13 апта: Инерциалдық емес санақ жүйесіндегі бөлшектер қозғалысы
жүктеу/скачать 0,74 Mb.
|
Кл мех лек 13
|
1.ИЕСЖ-дегі бөлшектре жүйесінің Лагранж функциясы. Қозғалыс теңдеуі, инерция күштері 2. ИЕСЖ-дегі қозғалысқа мысалдар
Біз осы уақытқа дейін кез келген механикалық жүйенің қозғалысын инерциялық санақ жүйелерінде қарастырдық. Сыртқы өрістің әсерінен қозғалған бір ғана инерциалды санақ жүйесіндегі Лагранж функциясы: және оның қозғалыс теңдеуі. Енді бөлшектің ИЕСЖ-дегі қозғалыс теңдеуін жазу үшін Лагранж теңдеуін жазамыз (3) Лагранж функциясын табу үшін L0 функциясына сәйкесінше түрлендірулер енгізу қажет болады. Осы түрлендірулерді жасау үшін екі қадам жасау керек. Біріншіден: К0 ИСЖ-не қатысты ілгерілемелі жылдамдықпен қозғалатын К’ санақ жүйесін аламыз. Осы екі К0 және К’ санақ жүйелеріне бөлшектің және жылдамдықтарының арасындағы байланыс: (4)
Осы өрнекті қолданып К’ санақ жүйесіндегі Лагранж функциясын жазатын болсақ: (5)
–берілген уақыт функциясы болып табылады. Бұл басқа бір функцияның уақыт бойынша толық туындысы ретінде жазыла алатындықтан, осыған қатысты үшінші мүшені ескерусіз қалдыруға болады. мұндағы -бөлшектің К’ санақ жүйесіндегі радиус-векторы екенін ескерсек: (6)
Соңында (5) –ті қайта жазсақ: (7)
Мұндағы - К’ санақ жүйесіндегі ілгерілемелі қозғалысының үдеуі. (7)-ні қолданып Лагранж қозғалыс теңдеуін былай жазуға болады: (t) (8)
(t) (9) Яғни (9) санақ жүйесінің үдетілген ілгерілемелі қозғалысы бөлшектің қозғалыс теңдеуіне ықпалын көрсетеді. Ол біртекті күш өрісінің пайда болуы арқылы түсіндіріледі. Сонымен қатар бұл өрістегі ісер етуші күш бөлшектің массасын үдеуіне көбейткенге тең және осы үдеуге қарама-қарсы бағытталған.
Екінші қадамды былай жазуға болады, яғни К’ санақ жүйесімен бастапқы нүктесі ортақ, бірақ оған қатысты бұрыштық жылдамдықпен айналатын К санақ жүйесін енгіземіз. Ал К0 ИСЖ-не қатысты осы К жүйесі ілгерілемелі де және айналмалы да қозғалыс жасайды. Бөлшектің К’ санақ жүйесіндегі жылдамдығы осы бөлшектің К жүйесіне қатысты жылдамдығымен оның К жүйесімен бірге айналуының жылдамдығының қосындысынан тұрады: (10)
Бөлшектің және К және К’ жүйелерінде радиус-векторлары бір-бірімен сәйкес болады. Осы өрнекті Лагранж функциясына арналған өрнекке қоямыз: (11)
Бұл бөлшектің қалауымызша алған ИЕСЖ-дегі Лагранж функциясының жалпы түрі болып табылады. Саақ жүйесінің айналуы, Лагранж функциясындағы еркекше бір мүше-бөлшектің сызықты жылдамдығының пайда болуына алып келетінін айта кетуге болады.
Енді Лагранж теңдеуіне енетін туындыларды есептейік: (12) Енді бойынша мүшелерді жинақтаймыз: (13) , (14)
теңдеуіне қоятын болсақ: (15)
Санақ жүйесінің айналуымен пайда болатын «инерция күштері» үш бөліктен тұрады деп айтуға болады. Мысалы -айналудың бір текті еместігімен пайда болатын күш. Қалған екеуі бір текті айналу кезінде де пайда болады. -Кориолис күші деп аталады. Бұл басқа күштер сияқты емес, яғни бөлшектің жылдамдығына тәуелді болмайды. –центрден тепкіш күш деп аталады. Мәні бойынша ол m2 , мұндағы -бөлшектің орнынан айналу өсіне дейінгі арақашықтықты көрсетеді. Бағыты бойынша арқылы өтетін жзықтыққа бағытталған, ал айналу өсіне (яғни бағытына) перпендикуляр болады. Яғни ілгерілемелі үдеу =0; болса Лагранж функциясы: (16)
ал қозғалыс теңдеуі: (17) Бөлшектің энергиясын есептеу үшін: (18) (19)
Энергия жылдамдық бойынша сызықты мүше жоқ екеніне көңіл аударайық. Санақ жүйесінің айналуы энергияға арналған өрнекте тек бөлшектің координатына және бұрыштық жылдамдықтың квадратына тәуелді қосымша мүшенің пайда болуына әкеліп соғады. Осы қосымша энергиясы центрден тепкіш потенциалдық энергия деп аталады. Біртекті айналып тұрған санақ жүйесіне қатысты алған бөлшектің жылдамдығы ; осы бөлшектің инерциалды санақ жүйесі К0 –ға қатысты жылдамдығы жылдамдығымен былай байланысты: + (20) Сондықтан К жүйесіндегі импульс оның К0 жүйесіндегі импульсі сәйкес келеді. Сонымен қатар моменттері де сәйкес келеді. 0] және ] (21) Ал К және К0 жүйелеріндегі энергиялары әр түрлі болады. Сондықтан (20)-(19)-ға қойып: (22)
Осынадғы алғашқы екі мүше К0 жүйесінің энергиясы Е0 білдіреді, ал үшінші мүшесі импульс моменті, сондықтан: . (23)
Осы формуламен координаттар жүйесінің біртекті айнымалы қозғалысқа өткен кездегі энергияның түрленуін есептеуге болады. жүктеу/скачать 0,74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|