3-Анықтама. Ли алгебрасының , түріндегі дифференциалдауы ішкі дифференциалдау, ал басқа дифференциалдаулар сыртқы дифференциалдаулар деп аталады.
Ли алгебрасының барлық ішкі дифференциалдаулар жиынын арқылы, ал сыртқы дифференциалдаулар жиынын арқылы белгілейді.
Ли алгебрасы үшін сызықты бейнелеуін қарастырайық.
1-Тұжырым. сызықты бейнелеуі – Ли алгебралар гомоморфизмі.
Дәлелдеуі. екенін дәлелдеу жеткілікті. Шынында да,
.
1-Тұжырым дәлелденді.
6.3. Алгебраның автоморфизмі, алгебраның автоморфизмдер группасы 4-Анықтама. алгебрасының автоморфизмі деп кезкелген үшін теңдігін қанағаттандыратындай биективті бейнелеуін айтады.
Мысалы, кезкелген алгебра болсын. Онда формуласы арқылы берілген бейнелеуі алгебрасының автоморфизмі болады, оны теңбе-тең автоморфизм дейді.
алгебрасының барлық автоморфизмдерінің жиынын арқылы белгілейік. Ол бейнелеулерді көбейту амалына қатысты группа құрайды. Шынында да, бейнелеулерді көбейту амалының ассоциативті екені белгілі, бейтарап элемент ретінде теңбе-тең түрлендіруді алуға болады. Сол сияқты, элементтері биективті болғандықтан оның әрбір элементіне кері элемент бар болады. Бұл группаны алгебрасының автоморфизмдер группасы дейді.
Егер алгебрасы өрісіндегі ақырлы өлшемді алгебра және болса, онда группасы группасының ішкі Ли группасы болады. Сонымен қатар келесі тұжырым орынды:
