13.2 Артин теоремасы
Альтернтивті алгебралардың құрылымына қатысты маңызды тұжырымдардың бірі Артин теоремасы. Оны тұжырымдап, дәлелдемесін келтірейік.
1-Теорема (Артин теоремасы). Альтернативті алгебрасының кезкелген екі элементі арқылы жасалған ішкі алгебра ассоциативті болады.
Дәлелдеуі. Альтернативті алгебрасының бір элементінің дәрежесін былайша анықтайық: Алдымен бір элементі арқылы жасалған ішкі алгебрасының ассоциативті екенін келесі тепе-теңдікті дәлелдеу арқылы көрсетейік:
(10)
Алдымен келесі тепе-теңдікті бойынша индукциямен дәлелдейік:
(11)
Оның болғанда орындалатындығы бірден түсінікті, үшін орындалатындығы икемділік заңы мен индукция ұйғарымынан шығады:
Енді (10)-ды бойынша индукциямен дәлелдейміз. Оның болғанда дұрыс екені анықтамам мен (1)-ден шығады: Онда деп есептеп, (11), (7) және индукция ұйғарымын пайдаланып мыныны аламыз:
Бұдан (11)-дің орындалатыны шығады. Демек, ассоциативті ішкі алгебра.
Әрі қарай,
(12)
тепе-теңдігін дәлелдейік. Алдымен болсын дейік:
(13)
(13)-тің жағдайы (1) бойынша орындалады, ал болғанда (1) және (7) бойынша, . Енді деп есептеп, (13) үшін индукция ұйғарымын -тің орнына -ті, ал -дің орнына -ді қою арқылы жазамыз: Онда (7) бойынша,
Сонымен, (12) үшін дәлелденді. (12) үшін индукция ұйғарымын -тің орнына -ті қою арқылы мына түрде жазуға болады: Онда (13) бойынша, Демек, (12) кезкелген үшін орындалады. Олай болса
(14)
(15)
тепе-теңдіктері де орындалады.
алгебрасында дистрибутивтілік заң орындалатын болғандықтан оның және арқылы жасалған ішкі алгебраның ассоциативті болатынын көрсету үшін
(16)
тепе-теңдігін дәлелдеу жеткілікті. (14) бойынша Бұдан (16) орындалатыны шығады.
Достарыңызбен бөлісу: |
