Қайта өрлеу дәуіріндегі математиктің рефераты. Қайта өрлеу дәуірінің математик рефераты Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулер
жүктеу/скачать 483,15 Kb.
|
маттарих
|
Қайта өрлеу дәуіріндегі математиктің рефераты. Қайта өрлеу дәуірінің математик рефераты Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулер https://dwax.ru/kk/referat-matematika-epohi-vozrozhdeniya-referat-matematika-epohi-vozrozhd Франсуа Виеттің алгебрасы (1540-1603ж.). Ол «Аналитикалық исскуствоға енгізуде» баяндалған жаңа символикалық алгебра құрды. Виет көрнекті және әр уақытта бірдей символдар, берілген шамаларды белгісізден айыра алуға болатын символдар қажет деп жазды. Осы жаңадан енгізу және әріптік коэффиценттерді пайдалану алгебра дамуының түбірлі өзгеруінің бастамасы болды. Қазір ғана алгебралық есептеу формулалар жүйесі, оперативті алгоритм сияқты мүмкін болды. Виет символикасын көптеген математиктер пайдаланды, соның ішінде П.Ферма XVII ғ. ортасына дейін. Виет символикасы қолайсыз болды, дербес жағдайда дәреженің сөздік белгілеуі ыңғайсыз болды « және геометрияда» (1593 ж.). кубтың теңдеуі мынадай түрде жазылған: А cubus minus guadrato ter in A acguatur z cubo. Бұл жерде ter сөзі «үш есе», ал acguatur – «теңеседі» білдіреді. Берілген түбірлермен теңдеулер құру сұрағын және түбірлер мен коэффициенттер арасындағы тәуелділік сұрағын зерттеу маңызды қызығушылыққа ие болды. Өзінің тарктаттарынның бірінде Виет сандық коэфициентті алгебралық теңдеулердің жуықтап шешу әдісін өңдеді. Ол түріндегі екі мүшелі теңдеу қарастырды, оның шешуі түбірден шығару арқылы табылады. Көпмүшелі теңдеулер үшін Виет әдісі түбірден шығару әдісінің дамуы болып табылады, ол Шығыс математиктері пайдаланған әдістерге ұқсас болды. Қайта өрлеу дәуірінің математикасының мәні. Кеңістік фигураларының көріністік бейнеленуі, яғни осы фигураларының жазықтықта орталық жобалауы ежелгі гректермен «скинографияда» қолданылды. Ол – сценалық декарацияларды жазу өнері. Осы облыста Леонардо да Винчи (1452-1519), Альбрехт Дюрер (1471-1528) – сол уақыттың ұлы суретшілердің жұмыстары белгілі болды. Бұл жұмыстар – «живопись жайында трактат» (Леонардо) және «Адам денесі мүшелерінің симетриялығы туралы» (Дюрер). Сонымен бірге Дюрер магиялық квадраттар құруымен шұғылданған ескертеміз және дербес жағдайда Европадағы бірінші магиялық квадрат құрды: Позициялық ондық арифметика енгізілді. Осы уақытта арифметикалық және алгебралық белгілеу құрылды, оның болмауы ертерек теңдеулер теориясының прогрессін бөгеді. Бөлшек және теріс сандар енгізілді. 3 және 4 дәрежелі теңдеулерді радикалды шешу мәселесі сәті шешілді. Осы мәселені шешумен байланысты формальды түрде жорамал сандар енгізілді. Виет белгісіздер мен көпмүшелердің коэфиценттері үшін арнайы әріптік белгілеу енгізіп, сол сияқты алгебралық операциялар символикасын кеңейтіп алгебраны символикалық есептеу ретінде құрастырды. Арифметикаға ондық бөлшектер енгізілді. 1. Математика эпохи Возрождения математика возрождение дробь алгебраический XV и XVI века вошли в историю Европы под названием «эпохи Возрождения», при этом имеется в виду возрождение того высокого уровня культуры, который был достигнут в античном мире. На самом же деле эта эпоха характеризуется гораздо более глубокими преобразованиями в жизни всего общества. В промышленности появляются мануфактуры, требующие технических усовершенствований и изобретений. Тогда же появляются в Европе компас, часы и порох, дешевая бумага и книгопечатание. Гигантски возрастает торговля, приведшая к исключительному росту мореплавания и к великим географическим открытиям. Бумага и книгопечатание делают научные знания необходимым элементом общественной жизни. Совершается подлинная культурная революция. Исторически сложилось так, что именно в математике начинают искать последний критерий истины. С одной стороны, чисто практическое преимущество, которое получал купец над конкурентами даже при небольшом улучшении способов вычисления своих координат на море, а с другой стороны, религиозные традиции, утверждавшие, что Вселенная построена Богом по математическому плану, ставили математику в центр внимания. И если в начале Средних веков «математиками» называли людей, занимавшихся астрологией, и подвергали их преследованию как колдунов и чернокнижников, то Леонардо да Винчи пишет, что тот, кто порочит высшую достоверность математики, тот питается сумбуром. В XV--XVI вв. математика развивается главным образом в Италии, Франции и Германии, к которым в конце XVI в. присоединяется Голландия. В первой половине XVI в. благодаря усилиям итальянских математиков в алгебре происходят крупные сдвиги, сопровождаемые весьма драматическими событиями. Профессор Болонского университета Сципион Даль Ферро (1465-1526) находит общее решение уравнения третьей степени но держит его в секрете, ибо оно представляет большую ценность на соревнованиях по решению задач, которые тогда широко практиковались в Италии. Перед смертью он открывает секрет своему ученику Фиоре. В 1535 Фиоре вызывает на соревнование талантливейшего математика Никколо Тарталью (1499-1557), который, зная, что Фиоре обладает способом решения кубического уравнения, прилагает максимум усилий и сам находит решение! Тарталья побеждает на соревновании, но также держит свое открытие в секрете. Наконец, на сцене появляется Джероламо Кардано (1501-1576). Он тщетно пытается найти алгоритм решения кубического уравнения и в 1539 г. обращается к Тарталье с просьбой поведать ему тайну. Взяв с Кардано «священную клятву» молчания, Тарталья частично и в не слишком вразумительной форме приоткрывает для него завесу. Кардано не удовлетворяется и прилагает усилия, чтобы ознакомиться с рукописью покойного Даль Ферро. Это ему удается, и в 1545 г. он публикует книгу, в которой сообщает алгоритм, сводящий решение кубического уравнения к радикалам («формула Кардано»). В этой же книге содержится еще одно открытие, сделанное учеником Кардано Луиджи (Лудовико) Феррари (1522-1565), а именно решение в радикалах уравнения четвертой степени. Тарталья обвиняет Кардано в нарушении клятвы, завязывается острая и продолжительная полемика. С основными трудами Тартальи историки науки познакомились в начале XIX в. В "Новой науке" (1537) Никколо рассматривает различные вопросы механики, свободного падения тел и первым находит, что дальше всего камень улетит, если его бросить под углом 45° к горизонту. "Вопросы и различные изобретения" (1546) посвящены практической механике. В этом труде автор решает различные задачи топографии, фортификации и баллистики. Наконец, в последней работе - "Общем трактате о числе и мере" - он рассматривает различные проблемы арифметики, алгебры, геометрии и теории вероятностей. Историк науки Мориц Кантор считает, что у Тартальи было слишком мало времени для решения проблемы, над которой лучшие умы бились на протяжении двух тысячелетий. Кроме того, добавляет он, решения Тартальи и дель Ферро похожи как две капли воды. В настоящее время большинство ученых сходится на том, что первым решение кубического уравнения нашел Ферро; Фиоре узнал его от своего учителя; Тарталья переоткрыл формулу Ферро; Кардано же дал полную и исчерпывающую теорию решения любого уравнения третьей степени. Джероламо Кардано (1501-1576) вошёл в историю как математик, философ, естествоиспытатель и изобретатель. Существует легенда, будто он составил свой гороскоп и предсказал, что умрёт 21 сентября 1576 г. Дабы поддержать собственную славу астролога, к назначенному сроку он уморил себя голодом. Даже если этот рассказ и вымышленный, суть характера Кардано передана очень верно. Самой известной книгой Кардано стал трактат по алгебре под названием "Великое искусство", опубликованный в 1545 г. Книга содержала формулы решения кубического уравнения - секрет Даль Ферро и Тартальи. Франсуа Виет (1540-1603) родился в городке Фонтене-ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Ро-шель. Сын прокурора, Виет получил юридическое образование и начал адвокатскую практику в родном городе. Но вскоре он стал секретарём и домашним учителем в доме знатного дворянина-гугенота де Партеней. (Гугеноты - последователи кальвинизма, одного из основных течений Реформации Церкви.) Тогда Виет очень увлёкся изучением астрономии и тригонометрии и даже получил некоторые важные результаты. В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и отчасти благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти - Генриха IV. Но главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики. Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, изучать в общем виде алгебраические уравнения или какие-нибудь алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Так, например, у Кардано рассматривались 66 видов алгебраических уравнений. Поэтому надо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самых чисел не зависят. Виет и его последователи установили, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получить числа того же рода. Значит их можно обозначить какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Не случайно, что Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики. Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой о выражении корней квадратного уравнения через его коэффициенты, полученной им самостоятельно, хотя как теперь стало известно, зависимость между коэффициентами и корнями уравнения (даже более общего вида, чем квадратное) была известна еще Кардано, а в таком виде, в каком мы используем ее для квадратного уравнения древним вавилонянам. Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов кратных дуг через sin(x) и cos(x). Эти знания тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических уравнений, так и в геометрии, например, при решении с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам. Лука Пачоли (около 1445 - около 1514) был крупнейшим европейским алгебраистом XV в. В Милане он подружился с выдающимся художником и учёным Леонардо да Винчи. По настоянию Леонардо в 1497 г. Пачоли написал книгу "О Божественной пропорции" (её печатное издание вышло в Венеции в 1509 г.). Сам Леонардо выполнил иллюстрации для этой книги, в том числе 59 изображений многогранников. Но самым знаменитым сочинением Пачиоли стала "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" (1487 г.). На Руси математика начинает развиваться только в XVI в., когда после освобождения Руси от татарского ига устанавливаются новые связи между нею и Западной Европой. В это время на Руси появляются рукописные переводы и компиляции из сочинений европейцев и европейских переводов ученых Востока; в этих рукописях создается русская математическая терминология. Особенно следует отметить арифметические рукописи с традиционным названием. «Книга рекома по-гречески арифметика, а по-немецки -- алгоризма, а по-русски цифирная счетная мудрость». До настоящего времени дошла единственная математическая рукопись XVI в.-- «статья» из «Книги сошному письму», посвященная вычислению налога с земли, взимавшемуся в зависимости от количества и качества земельной площади в условных единицах -- «сохах». Здесь же впервые описываются русские счеты, первоначально приспособленные для расчетов «сошного письма». В XVI--XVII вв. появляются первые русские рукописные книги по математики, вытесненные в начале XVIII в. книгой Л. Ф. Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная», напечатанной в Москве в 1703 г. Подводя итоги этого обзора, можно сказать, что в Эпоху Возрождения математика Европы впервые вышла за пределы знаний, полученных в наследство от древних греков и народов Востока. Именно в это время закончилась решительной победой многовековая борьба за введение позиционной десятичной арифметики. В это время была создана арифметическая и алгебраическая символика, отсутствие которой тормозило прогресс теории уравнений ранее. Введены были дробные и отрицательные показатели и отрицательные числа; успешно решена проблема решения в радикалах уравнений третьей и четвертой степеней -- проблема, перед которой остановились ученые стран ислама. В связи с решением этой проблемы были формально введены мнимые числа. Виет построил алгебру как символическое исчисление, введя специальные буквенные обозначения для неизвестных и для коэффициентов многочленов, а также расширив символику алгебраических операций. В арифметике были введены десятичные дроби, удобства которых быстро оценили ученые. Значительны были достижения плоской и сферической тригонометрии, были усовершенствованы методы вычисления таблиц. Долгий период изучения постоянных величин подходил к завершению. Были созданы условия для возникновения теории переменных величин, символической алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. Перевод
математика Ренессанс бөлшек алгебралық XV және XVI ғасырлар Еуропа тарихына "қайта өрлеу дәуірі" деген атпен кірді, бұл ежелгі әлемде қол жеткізілген мәдениеттің жоғары деңгейінің жандануын білдіреді. Шын мәнінде, бұл дәуір бүкіл қоғам өміріндегі әлдеқайда терең өзгерістермен сипатталады. Өнеркәсіпте техникалық жетілдірулер мен өнертабыстарды қажет ететін өндіріс орындары пайда болады. Содан кейін Еуропада компас, сағат және мылтық, арзан қағаз және басып шығару пайда болады. Сауда-саттық үлкен өсуде, бұл навигацияның ерекше өсуіне және үлкен географиялық ашылуларға әкелді. Қағаз және басып шығару ғылыми білімді қоғамдық өмірдің қажетті элементіне айналдырады. Шынайы мәдени революция жүріп жатыр. Тарихи тұрғыдан алғанда, математикада олар шындықтың соңғы критерийін іздей бастайды. Бір жағынан, саудагердің бәсекелестерге қарағанда таза практикалық артықшылығы, тіпті теңіздегі координаттарын есептеу тәсілдері сәл жақсарған кезде де болды, ал екінші жағынан, ғаламды Құдай математикалық жоспар бойынша салған деп тұжырымдайтын діни дәстүрлер математиканы басты назарға алды. Егер орта ғасырдың басында астрологиямен айналысатын адамдар "математиктер" деп аталып, оларды сиқыршылар мен варлоктар ретінде қудаласа, онда Леонардо да Винчи математиканың жоғары сенімділігіне нұқсан келтіретін адам сумбурмен қоректенеді деп жазады. XV--XVI ғасырларда математика негізінен Италияда, Францияда және Германияда дамиды, оған XVI ғасырдың аяғында Голландия қосылады. XVI ғасырдың бірінші жартысында.итальяндық математиктердің күш-жігерінің арқасында алгебрада үлкен өзгерістер орын алады, олар өте драмалық Оқиғалармен бірге жүреді. Болон университетінің профессоры Скипио дал Ферро (1465-1526) жалпы шешімін табады үшінші дәрежелі теңдеулер бірақ оны құпия ұстайды, өйткені ол сол кезде Италияда кеңінен қолданылған есептерді шешуге арналған жарыстарда үлкен мәнге ие. Өлер алдында ол өзінің шәкірті Фиораға құпияны ашады. 1535 жылы Фиоре талантты математик Никколо Тартальоны (1499-1557) жарысқа шақырады, ол фиоренің текше теңдеуді шешу тәсілі бар екенін біліп, бар күшін салып, шешімін өзі табады! Тартаглия жарыста жеңіске жетеді, бірақ сонымен бірге оның ашылуын құпия ұстайды. Соңында Джероламо Кардано (1501-1576) сахнаға шығады. Ол кубтық теңдеуді шешудің алгоритмін бекер табуға тырысады және 1539 жылы Тартальяға құпияны айтуды сұрайды. Карданодан үнсіздіктің "қасиетті антын" алып, Тарталья ішінара және тым ақылға қонымды түрде оған перде ашады. Кардано қанағаттанбайды және марқұм Даль Ферроның қолжазбасымен танысуға күш салады. Ол сәтті болып, 1545 жылы куб теңдеуінің шешімін радикалдарға дейін төмендететін алгоритм туралы есеп беретін кітап шығарады ("Кардано формуласы"). Сол кітапта карданоның шәкірті Луиджи (Лудовико) Феррари (1522-1565) жасаған тағы бір жаңалық, атап айтқанда төртінші дәрежелі теңдеудің радикалдарындағы шешім бар. Тарталья Карданоны антты бұзды деп айыптайды, өткір және ұзаққа созылған дау туындайды. "Жаңа ғылымда" (1537) Никколо механиканың әртүрлі мәселелерін, денелердің еркін құлауын қарастырады және тас көкжиекке 45° бұрышпен лақтырылса, ең алыс ұшатынын бірінші болып табады. "Сұрақтар мен әртүрлі өнертабыстар" (1546) практикалық механикаға арналған. Бұл жұмыста автор топография, фортификация және баллистиканың әртүрлі мәселелерін шешеді. Ақырында, соңғы жұмыста - "сан мен өлшем туралы жалпы трактатта" ол арифметика, алгебра, геометрия және ықтималдық теориясының әртүрлі мәселелерін қарастырады. Ғылым тарихшысы Мориц Кантор Тарталияның екі мыңжылдықта ең жақсы ақыл-ойлар күрескен мәселені шешуге тым аз уақыты болды деп санайды. Сонымен қатар, ол Тарталья мен дель Ферроның шешімдері екі тамшы суға ұқсас деп қосады. Қазіргі уақытта ғалымдардың көпшілігі бірінші болып келіседі текше теңдеудің шешімі Ферро тапты; Фиоре оны мұғалімінен таныды; Тартаглия Ферро формуласын қайта ашты; Кардано сонымен қатар кез-келген үшінші дәрежелі теңдеуді шешудің толық және толық теориясын берді. Джероламо Кардано (1501-1576) тарихқа математик, философ, натуралист және өнертапқыш ретінде кірді. Аңыз бар, ол өзінің жұлдыз жорамалын жасап, 1576 жылы 21 қыркүйекте қайтыс болады деп болжаған, астрологтың өзінің даңқын қолдау үшін, белгіленген мерзімге дейін ол аштан өлді. Бұл оқиға ойдан шығарылған болса да, Кардано кейіпкерінің мәні өте дұрыс жеткізілген. Карданоның ең танымал кітабы 1545 жылы жарық көрген "ұлы өнер" деп аталатын алгебра трактаты болды.кітапта текше теңдеуді шешудің формулалары - дал Ферро мен Тартальяның құпиясы болды. Франсуа Виет (1540-1603) Пуату провинциясының Фонтейн-Ле-Конт қаласында, әйгілі Ла-РО-шель бекінісінің жанында дүниеге келген. Прокурордың ұлы Виет заңгер дәрежесін алып, туған қаласында адвокаттық қызметті бастады. Бірақ көп ұзамай ол дворян гугенот де Партенейдің үйінде хатшы және үй мұғалімі болды. (Гугеноттар-кальвинизмнің ізбасарлары, шіркеуді реформалаудың негізгі ағымдарының бірі.) Содан кейін Виет астрономия мен тригонометрияны зерттеуге өте қызығушылық танытты, тіпті кейбір маңызды нәтижелерге қол жеткізді. 1571 жылы Виет Парижге көшіп, сол жерде математик Пьер Рамуспен кездесті. Өзінің талантының арқасында және ішінара бұрынғы шәкіртінің ханзада де Роганға үйленуінің арқасында Виет керемет мансапқа ие болды және Генрих III - тің кеңесшісі болды, ал ол қайтыс болғаннан кейін Генрих IV болды. Бірақ Виеттің басты құмарлығы математика болды. Ол Архимед пен Диофант классиктерінің, Кардано, Бомбелли, Стевиннің және басқалардың ең жақын предшественниктерінің жазбаларын терең зерттеді. Виета олар тек қуантып қана қоймай, оларда ауызша символизмге байланысты түсіну қиындықтарынан тұратын үлкен кемшілікті көрді. Іс-әрекеттер мен белгілердің барлығы дерлік сөзбен жазылған, біз қазір қолданатын ыңғайлы, дерлік автоматты ережелер туралы ешқандай түсінік жоқ. Алгебралық теңдеулерді немесе кез-келген алгебралық өрнектерді жалпы түрде жазу және зерттеу мүмкін болмады. Сандық коэффициенттері бар теңдеудің әр түрі арнайы ережеге сәйкес шешілді. Мысалы, Карданода алгебралық теңдеулердің 66 түрі қарастырылды. Сондықтан осы сандарға тәуелді емес барлық сандар бойынша осындай жалпы әрекеттер бар екенін дәлелдеу қажет болды. Виет және оның ізбасарлары бұл санның заттардың саны немесе сегменттің ұзындығы болуы маңызды емес екенін анықтады. Ең бастысы, осы сандармен алгебралық әрекеттерді жасауға болады және нәтижесінде сол түрдегі сандарды қайтадан алуға болады. Сондықтан оларды кез-келген алаңдататын белгілермен белгілеуге болады. Виет мұны жасады. Ол өзінің әріптік есептеуін енгізіп қана қоймай, түбегейлі жаңа жаңалық ашты, сандарды емес, олардың әрекеттерін зерттеуді мақсат етті. Виета алгебраның "әкесі", әріптік символизмнің негізін қалаушы деп аталуы кездейсоқ емес. Виет әсіресе квадрат теңдеудің түбірлерін оның коэффициенттері арқылы білдіру туралы белгілі теоремамен мақтанды, бірақ қазір белгілі болғандай, коэффициенттер мен теңдеудің түбірлері арасындағы байланыс (квадраттан гөрі жалпы көрініс) карданоға да белгілі болды, және біз оны ежелгі Квадрат теңдеу үшін қолданамыз вавилондықтарға. Виеттің басқа жаңалықтарынан sin(x) және cos(x) арқылы бірнеше доғалардың синустары мен косинустары үшін өрнекті атап өткен жөн. Виет тригонометрия туралы бұл білімді алгебрада Алгебралық теңдеулерді шешуде де, геометрияда да сәтті қолданды, мысалы, компас пен сызғыш арқылы Пергус Аполлонийінің үш шеңберге жанама шеңбер құру туралы әйгілі мәселесін шешуде. Лука Пачоли (шамамен 1445 - шамамен 1514) XV ғасырдағы ең ірі еуропалық алгебрист болды. Леонардоның талабы бойынша 1497 жылы Пачоли "Құдайдың пропорциясы туралы" кітап жазды (оның баспа басылымы 1509 жылы Венецияда жарық көрді). Леонардоның өзі осы кітаптың иллюстрацияларын, соның ішінде полиэдраның 59 суретін орындады. Бірақ Пачиолидің ең танымал шығармасы "арифметика, геометрия, қатынастар және пропорционалдылық туралы білімнің жиынтығы" болды (1487). Ресейде математика XVI ғасырда ғана дами бастайды, Ресей татар қамытынан босатылғаннан кейін ол мен Батыс Еуропа арасында жаңа байланыстар пайда болған кезде. Осы уақытта Ресейде еуропалықтардың шығармаларынан және шығыс ғалымдарының еуропалық аудармаларынан қолжазба аудармалары мен жинақтары пайда болады; бұл қолжазбаларда орыс математикалық терминологиясы жасалады. Дәстүрлі атауы бар арифметикалық қолжазбаларды ерекше атап өткен жөн. "Кітап рекома грек тілінде арифметика, ал неміс тілінде алгоризм, ал орыс тілінде сандық санау даналығы". Осы уақытқа дейін XVI ғасырдың жалғыз математикалық қолжазбасы келді.-- "сохах" ЕО шартты бірліктеріндегі жер көлемінің саны мен сапасына байланысты алынатын жер салығын есептеуге арналған "сошному хаттың кітабынан" мақала". Мұнда алғаш рет орыс шоттары сипатталған, бастапқыда "сошный хатты"есептеуге бейімделген. 1703 жылы Мәскеуде басылған л. Ф. Магницкийдің "Арифметика, сандар туралы ғылым" кітабымен вытыстырылған математика бойынша алғашқы орыс қолжазба кітаптары пайда болды. жүктеу/скачать 483,15 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|