Aea 5301 «ассоциативті емес алгебралар» Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі
жүктеу/скачать 473,85 Kb.
|
umkd
- Бұл бет үшін навигация:
- 15.1 Квадраттық алгебра
| Лекция 15-16
Тақырыбы: Кэли-Диксон алгебралары. 15.1 Квадраттық алгебра. 15. 2 Кэли-Диксон алгебрасы. 16.1 Кэли-Диксон алгебраларының изоморфтылығы. 16.2 Кэли-Диксон алгебраларының көбейту кестесі. 15.1 Квадраттық алгебра – сипаттамасы 2-ге тең емес өріс болсын. 1 бірлік элементі бар, және әрбір үшін (1) болатындай өрісіне қатысты алгебрасы квадраттық алгебра деп аталады. Егер болса, онда (1)-дегі скалярлары бірмәнді анықталады. -ті -тің ізі -ті -тің нормасы дейді. Із сызықты, ал норма квадраттық болу үшін және деп аламыз. алгебрасының инволюциясы (инволютивті антиизоморфизм) деп -дегі (2) шарттарын қанағаттандыратын сызықты операторын айтады. Бұл инволюция келесі қасиеттерді қанағаттандырады: (3) Егер
() деп алсақ, онда (3)-тен (1)-дің шығатыны оңай көрінеді. 𝔅 – өрісіне қатысты өлшемді 1 бірлік элементі бар және (3) қанағаттандыратын инволюциясы берілген алгебра болсын. 𝔅 алгебрасы ішкі алгебра болатындай және онымен қасиеті бірдей өрісіне қатысты өлшемді алгебрасын құрайық. ретінде барлық реттелген жұптардың жиынын алып, қосу және скалярға көбейту амалдарын құраушылар бойынша, ал көбейту амалын (4) мұндағы – қандай да бір нольдік емес скаляр, теңдігі арқылы анықтайық. Онда – -дің бірлік элементі, – -дің -ға изоморфты ішкі алгебрасы, – -дің теңдігі орындалатындай элементі және векторлық кеңістіктердің тік қосындысы ретінде жазылады. -ты -мен теңестіріп, -дің кезкелген элементін (5) түрінде жазуға болады. Онда (4) мына түрге келеді: () Енді
(6) деп алайық. Онда () бойынша, , себебі операторы -дағы инволюция. Демек, (6) бойынша анықталған операторы -дегі инволюция болады. Сонымен қатар, мұндағы (5) арқылы берілген үшін (7) -дағы норма азғындалмаған квадраттық форма, сол себепті онымен байланысты (8) симметриялық бисызықты формасы азғындалмаған болсын. Онда -дегі (7) арқылы анықталған нормасы да азғындалмаған болады. Шынында да, үшін Олай болса, барлық үшін екендігінен барлық үшін екендігі шығады. Бұдан, екендігінен барлық үшін немесе екендігі шығады, себебі -да азғындалмаған. Осыған ұқсас, екендігінен барлық үшін немесе екендігі шығады, себебі және -да азғындалмаған. Олай болса, ал – -дегі азғындалмаған норма. Сонымен, мынадай маңызды тұжырымды дәлелдей аламыз: жүктеу/скачать 473,85 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|