Қазақстан Республикасы Білім және ғылым Министрлігі Ахмет Байтұрсыноватындағы


ҒЫЛЫМ, БІЛІМ БЕРУ ЖӘНЕ ПРАКТИКАДА АҚПАРАТТЫҚ  ТЕХНОЛОГИЯЛАРДЫҢ



Pdf көрінісі
бет12/75
Дата21.02.2017
өлшемі39,72 Mb.
#4618
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   75

ҒЫЛЫМ, БІЛІМ БЕРУ ЖӘНЕ ПРАКТИКАДА АҚПАРАТТЫҚ  ТЕХНОЛОГИЯЛАРДЫҢ  
ДАМУ ЖОЛДАРЫ 
 
 
59
формирования  содержания  профессионально-ориентированного  обучения  математике.  Такие  комплексы 
должны  содержать  задачи,  формулировка  которых  профессионально  значима  для  студентов, 
следовательно, они должны касаться объектов их будущей профессиональной деятельности. 
В силу этого важной проблемой остается создание серии задачников (как общих, так и по отдельным 
областям  математики  и  по  группам  родственных  инженерных  специальностей),  которые  дали  бы 
достаточный материал для подобных упражнений. Анализ учебной литературы по математике для вузов 
подтверждает  актуальность  проблемы  разработки  методического  обеспечения  для  осуществления 
профессиональной  направленности  межпредметных  связей  математики  с  другими  дисциплинами  при 
обучении студентов инженерного профиля. 
 
Литература: 
1.  Антонов  Н.С.  Интегративная  функция  обучения  //Современные  проблемы  методики 
преподавания математики: Сб. статей. Учеб. пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. ин-тов. /Сост. 
Н.С. Антонов, В.А. Гусев. — М., Просвещение, 1985. — С.25-38. 
2.  Афанасьев  В.В.  Формирование  творческой  активности  студентов  в  процессе  решения 
математических задач: Монография. — Ярославль: Изд-во ЯЛТУ им. К.Д. Ушинского, 1996. — 168 с. 
3. Ашихмин В.Н., Гитман М.Б. и др. Введение в математическое моделирование: Учеб. пособие 
/Под ред. П.В. Трусова. — М.: Логос, 2005. - 440 с. 
 
 
УДК 514 
 
ТРАЕКТОРИИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА. СОПУТСТВУЮЩИЕ ТРАЕКТОРИИ 
  
Калакова  Г.К.  -  старший  преподаватель,  кафедра  информатика  и  математика, 
Костанайский государственный университет имени А.Байтурсынова 
Нурханова  А.Б.  –  магистрант,  Костанайский  государственный  университет  имени 
А.Байтурсынова 
  
В статье рассмотрены бильярдные траектории первого и второго рода. Число указанных 
осевых симметрий совпадает с числом вершин замкнутой бильярдной траектории. При этом 
чётность или нечётность числа вершин замкнутой бильярдной траектории является 
существенной её характеристикой.  
Ключевые слова:траектория, изометрия, многоугольник, симметрия. 
 
    В некотором совершенно забытом не-
большом  произведении“Das  Sonnensystem 
oder  neue  Theorie  vom  Bau  der  Welten” 
(Берлин,  1850)  автор  его  С.  Сакс  строго 
осуждает  астрономов  за  то,  что  они  де-
лают  различные  бездоказательные  предпо-
ложения. Их решительное, безграничное ле-
гкомыслие  он  доказывает  следующими  сло-
вами:  “Кто  может  ручаться,  что  звезда, 
которую астрономы считают Ураном, есть 
действительно Уран?”  
В.Оствальд. Философия природы. С.-П.,1903г 
 
Примеры  замкнутых  бильярдных  траекторий  в  многоугольниках  показывают,  что  их  вид 
зависит от числа множителей – осевых симметрий, образующих соответствующую изометрию. Число 
указанных  осевых  симметрий  совпадает  с  числом  вершин  замкнутой  бильярдной  траектории.  При 
этом  чётность  или  нечётность  числа  вершин  замкнутой  бильярдной  траектории  является 
существенной её характеристикой.  
Пусть изометрия для замкнутой бильярдной траектории в некотором многоугольнике с числом 
сторон 
n
 имеет вид 
i
j
k



...

 
 
 
 
 
(1) 
где 
k
j
i



,....,
,
 –  осевые  симметрии  относительно  сторон  многоугольника.  С  помощью  индексов 
,
,...,
,
k
j
i
определяющих  номера  сторон  многоугольника,  введено  соответствие  осевых  симметрий 
сторонам.  Скажем,  выражение 
j

 означает  симметрию  относительно  стороны  с  номером,  равным 

ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В НАУКЕ,  
ОБРАЗОВАНИИ И ПРАКТИКЕ 
 
 
60
значению  индекса
j
.  Индексы 
k
j
,...,
,
 имеют  значения  из  набора  чисел 
1
,
2
,...,
n
..  Некоторые 
значения  из  указанного  набора  могут  отсутствовать  в  выражении  (1),  некоторые –  могут  встретиться 
более  одного  раза.  Число  множителей  в  изометрии 
i
j
k



...
 равно  числу  звеньев  (вершин) 
бильярдной траектории. 
Определенному  звену  замкнутой  бильярдной  траектории  соответствует  изометрия 
i
j
k



...
 
с  определенной  последовательностью  значений  индексов 
k
j
,...,
,
.  Указанное  звено  траектории 
лежит на прямой, инвариантной относительно изометрии
i
j
k



...
.  
Для 
других 
звеньев 
траектории 
соответствующая 
изометрия 
представляет 
произведение 
(композицию) 
симметрий 
изометрии 
i
j
k



...
 посредством 
циклической 
перестановки  множителей 
k
j
i



,...,
,
.  Изометрия 
k
j
i



...
,  обратная  изометрии 
i
j
k



...

соответствует обходу траектории в обратном направлении.[1, с.78] 
Соответствующий  изометрии  вектор  параллельного  переноса  имеет  абсолютное  значение, 
равное длине бильярдной траектории. 
Если число симметрий в выражении (1) чётно, то есть изометрия (1) является параллельным 
переносом, и многоугольник имеет соответствующую этой изометрии бильярдную траекторию, то она 
не  единственна.  Таких  траекторий  в  многоугольнике  бесконечно  много  и  они  “параллельны”.  Такие 
траектории будем называть траекториями первого рода. 
Если  же  число  симметрий  в  выражении  (1)  нечётно,  то  есть  изометрия  (1)  является 
скользящей симметрией, то соответствующая замкнутая траектория в заданном многоугольнике (если 
она  существует)  единственна.  Такие  траектории  будем  называть  траекториями  второго  рода.  Если 
многоугольник  имеет  замкнутую  бильярдную  траекторию  второго  рода,  то  вместе  с  ней  он  имеет 
бесконечно  много  “параллельных”  ей  траекторий  первого  рода.  Эти  траектории  будем  называть 
траекториями первого рода, сопутствующими траектории второго рода. При рассмотрении траекторий 
в  виде  вписанных  многоугольников  такие  траектории  мы  называли  траекториями  с  двумя  обходами 
сторон  заданного  многоугольника.  Эти  траектории  соответствуют  квадрату  изометрии 
i
j
k



...
.      
[2, с.25] 
Обоснование  утверждения  о  существовании  таких  траекторий  проводится  аналогично 
тому,  как  это  делалось  в  случае  траекторий  в  виде  вписанных  многоугольников  в 
многоугольниках  с  нечётным  числом  сторон.  Опишем  подробнее  появление  траекторий  первого 
рода, сопутствующих траектории второго рода.  
Пусть 
k
 звеньев  траектории  второго  рода  лежат  на  прямых 
k
L
L
L
,...,
,
2
1
.  Прямые 


k
i
L
i
,...,
2
,
1

 удовлетворяют соотношениям типа  
i
i
i
L
L
S


Пусть  теперь 
i
l
 –  прямая,  параллельная 
i
L
,  а 
i
l
–  прямая,  симметричная  ей  относительно 
прямой
i
L
. Так  как 
i
S
 есть преобразование  скользящей симметрии  относительно прямой
i
L
,  то связь 
между 
i
l
 и 
i
l
 выразится равенством: 
i
i
i
l
S
l


.  
Отсюда, очевидно, имеем также соответствия: 
i
i
i
l
l
S

2

i
i
i
l
l
S



2
 
Прямые 
k
k
l
l
l
l
l
l



,...,
,
,
,...,
,
2
1
2
1
,  связанные  симметриями  относительно  сторон  исходного 
многоугольника,  образуют  бильярдные  траектории  первого  рода  с  числом  звеньев,  равным 
k
2

Выбирая  прямые 
i
l
 и 
i
l
 на  различном  (но  возможном)  расстоянии  от  прямой 
i
L
,  можно  получить 
бесчисленное множество “параллельных” траекторий первого рода. Ясно, что длина такой траектории 
в два раза больше длины исходной траектории второго рода. 
 
Разделение замкнутых бильярдных траекторий на два рода в зависимости от чётности или не-
чётности числа симметрий, образующих соответствующую изометрию, носит общий характер. Любой 
замкнутой бильярдной траектории в многоугольнике (в зависимости от чётности или нечётности числа 
её  вершин)  соответствует  одно  из  двух  преобразований  –  либо  параллельный  перенос,  либо 
скользящая  симметрия.  Подчеркнём,  что  множество  траекторий,  описываемых  определённой 
изометрией  I  рода  (преобразованием  параллельного  переноса)  имеет  мощность  континуума,  в  то 
время как всякая траектория, описываемая изометрией II рода (скользящей симметрией) в заданном 

ҒЫЛЫМ, БІЛІМ БЕРУ ЖӘНЕ ПРАКТИКАДА АҚПАРАТТЫҚ  ТЕХНОЛОГИЯЛАРДЫҢ  
ДАМУ ЖОЛДАРЫ 
 
 
61
многоугольнике единственна. 
Изложенное  в  этом  разделе  поясним  на  одном  примере  замкнутой  траектории  в 
многоугольнике. 
Рассмотрим замкнутую бильярдную траекторию 
5
2
1
...P
P
P
 в пятиугольнике 
5
2
1
...A
A
A
 (рис. 
1a).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Замкнутую ломаную типа 
5
2
1
...P
P
P
 будем называть многоугольником с самопересечением. 
Как имеющая нечётное число вершин траектория 
5
2
1
...P
P
P
 является траекторией второго рода. 
Введем 
для 
симметрий 
относительно 
прямых 
1
5
3
2
2
1
,...
,
A
A
A
A
A
A
 соответственно 
обозначения
5
2
1
,...,
,



.  Прямые,  на  которых  лежат  звенья  траектории 
5
4
2
1
1
5
,...,
,
P
P
P
P
P
P

обозначим  соответственно  через 
5
2
1
,...,
,
L
L
L
.  Легко  проверить,  что  прямая 
1
L
 инвариантна 
относительно  изометрии 
1
2
3
5
3
1






S

1
1
1
2
3
5
3
L






.  Для  прямой 
3
L
,  к  примеру, 
можно записать: 
3
3
3
5
3
1
2
L






. 
Скользящую симметрию 
1
S
 можно представить в явном виде: 
1
1
1
a
t
s
S



где 
1
s
–  симметрия  относительно  прямой 
1
,
1
a
t
L

–  перенос  на  вектор 
1
a

,  параллельный  прямой
1
L

длина вектора 
1
a

 равна длине траектории
5
2
1
...P
P
P

Траектории 
5
2
1
...P
P
P
 сопутствует бесчисленное множество “параллельных” ей траекторий 
первого рода c 10 звеньями. На рис. 1b изображена одна из них 



5
2
1
5
2
1
...
...
R
R
R
R
R
R
. Её звено 
1
5
R
R

 
лежит на прямой 
1
l
, параллельной прямой 
1
L
. Прямая 
1
l
 инвариантна относительно квадрата 
изометрии 
:
1
2
3
5
3
1






S
 
1
2
1
2
1
2
3
5
3
1
1
)
(
l
t
l
l
a









где 
1
a
t

– преобразование, являющееся параллельным переносом на вектор 
1
2a

. Аналогичную запись 
можно сделать и для прямой 
1
l
, на которой лежит звено траектории 
1
5
R

. Параллельные прямые 
1
l
 и 
1
l
 расположены симметричным образом относительно прямой 
1
L
. Более точно, они связаны 
соотношением 
1
2
3
5
3
1







l
1
l

в котором 
1
2
3
5
3





 есть скользящая симметрия с осью 
1
L
. Длина траектории 
5
2
1
...R
R
R

 в два раза 
больше длины траектории 
5
2
1
...P
P
P

 
 
б 
а 
Рис. 1 
5
R
 
4
R
 
3
R
 
R
5
 
R
4
 
R
3
 
2
R
 
R
2
 
1
R  
R
1
 
А
5
 
А
4
 
А
3
 
А
2
 
А
!
 
Р
5
 
Р
4
 
Р
3
 
Р
2
 
Р
1
 
А
5
 
А
4
 
А
3
 
А
2
 
А
1
 

ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В НАУКЕ,  
ОБРАЗОВАНИИ И ПРАКТИКЕ 
 
 
62
Литература: 
1.  Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. I. Сокр. пер. с нем. Халамайзера А. 
Я. Под ред. Виленкина Н. Я.  – М.: Просвещение, 1982. 
2.  Кокстер Г.С. М. Введение в геометрию. Пер. с англ. Катка А. Б. и Каток С. Б. Под. ред. 
Розенфельда Б. А. и Яглома И. М. – М.: Наука, 1966. 
 
 
УДК 004.021 
 
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕХНОЛОГИИ CUDA. 
 
Кудубаева  С.А.  -  доцент,  к.т.н,  зав.  кафедры  информатики  и  математики,  Костанайский 
государственный университет им. А.Байтурсынова 
Шиманский Н.Д. – магистрант, Костанайский государственный университет им. А.Байтур-
сынова 
 
У  GPU  есть  ряд  особенностей,  используя которые  можно  многократно  увеличить  произво-
дительность  программы.  Используя  все  тонкости  технологии  GPU  можно  получить  действи-
тельно эффективные CUDA-программы. 
Ключевые слова: CPU, GPU, хост, алгоритмы, ядра CUDA. 
 
CUDA  (сокр.  от  англ.  Compute  Unified  Device  Architecture,  дословно  –  унифицированная 
вычислительная  архитектура  устройств)  –  архитектура  (совокупность  программных  и  аппаратных 
средств),  позволяющая  производить  на  GPU  вычисления  общего  назначения,  при  этом  GPU 
фактически выступает в роли мощного сопроцессора [1, с.2-3].  
Программа  на  CUDA  задействует  как  CPU,  так  и  GPU.  При  этом  обычный  (последовательный, 
то  есть  непараллельный)  код  выполняется  на  CPU,  а  для  массивно-параллельных  вычислений 
соответствующий код выполняется на GPU как набор одновременно выполняющихся нитей (потоков, 
threads). 
Таким  образом,  GPU  рассматривается  как  специализированное  вычислительное  устройство, 
которое: 
□ является сопроцессором к CPU; 
□ обладает собственной памятью; 
□ обладает возможностью параллельного выполнения огромного количества отдельных нитей. 
При  этом  очень  важно  понимать,  что  между  нитями  на  CPU  и  нитями  на  GPU  есть 
принципиальные различия [2, с.17]: 
□ нити  на  GPU  обладают  крайне  небольшой  стоимостью  создания,  управления  и  уничтожения 
(контекст нити минимален, все регистры распределены заранее); 
□ для эффективной загрузки GPU необходимо использовать много тысяч отдельных нитей, в то 
время как для CPU обычно достаточно 10-20 нитей. 
За счет того, что программы в CUDA пишутся фактически на обычном языке С (на самом деле 
для  частей,  выполняющихся  на  CPU,  можно  использовать  язык  C++),  в  который  добавлено 
небольшое  число  новых  конструкций  (спецификаторы  типа,  встроенные  переменные  и  типы, 
директива  запуска  ядра),  написание  программ  с  использованием  технологии  CUDA  оказывается 
заметно проще, чем при использовании традиционного GPGPU (то есть использующего графические 
API  для  доступа  GPU).  Кроме  того,  в  распоряжении  программиста  оказывается  гораздо  больше 
контроля и возможностей по работе с GPU [2, с.18]. 
Для  начала  определим  задачу,  которую  нам  необходимо  решить.  Найти  значение  следующей 
функции 
 
