7. Экстремалдылық принципі
жүктеу/скачать 173,8 Kb. Pdf көрінісі
|
| Шешімі:
Жиналысқа соңғы келген депутатты алайық. Ол келгенше депутаттардың ешқайсысы кете алмады, әйтпесе кеткен адам соңғы келгенмен кездесе алмайды. Демек, соңғысы келгенде жиынға депутаттар түгел қатысты. 117. Шахмат тақтасының әрбір шаршысында келесідей нөмір орналастырылған: әрбір сан барлық көршілерінің арифметикалық ортасына тең. Барлық реттелген сандар бір-біріне тең екенін дәлелдеңдер. Шешімі: Жазылған ең үлкен санды қарастырайық. Сандардың арифметикалық ортасы олардың ең үлкенінен аспайтындықтан және барлық сандар бір-біріне тең болған жағдайда ғана теңдікке қол жеткізілетіндіктен, қарастырылып отырған сан оның көршілерінің әрқайсысына тең болады. Ұқсас пайымдауларды осы көршілердің әрқайсысына және т.б. жүргізуге болады. Сандар саны шекті болғандықтан, барлық сандар тең. Ескерту: шешім іргелес ұяшықтардың қалай анықталатынына байланысты емес (қатар, диагональ және т.б.). 118. Жазықтықта N нүкте берілген және осы нүктелерде ұштары бар барлық кесінділердің ортаңғы нүктелері белгіленген. Кем дегенде 2n - 3 ерекше белгіленген нүктелер бар екенін дәлелдеңіз. Шешімі: Бір-бірінен ең алыс (берілген n нүктелердің ішінде) екі А және В нүктесін қарастырайық. С - АВ және AC = BC = R кесіндісінің ортасы болсын. Бір ұшы А нүктесі болып табылатын барлық кесінділердің ортаңғы нүктелері центрі А және радиусы R болатын шеңберге жатады (кесінділердің осындай n – 1 орта нүктелері бар). Сол сияқты, бір ұшы В нүктесі болатын барлық кесінділердің ортаңғы нүктелері центрі B және радиусы R (сонымен қатар n - 1) шеңберге жатады. Бұл екі шеңбердің бір ғана ортақ С нүктесі болғандықтан (ол екі жиынға да кіреді), (n - 1) + (n - 1) - 1 = 2n - 3 белгіленген орта нүктелерден кем болмайды. 119. Жалпы позициядағы 2010 түзулер (ешқайсысы екеуі параллель емес ешқайсысы үшеуі бір нүкте арқылы өтпейді) жазықтықты бөліктерге бөледі. Кез келген түзудің үшбұрышты бөлікке іргелес екенін дәлелдеңіз. Шешімі: Ерікті a түзуін және оған ең жақын А нүктесін, басқа екі 𝑙 1 және 𝑙 2 түзулерінің қиылысуын қарастырайық. Сонда a, 𝑙 1 және 𝑙 2 түзулері арқылы құрылған үшбұрыш басқа ешбір түзуді қимайды, өйткені бұл жағдайда А нүктесіне қарағанда а түзуіне жақын жатқан түзулердің қиылысу нүктесі болады. 120. 21-ші сан туралы олардың кез келген бес санның қосындысы оң болатыны белгілі. Барлық сандардың қосындысы оң екенін дәлелдеңіз. Шешімі: 𝑎 1 , 𝑎 2 ,..., 𝑎 21 - сандары өсу ретімен жазылсын. Барлық сандардың қосындысын бес мүшеден тұратын топтарға (әрбір мұндай қосынды шарт бойынша оң) және 𝑎 21 санына (ол ең үлкен, сондықтан ол да оң) бөлейік. Сонда барлық сандардың қосындысы бес оң мүшенің қосындысына тең болады: 𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + ( 𝑎 1 + ⋯ + 𝑎 5 ) + ⋯ + ( 𝑎 15 + ⋯ + 𝑎 20 ) + 𝑎 21 121. а) Алты натурал сан берілген. Олардың барлығы әртүрлі және жалпы қосындысының саны 22. Осы сандарды тауып, басқалары жоқ екенін дәлелде. б) Тура сол сұрақ. Барлық сандардың қосындысы 5051 болатын 100 сан . Жауабы: а) 1, 2, 3, 4, 5, 7. Сандарды өсу ретімен орналастырайық. Сонда әрбір сан өз санынан кем болмайтыны анық. Барлық сандардың сандарының қосындысын табайық: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Бұл қосынды сандардың өздерінің қосындысынан бір кем. Бұл бір сан оның санынан бір үлкен, ал қалғандары оның санына тең дегенді білдіреді. Тек соңғысы оның санынан үлкен сан болуы мүмкін. Шынында да, егер сан оның санынан үлкен болса, онда барлық кейінгі сандар да оның санынан үлкен болады. б) жүктеу/скачать 173,8 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|