14.2 Пирс жіктелуі
3-Теорема. Кезкелген ақырлы өлшемді жартылай жәй альтернативті алгебраcы жәй алгебралардың тік қосындысына жіктеледі:
мұндағы – әрбір үшін жәй алгебра.
Бұл теореманы дәлелдеу идемпотент ұғымымен байланысты Пирс (Peirce) жіктелуінің қасиеттеріне негізделген. алгебрасының болатындай элементі идемпотент деп аталады.
1-Тұжырым. Нильалгебра болып табылмайтын кезкелген ақырлы өлшемді дәрежелік ассоциативті алгебрасында идомпотент бар болады.
Дәлелдеуі. алгебрасында нильпотентті емес элементі бар болады, себебі ол нильалгебра емес. элементі арқылы жасалған ішкі алгебрасы – нильалгебра емес ассоциативті алгебра. Онда -тің идемпотенті бар (Альберт). Демек, -дің де идемпотенті бар болады.
() және () бойынша -дегі және – идемпотент операторлар, ал () бойынша олар коммутативті. Онда Пирс жіктелуі деп аталатын векторлық кеңістіктердің келесі тік қосындысысы түрінде жазылады:
(18)
мұндағы
(19)
Ассоциативті алгебралардағыға ұқсас, (18) Пирс жіктелуі бойынша, -дің кезкелген элементі
(20)
түрінде жазылады.
Енді Пирс жіктелуінің кейбір қасиеттеріне тоқталайық. Мынаны аламыз:
Осыған ұқсас, Олай болса,
(21)
Демек, және ішкі кеңістіктері қатыстары орындалатындай ішкі алгебралар болады екен. Сонымен бірге, (7) бойынша, ; осыған ұқсас, Бұдан, және -дің ортогональ ішкі алгебралар екенін көреміз.
Осылайша, қатыстарын да дәлелдеуге болады.
Достарыңызбен бөлісу: |
