуіне ұқсас теңдеуді қанағаттандыратын көрсету керек. Ол үшін Шредингер теңдеуін және оның комплекс түйіндес теңдеуін жазайық. , . Бірінші теңдеуді , екінші теңдеуді функциясына көбейтіп, бір бірінен шегерейік . Бұл теңдікті басқаша түрде қайтадан жазуға болады , (12.2) мұндағы - ықтималдық тығыздығы. Енді j арқылы мына векторды белгілесек , (12.3) онда (12.2) теңдеу былай жазылады . (12.4) (12.3) өрнекпен сипатталатын j векторы ықтималдық ағыны тығыздығының векторы деп аталады. (12.4) үзіліссіздік теңдеуіндегі бөлшектердің орта тығыздығы ретінде де қарастырылады. Бұл жағдайда j белгілі бір бетті уақыт бірлігінде қиып өтетін бөлшектердің орта ағыны болып саналады, ал (12.4) теңдеуді бөлшектер санының сақталу заңы деп атайды. Егер j мен p шамаларды бөлшектің заряды e-ге көбейтсек, электр тогы мен электр зарядының орта тығыздығын аламыз , . Үзіліссіздік теңдеуі мұндайда кванттық механикадағы зарядтың сақталу заңына айналады . (12.5) Егер қарастыратын толқындық функция нақты болса, яғни , онда ток тығыздығы әрқашан да нөлге тең болады. Енді j мен p шамаларды бөлшектің массасы m-ге көбейтейік , . Бұл жағдайда (12.4) теңдеуі кванттық механикадағы массаның сақталу заңына айналады . (12.6) Қолданылған әдебиеттер: https://stom.tilimen.org/penni-ou-edistemelik-kesheni-teoriyali-fizika--1kvantti-mehani.html сайты. жүктеу/скачать 194,1 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|