Лекция 13-14
Тақырыбы: Альтернативті алгебралар.
13.1 Альтернативті алгебра туралы түсінік.
13.2 Артин теоремасы.
13.3 Дәрежелі ассоциативті алгебра.
14.4 Нильалгебра.
14.5 Пирс жіктелуі.
13.1 Альтернативті алгебра туралы түсінік
өрісіне қатысты альтернативті алгебра деп
(1)
(2)
тепе-теңдіктерін қанағаттандыратын алгебрасын айтады. Ассоциаторлар арқылы (1) және (2) тепе-теңдіктер мына түрде жазылады:
()
()
Сонымен бірге оларды сол және оң жақ көбейтулер арқылы жазуға болады:
()
()
1-Лемма. альтернативті алгебра және үшінші дәрежелі симметриялық группа болсын. Онда кезкелген және кезкелген үшін
Дәлелдеуі. Қолалылық үшін алгебра элементтері үшін индекссіз белгілеуді пайдаланамыз. Келесі теп-теңдіктерді дәлелдеу жеткілікті:
(3)
(4)
Шынында да, () бойынша үшін
Бұдан (3)-тің орындалатындығы шығады. Осыған ұқсас, () бойынша үшін Бұған ()-ты пайдалансақ, (4) шығады.
1-Леммадан альтернативті алгебраларда ассоциатордың альтернативті екені шығады. Бұл (1) және (2) тепе-теңдіктер арқылы анықталатын алгебраның альтернативті деп аталуына негіз болады.
1-Леммадан сол және оң жақ көбейтулер үшін келесі тепе теңдіктер шығады:
(5)
(3) және () бойынша
(6)
()
()
() тепе-теңдік икемділік заңы деп аталады. Бұған дейін айтылған Ли алгебралары, жордандық және альтернативті алгебралар икемді алгебралар болып табылады. Икемділік заңының сызықты түрі былайша жазылады:
2-Лемма. (Муфанг тепе-теңдіктері) альтернативті алгебра болсын. Онда кезкелген үшін келесі теңдіктер орындалады:
(7)
(8)
(9)
Дәлелдеуі. Алдымен () бойынша жазуының дұрыс болатындығына назар аударайық. Мынаны аламыз:
Бұдан (7)-нің орындалатындығы шығады. (8) тепе-теңдік антиизоморфты алгебраға көшу арқылы алынады. Соңында (7)-ні пайдалану арқылы мынаны аламыз:
Бұдан (9) шығады.
Достарыңызбен бөлісу: | 
