9.2 Ли алгебрасы үшін модуль ұғымы
1-Анықтама. – Ли өрісіне қатысты Ли алгебрасы болсын. -модуль деп барлық үшін теңдігі орындалатындай бисызықты бейнлеуі анықталған сызықты кеңістігін айтады.
9.2 Ли алгебрасының модулі мен көрінісі арасындағы байланыс
1-Теорема. сызықты кеңістігіндегі -модульдік құрылым Ли алгебрасының сызықты кеңістігіндегі көрінісін бірмәнді анықтайды.
Дәлелдеуі. – -модуль болсын. бейнелеуін , теңдігімен анықтайық. бейнелеуі бисызықты болғандықтан және бейнелеуі бойынша сызықты. Одан әрі,
.
Олай болса, – Ли алгебрасының сызықты кеңістігіндегі көрінісі болады екен.
Керісінше, – Ли алгебрасының сызықты кеңістігіндегі көрінісі боса, онда сызықты кеңістігіндегі -модульдік құрылымды теңдігі арқылы анықтауға болады. Теорема дәлелденді.
Мысал ретінде жоғарыда келтірілген көріністерге сәйкесті -модульдерді анықтайық.
1) – өрісіне қатысты Ли алгебрасы, ал – өрісіне қатысты сызықты кеңістік болсын. Онда кезкелген үшін болатындай бисызықты бейнелеуі сызықты кеңістігінде -модульдік құрылымды анықтайды. Шынында да, кезкелген үшін және . Олай болса, кезкелген үшін болатындай бисызықты бейнелеуі -модуль болады. Мұндай -модульдер тривиаль деп аталады.
2) Егер – өрісіне қатысты Ли алгебрасы, ал – оның ішкі Ли алгебрасы және – Ли алгебрасының сызықты кеңістігіндегі көрінісі болса, онда
теңдігімен анықталған бисызықты бейнелеуі сызықты кеңістігінде -модульдік құрылымды анықтайды.
3) – Ли алгебрасының кеңістігіндегі жапсарланған көрінісі болсын. Онда кеңістігі -модуль болады. -модульдік құрылым , теңдігі арқылы анықталады. Мұны жапсарланған -модуль дейді.
Достарыңызбен бөлісу: |