 
 
Решение данного примера сводится к выполнению следующих операций: 
□ выделение памяти на GPU для массивов A, B, C; 
□ копирование данные из памяти CPU в выделенную память GPU; 
□ осуществление запуска ядра(основной функции GPU); 
□ копирование результатов вычислений обратно в память CPU; 
□ освобождение выделенной памяти GPU. 
Функция  ядра  фактически  для  каждого  допустимого  индекса  входных  массивов  запускает  от-
дельную  нить  для  осуществления  нужных  вычислений.  Все  эти  нити  выполняются  параллельно,  и 

ҒЫЛЫМ, БІЛІМ БЕРУ ЖӘНЕ ПРАКТИКАДА АҚПАРАТТЫҚ  ТЕХНОЛОГИЯЛАРДЫҢ  
ДАМУ ЖОЛДАРЫ 
 
 
63
каждая нить может получить информацию о себе через встроенные переменные, показано на рисунке 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 1. Разделение ядра на блоки и нити 
 
Для того чтобы можно было сравнить результаты вычислений на CPU и GPU приведем код для 
вычисления функции на CPU. 
// CPU ------------------------------------------------------------------- 
//заполнение массивов А и В 
for ( i=0; i < size * nStream; i++ ) 

  hA[i] = cosf ( (float)i*3.0f );  
  hB[i] = sinf ( (float)i - 2.0f ) ;  
  hC[i] = 0.0f; 
}  
start = clock (); 
for(i=0;i
  ab = hA[i] * hB[i]; sum=0.f; 
  for ( j = ; j <= 100; j++) sum = sum + sinf( j + ab ); 
  hCC[i] = sum; 

stop = clock ();  
 
Код программы на CUDA: 
unsigned int mem_size=sizeof(float)*size; 
hA = (float*) malloc (mem_size); 
hB = (float*) malloc (mem_size); 
hC = (float*) malloc (mem_size); 
for(i=0;i
  hA[i]=1.0f/((i+1.0f)*(i+1.0f)); hB[i]=expf(1.0f/(i+1.0f)); hC[i]=0.0f; 

cudaMalloc((void**) &dA, mem_size); 
cudaMalloc((void**) &dB, mem_size); 
cudaMalloc((void**) &dC, mem_size); 
if ((size % N_thread)==0) 

  N_blocks=size/N_thread; 

else 

  N_blocks=(int)(size/N_thread)+1; 

dim3 blocks(N_blocks,1); 
//GPU -------------------------------------------------------------------- 
start = clock(); 
cudaMemcpy(dA, hA, mem_size,cudaMemcpyHostToDevice); 
cudaMemcpy(dB, hB, mem_size,cudaMemcpyHostToDevice); 
Исходные данные
 
Блок 
           
Потоки 
Блок 
           
Потоки 
Блок 
           
Потоки 
Ядро (Kernel) 

ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В НАУКЕ,  

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   75




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет