11.2 Тензорлық көбейтінділеріндегі -модульдік құрылымдар
Ли алгебрасы -ді және-модульдер -ні қарастырайық. Сызықты кеңістіктердің тензорлық көбейтіндісінде
(1)
формуласы арқылы -модульдік құрылым енгізуге болады. Шынында да, кезкелген үшін
.
Мұнда бірінші теңдік (1) формула бойынша, екінші теңдік және -нің -модульдер екендігінен, үшінші теңдік тензорлық көбейтіндінің бисызықтылығынан, ал соңғы теңдік (1) формула бойынша алынды.
Сонымен, сызықты кеңістігі (1) формула бойынша -модульге айналады екен. Оны және -модульдерінің тензорлық көбейтіндісі деп атайды.
Енді – ақырлы өлшемді кеңістік болсын дейік. канондық изомомрфизмін пайдаланып, сызықты кеңістігінде -модульдік құрылым енгізуге болады. Егер болса, онда мұндағы . Бұл жағдайда канондық изомомрфизмін
, мұндағы
формуласы арқылы беруге болады. Егер болса, онда элементі
тензорына сәйкес келуі керек. Онда
Анықтама бойынша деп алайық. Бұл формула сызықты кеңістігінде -модульдік құрылымды анықтайды. Шынында да, кезкелген үшін
Cонымен,
,
формуласы сызықты кеңістігінде -модульдік құрылымды анықтайды екен.
өрісіндегі сызықты кеңістігі үшін , мұндағы , , алгебрасын қарастырайық. Оны сызықты кеңістігінің өрісіндегі тензорлық алгебрасы деп атайды. Алдыңғы пункттегі 3-Тұжырымның 2) тармағы бойынша ол – ассоциативті алгебра, сонымен қатар оның ақырсыз өлшемді алгебра екені анық.
– -модуль және болсын. Егер барлық үшін болса, онда элементі -инвариантты элемент деп аталады. -ның барлық -инвариантты элементтерінің жиыны арқылы белгіленеді . -дің -ның тривиаль ішкі модулі екені айқын.
Мысалдар: 1) болғанда Ли алгебрасының модулі үшін
2) болғанда Ли алгебрасының жапсарланған модулі үшін .
Достарыңызбен бөлісу: |
