Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі павлодар қаласының №24 жалпы білім беретін орта мектебі Павлодар қаласының

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ 

МИНИСТРЛІГІ

 

 

Павлодар қаласының № 24 жалпы білім беретін орта мектебі 

Павлодар қаласының «Жас дарын» мамандандырылған мектебі 

 

 

 

 

 

 

 

Математика  пәнінен

 

Нақты сандар

 

тақырыбына оқу материалдары

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Авторы: Аубакирова Г. Б., 

Жунусова Ж. Ж. 

 

 

 

Павлодар  2012 жыл 

 

Нақты сандар түсінігі

 

Нақты  сан

 – кез келген оң, теріс  және нөл сандары. Ол рационал сандар 

және  иррационал  сандар    болып  б

өлінеді.  Нақты  сан  түсінігі  рационал  сан 

ұғымын кеңейтуден шыққан. Кеңейтудің қажеттілігі кез келген шаманың мәнін 

толық  анықталған  сан  көмегімен  өрнектеуден  және  математиканың  ішкі 

дамуынан пайда болды. Мысалы: сандарға орындалатын бірсыпыра амалдарды 

пайдалану  облысын  кеңейту  (түбір  астынан  шығару,  логарифмдерді  есептеу, 

теңдеулерді  шешу  және  т.б.).  Нақты  сандардың  жалпы  ұғымын  ертедегі  грек 

математиктері  салыстырып өлшеуге  болмайтын  кесінділер  теориясында  берді. 

Жүйелі  теорияны  тек  19 ғасырдың  соңында    Г.  Кантор,  Р.  Дедекинд  және  К. 

Вейерштрасс  жасады. Барлық нақты сандар жиыны сан түзуі деп аталады және 

деп  белгіленеді.  сызықты  реттелген  жиын  және  негізгі  арифмет.  амалдарға 

(қосу мен қөбейту) қатысты өріс құрады. Сан түзуі  геометриялық түзуге ұқсас, 

былайша  айтқандадегі  сандар  мен  т

үзудегі  нүктелер  арасында  реттілігі 

сақталатын  өзара  бірмәнді  сәйкестік  орнатуға  болады.  Осы  сәйкестіктен  сан 

түзуінің  үздіксіздігі  шығады.  Түзудің  үздіксіздігі  жөніндегі  қағида  қазіргі 

матем. талдаудың негізі болып табылады.  

 Сандардың белгіленуі 

Сандардың мынандай түрлері бар: 

•

 

Дағдылы сандар  — дағдылы сандар жиынын     

   деп белгілейді.  

•

 

Бүтін сандар— бүтін сандар жиынын       

      деп белгілейді.  

•

 

Тиімді сандар — тиімді сандар жиынын      

        деп белгілейді.  

•

 

Рабайсыз сандар — рабайсыз сандар жиынын әдетте      деп белгілейді.  

•

 

Нақты  сандар—  нақты  сандар  жиынын     

   деп  белгілейді.  Нақты 

сандардың өздері алгебралық  және трансценденттік болып бөлінеді.  

•

 

Терім сандар— терім сандар жиынын       

     деп белгілейді. Бұдан әрі 

кватерниондарға содан кейін октав  болып күрделенеді.  

Реті бұлай болады:  

 

 

 

 

 

Натурал сандар

 

Негізгі қасиеттері

 

    Сонымен,  натурал  сандармен  кітап  сөресінде  тұрган    барлық  кітаптарды 

санауға  болады.  Сонымен қатар  әрбір  кітаптың  белгілі  реті  болады,  ол, 

натурал  санмен өрнектеледі.  Соңында  кітап  сөресінде  кітаптардың  орналасу 

реті  натурал  сандардың  көмегімен  аңықталған  болады,  мысалы, өспелі 

ретпен.  Ең  үлкен  номер    сөредегі    кітаптардың  санын  білдіреді.  Осылайша 

натурал сандар реттік және есептік санның рөлін орындайды. 

Натурал  сандар  –  ең  негізгі  математикалық  ұғымдардың  бірі.  Натурал 

сандардын  жиыны 





,...

4

,

3

,

2

,

1

 латын  әріппен 

N

: 





,...

,...,

4

,

3

,

2

,

1

n

 белгіленеді.  Бұл 

жиын  шексіз  , өйткені  егер 

N

n 

 саны  болса, 

N

n



 1

 болады. 

1



n

 саны  n-

ның  келесі  саны  болып  аталады,  ал n  –  оның   алдындағы  сан.  Бір  (1)  саны 

натурал  сандардың  ең  кішісі,  яғни  бір    ешқандай  натурал  саннан  кейін 

жалғаспайды. 

Мынаның бәрін  бір  сөйлеммен  жеткізуге  болады: 1-дін  алдында  ешқандай 

натурал  сан  жоқ;  бір  (1)  –  натурал  сан  болып  саналады  және  бірден  кем 

натурал сан жоқ. 

Натурал  сандардың    қосындылары  және  көбейткіштері  –  натурал  сан 

болады. Натурал сандардың жиындарына қосу және қөбейту операциалары 

орындалады. 

Натурал 

сандардын 

айырым 

ж

әне 

дербесі 

(б

өлінді) 

натурал 

)

3

14

:

42

;

22

12

34

(

N

N











 және натурал емес 

)

5

,

20

2

:

41

;

7

12

5

(

N

N













 

болу қажет. 

Басқа  сөзбен  айтқанда,  алу  және  бөліну  натурал  сандардың  жиынында 

кейде орындалмалу мүмкүн. 

Натурал сандарда N жиының ішжиындықтың бәрінде ең кіші сан болады.       

Мысалы,  осы  17-ге  бөлінетін  жиынның  ең  кіші  саны:  17,34,51,68...  17-ті 

болады. 

Немесе,  натурал  сандардың  ішкі  жиында, әрбірі  217-  ге  бөлінгенде,  оның 

қалдығы 4 болса, осы 4 саны кіші сан болып саналады.  

1,2,3,4,...- сандары натурал сандар деп аталады. Бұл 

сандар заттарды

 санау үшін қолданылады. 

 

Әрбір  кеміген  тізбек  сандар    а

қырғы  сандар  мүшесінен  құрылады. 

Мысалы,  екі  санының  екінің  жетінші  дәрежесінен  бастап,  натуралдық  кему 

тізбегі дәрежесін талқылайық:   

1

2

5

6

7

2

,

2

,...,

2

,

2

,

2

 

Осы  тізбек  жеті  мүшеден  құралады,  яғни  тізбектің  мүшелерінің  санының 

шегі бар .                              

1,2,3,4,...  n  ,…  натурал  сандары  натурал  сандардың  табиғи  ретінде  келесі 

натуралды  қатарды  құрастырады  .  Айтайық,   

m

 және 

k

 сандары  сандық 

түзуде нүктелермен бейнеленген натуралдық қатардың сандары болсын  . 

М

 

және 

k

   нүктелерінің  арасында 

m

 - 

k

-1    нүктелер  орналасқан  ,  бұлар 

натуралдық  қатарда  орналасқан  сандарға  лайықталады  .  Мысалы  ,  77  және 

188 нүктелердің орасында 188-77-1=110  нүкте орналасады, яғни 110  натурал 

сан бар. 

 

Теріс бүтін сандар натурал сандарға қарама-қарсы 

болып  оң  бөлшектер    және  иррационал  сандардан 

кешіректеу  пайда болды . Ұлы философ Лейбниц Г .“ 

теріс сандарды сандардан тек шартты түрде есептеуге 

болады  ”-  деді,  “олар  үшін  айқын  арақатынастар 

орындалмайды:  үлкен    санның  одан  кішірек  санға 

қатынасынан , кішірек санның   үлкен санға қатынасы 

әрқашан  аз  .  Ал өз  сөзіне  дәлел  ретінде  -1|1=1|-1 

теңдігін келтірді.  

Бұл  жерде    айта  кетерлік  жайт  , теріс  сандардың  пайда  болуы,  бөлшекті 

рационал  және  иррационал    сандардың  пайда  болуы  сияқты,  мөлшерлердің 

өлшеулері  қажеттілікпен  ескертілген  .  Сонымен  қатар  ,  егер  мөлшер  екі 

қарама-қарсы  бағытда  өзгере  алса  ,  онда  оны өлшеу  үшін  оң  және  теріс 

сандарды  қолдануға  болады.  Сондай  мөлшерлердің  үлгілері:  температура  , 

жылдамдық , қаражаттық табыс және т . б. 

Бөлшектік  ұғым  сияқты  ,  теріс  санны

ң  ұғымы  математикада  үлкен 

еңбекпен  қалыптасты  .  Біз  көбейту  ережесінің  белгілерінің  бірінші  іздерін 

алдымен  Диофантың  (I –  III  ғ  .)  « Арифметика  »    еңбегінде  табамыз,  содан 

соң  араб  алгебрасынан  кездестіреміз.  Бірінші  болып  теріс    сандармен 

арифметикалық операцияларды енгізген индустар игерді. Теріс санды олар  « 

міндет » сөзімен белгіледі  және « мүлік » атты оң санға қарама-қарсы қойып 

салыстырды.  Осындай  сауда  тілінде  үнді  математигі  Брахмагупта  (598-660) 

теріс сандардың арифметикалық әрекеттерінің ережелерің жазып алды . Міне 

солардың кейбірі: 

Тарихи 

мәліметтер

. 

 Екі « мүліктің » қосуы « мүлік » болады. Екі « міндеттің » қосуы  -«міндет 

».  Егер  «  мүліктен  »  «  міндетті»  алу  керек  болса,  немесе  «  міндеттен  »    « 

мүлікті» алуға керек, онда олардың  қосындысын  алады . «Міндеттің» және « 

мүліктің  » көбейтуі  -  «  міндет  »,  «міндеттің»  және  «міндеттің»  көбейтуі  -  « 

мүлік », ал екі «мүліктін» -  « мүлік ». 

Теріс  сандарды  мүлік  деп  тек қана  индустар  ғана  түсінген  жоқ  .  Ертеде 

қытайлар («Математика тоғыз кітапта  »  атты трактат біздің дәуірімізге дейін 

II   ғасыр  )  және    араб  математиктері  дәл  солай  істеді  .  Леонардо  Пизанский 

теріс сандарды латынның debitum( міндет , борыш) сөзімен атады . 

Бірте-бірте барлық мөлшерлер  абстрактты ұғым алып  (яғни геометриялық 

мөлшер  деп  қабылдану  тоқтатылып)  ,  қазіргі  математикаға  теріс  сандарды 

кіргізу  мүмкін  болды  .  Ерекше  арифметиканың  объектілері  сияқты,  теріс 

сандар алгебрада XVI ғ бастап, Джироламо Карданның (1501-1576), Михаэль 

Штифель  (1487-1567),  Христофор  Клавий  (1537-1612)  сияқты  ғалымдардың 

жұмыстарында пайда болды . 

Ақыр  аяғында  теріс  санның  ұғымын  XVII  ғ    Рене  Декарт  заңдастырған.    

Ол терістікті ордината осінің нөлден сол жаққа бағытталған кесіндісі ретінде 

көрсетті , яғни  , оң санның бейнелеуші қарама-қарсы тұрған жаққа  

Бүтін оң және теріс сандар

 

Егер 

a

 және 

b

натурал  сандар  және 

a

< 

b

 болса,  онда 

a

+

x

=

b

 өрнегіне 

сәйкес  келетін  жалғыз  натурал 

x

 саны  болады  .  Мына  оқиғада  бойынша,  

натурал сандардардың жиынында 

a

+

x

=

b

 теңдеуінің жалғыз шешімі 

x

 =

b

- 

a

 

болады. 

Егер 

a 

b

, онда 

a

+

x

=

b

 болатын  

x

  натурал саны болмайды . Мысалы , 5+

x

=4 теңдеуін немесе 7+

x

=7 теңдеуін қанағаттандыратын 

x

 натурал саны жоқ 

.  Мына  натурал  сандардың  жиынының  «  жетіспеушілігі  »  ,  егер  натуралды 

сандардылардың  жиыны  шеттесе  ,  егер натурал  сандарлардың  жиыны  басқа 

табиғаттың сандарымен толықтырылса жоғалады . 

    

a

+

x

=

a

теңдеуін қанағаттандыратын 

x

 саны  нөл деп аталады . 

 Натурал сандарды  

бүтін оң сандар

  деп атайды . 

 

Нөл  саны  -  0  символымен  белгіленетін  және  әрбір 

a

саны  үшін   

a

+  0=

a

  

қасиетіне ие сан.  

                                                          Нөлдің касиеттері 

 Нөлдің  өте маңызды қасиеті: нөлге және әрбір санның көбейтіндісі 

нөлге тең: 



a

 0=0 

Нөлдің  осы  өте  маңызды  қасиеті  теңдеулердің  шешу    жолдарында  жиі 

қолданылады :  егер 

a

 және 

b

  сандарының туындысы  нөлге  тең болса  ,  онда 

a

 немесе 

b

 сандарының бірі нөлге тең: 

















.

0

,

0

0

b

a

b

a

 

0

2

2



 b

a

 теңдеуі  тек  қана   

0



 b

a

 болғанда  ғана  мүмкін  бола  алады.                  

















.

0

,

0

0

2

2

b

a

b

a

 

Нөлдің тағы да бір қасиеті: нөлге бөлу мүмкін емес . 

Мұның  неге  мұмкін  еместігін  қарастыралық  .Нөлге  тең  емес 

a

 санын 

қарап  шығамыз. 

Мейлі, 

b

a



 0

 -  бөлінді. 

Сонда 

б

өліндінің  осы 

анықтамасынан 

a

b



 0

   шығады.  Бірақ  нөлдің  касиеті  бойынша   

0



a

 . 

Осылайша,  біз,  егер 

0



a

,  онда  бөлу 

0



 a

b

   болмайды  ,  яғни 

b

санды  

таңдауға  болмайды,  сонда 

0

0







a

b

 болғанын  қабылдаймыз  .  Сонымен  , 

нөлге тең емес  санды , нөлге бөлуге болмайды. 

0:0  бөлуні  қарап  шығып,  0:0=

b

-ны  жазайық.  Осыдан  шығарамыз,

0

0



 b

. 

Мынау  теңдік  дұрыс,  бірақ 

b

саны  кез  келген  сан бола  алады  .  Бірақ    бола 

алмайды,  яғни  арифметикалық  операцияның  мағынасы  бойынша  екі  санның 

бөлуі бір мағыналы. 

Сөйтіп,  нөл  санын    нөлге  бөлуге  болмайды,  яғни 

0

0 



b

 болатын    жалғыз  

b

 саны жоқ . 

Мысалы, мына сандар :  -1 , 1; ?  , -1/2 -  қарама – қарсы сандар. 

a

 санына    қарама-қарсы  сан  -    -

a

 саны  .  0+0=0  болғандықтан  ,  нөлге   

қарама-қарсы  сан  нөлдің  өзіне  тең  ,  яғни  -0=0.Нөл  өзінің  қарама  –  қарсы 

санынана тең бірден – бір сан ,  егер 

a

=-

a

, сонда 

a

=0. 

   Екі 

a

 және 

b

 сандарының    қосындысы  нөл 

болса, олар қарама-қарсы сандар деп аталады. 

 

 -

a

 санына  қарама  -  қарсы  сан 

a

 саны  болады,  сондықтан,  -(

a

)=

a

.  

Берілген  санға  қарама  –  қарсы  санды  табу үшін,  сол  санды -1  көбейтуге 

керек: 

 (-1)

a

a







.  

Сондықтан, , нөл санға тең болмайтын қарама – қарсы сандардың бөліндісі 

-1 санға тең. 

Мысалы:

.

1

,

1





















a

b

c

c

b

a

a

b

b

a

 

Сандық  түзуде  қарама  -қарсы  сандар  нүктелермен  бейнелінеді  ,  0  санына 

симметриялық түрде.( 2 сур.). 

2 сур. 

 

 

Сан туралы алғашқы ұғым

 

Біздің  сан  туралы  алғаш  қалыптасқан  ұғымымыз  , 

ертедегі тас ғасыры - палеолит заманына жатады.  

Сапалы  сандық  ұғымдардың  ертедегі  сапалы  түсінігі 

кейбір-  тілдерде  қазір  тағы  анықталады  ,  мысалы  грек 

және  кельттшлуерінде  сан  ұғымдарының  кеңейтуімен 

сәйкес  .  Үлкен  сандар  алдымен   қосу  амалы      арқылы 

құралған  :  үш  -  екі  және  бір   қосуынан  ,  төрт-  екі  және 

екінің  қосуыдан , бес- екі, екі және бірдің қосуынан  . 

Мынау,  кейбір  австралиялық  тайпалардың  санау  үлгісі.  Муррей  өзеніндегі 

тайпада:1= энэа ,2= петчевал ,3= петчевал - энэа ,4= петчевал - петчевал.  

Камиларои , 1= мал, 2= булан ,3= гулиба ,4= булан - булан .  

 

Сауда мен кәсіптің дамуы сан ұғымының кристаллдануына көмектесті. 

Сандарды  үлкен 

бірліктерге 

топтады 

ж

әне 

біріктірді 

, 

бір қолдың 

саусақтарымен  немесе  екі қолдың  саусақтарымен  санау  –  саудадағы  әдетті 

тәсіл.  Бұл,  алдымен  5  негізімен  ,  сонан  соң  10 негізімен  санауға  жол  ашты. 

  Бүтін  теріс  сандар 

деп  натурал  сандар

ға 

қарама – қарсы сандарды атайды. 

  

Тарихи 

мәліметтер 

Кейде  негіздеме  етіп  20-ны  алды  –  акі  аяқ  пен  екі  қолдағы  саусақтардың 

саны. Сандарды жазу таяқ шоқтарының, түйіндерінің., арқандағы түйіндердің 

,  тастар  немесе ұлу  қабыршақтарының  ,   бес-бестен    бір  шоққа  қосылуы 

арқылы жазылды. Саусақ санау , яғни бестіктер және ондықтармен санау. 

Ең мінездемелі түрде жиырма санының негізімен санау жүйесі  Мексикада 

майя және Европада кельт тайпаларында болған . 

  Математиканың  туған  заманынан  келген  бұл  қысқаша  мәліметтер  ,  ғылым 

өз  дамуында қазіргі ұғындырудың барлық этаптарын өтпейді,.  Жақында ғана 

ғалымдар  адамзатқа  танымал  түйіндер  немесе  оюлар  сия

қты  ең  көне 

геометриялық  пішіндердге  тиісті  ықылас  назарымен  көз  салды  .  Алайда 

математикалық  графикктерді  құру,  элементардық  статистика  тағы  солар 

сияқты матиматика ғылымының элементардық салаларытек қана қазір дамып 

келеді.  Басқа  жағынан  ,  біздің  математиканың  графиктарды  құру  немесе 

элементарлық  статистика  сияқты  аса  элементар  бағыттары,  тек  қана    қазір 

жақсылап дамып келеді. 

Бүтін сандар

 

Бүтін сандар торы

 

Негізгі қасиеттері

 

 

Атап  айтқанда,  нөл  саны  оң  және  теріс  сандарды  бөлгенмен,  нөл  оң  және 

теріс сандардың тобына жатпайды.  

Бүтін  сандар  қосындысы,  алындысы  және  көбейтуі  бүтін  сан  болады.  

Бүтін сандардың бөлуі әрқашан бүтін сан болмайды. Мысалы, (-5):2=-2,5



Z. 

Сан түзуінде бейнеленген бүтін сандар,  бүтін сандардың торын құрайды.  

Басқаша  айтқанда  , әрбір 

n

 бүтін  саны үшін  алдында 

1



n

,  одан  кейін 

1



n

 

жалғыз    саны  келеді.    Ал  бүтін  сан  емес  кез  келген 

p

саны    көршілес  бүтін 

сандардың  арасында орналасады : 

1







n

p

n

, қайда  

Z

n 

 .   

Сонда 

n

 саны , (

p

 санын  аспайтын, ең үлкен бүтін сан ) 

p

 

санының бүтін  

бөлімі деп аталады  және 

]

[ p

 деп  белгіленеді. 

n

 бүтін санының бүтін бөлімі 

n

 саны  болып келеді. 

Мысалы,[6,2]=6,[-7]=-7, [-



]=-4.   

   Бүтін 

оң  және 

теріс, 

н

өл 

сандардын 

жиынтығы 

Z 

әріппен 

белгіленетін 

бүтін 

сандардын 

жиынын

 

құрайды. 

Осылайша, 

}

,...,

2

,

1

,

0

{

n

Z









. 

Санның бүтін  бөлімдерінің қасиеттері.

 

 

                    Қасиет. 

Мысалы

. 

1 

n

-бүтің сан болса, онда [

n

]=

n

. 

 

 

 

32

32

;

56

56





 

2 

n

-бүтің  сан  болса,  онда   әрбір  

х саны үшін [x+n]=[x]+n  

 



  



  

5

2

,

6

5

2

,

6

25

2

,

3

25

2

,

3













 

3 

Егер x



[y]. 

 

   

32

6

,

32

6





 

4 

Егер x



y, онда [x]



[y] 

 

   

9

5

.

9

5





 

5 

 Егер 

n

 саны – бүтін сан болса 

,  онда  [x]=n  теңдеуі  n

1





 n

 

теңсіздігіне тең болады. 

 

 

11

10

10

10

6

.

9







 

6 

[x]=[y]  теңдеуі  мына  теңсіздік 

жүйесіне тең болады. 

                                                  



















.

1

1

n

y

n

n

x

n

 

 

   

2

.

8

1

.

8



 



















.

1

8

3

.

8

8

1

8

1

.

8

8

 

 

 

 

Санау жүйеілері

 

туралы

 

 Америка

  16  ғасырда  Орталық  Америкаға  саяхат 

жасаған 

зерттеушілер 

, 

жо

ғары 

сапада 

дамы

ған 

Европадағы  жүйеден    бас

қаша  санау  ж

үйелері  бар 

өркениеттерді 

кездестірді 

. 

Май

я 

тайпасында 

санау 

жүйесінің    ең  маңызды  элементі  болып,  позициялы

 

принцип және  нөл символын қолдану саналды  .  

 Майя жүйелерінде нүкте бірлікті  білдірді, ал қайталанатын нүктелер -  төрт 

санға  дейін;  бесті    горизонталды

қ  сызық  белгіледі,  ал  екі  ж

әне  үш 

горизонталды  сызықтары  -  он  және  он  бес  сандарын  белгіледі.   Ал  жиырма 

санын    белгілеуі үшін  майя  позициялы  принципті  қолданған  ,  яғни  ноль 

символының  үстіне  нүктені    орналастырып    пайдаланған.(  Соңғы  түрі 

 

болды.) 

Ертедегі  майя  санау  жүйесінде  сандар  бағанаға  жазылды  ,  жоғарғы  да 

үлкен  символдар  болды  .  Е

ң  төменгі  позиция  бірліктердің  дәрежелік 

талабына  сай  болды  ;

      «бір  қабат  жоғарырақ  »  жиырмалық  сандар 

орналасқан. Тағы жоғарырақ бір саны 400 санының талабына сай болмай, 360 

бағанына  санға  сай  болады  .  Басқалар  қабатпен  жоғарырақтау  20    санның 

дәрежесіне сәйкес. 6489 сан майя жүйесінде осылай жазылады: 

 

Мексикалық    ацтектерде  майядан  қарағанда  жиырмалық  санау  жүйесі 

басқаша болды , бірақ қалғаныда біраз қарапайымды, яғни позициялы және нөл 

символының принцибін  қолданбады. Ацтектерде нүкте бірлікті білдірді, ал  20 

санының  дәрежесін  белгілеуге  жаңа  белгілер  енгізілген  :  20 үшін  жалау,  400 

үшін  ағаш  және  8000  үшін  әмиян.  Қажет  болған  кезде    басқа  сандар  осы 

символдардың  қайталануы  арқылы    жазылды,  ал  оларды

ң  шамадан  тыс 

қайталануынан  олар  арнайы ұжымды  белгілерді  енгізіп   құтылды  :  10 үшін 

ромб тәрізді белгі және 100,200 немесе 300 үшін ағаштың үзінділерін. 

Солтүстік  Америкаға  европалықтардың  келуіне  дейін  Үндістердің  жазуы 

жүйесі  болмады  .  Ертеде  санау  ж

үйелерінің  зерттеулері,    қолданалып  

жүрген  сандар  сан  есім  болғанын  көрсетеді  ,  тек  кана  ерекше  оқиғаларда 

абстракция  деңгейінің  жетті  ,  яғни  олар  зат  есім  бол

ған  кезде.  Бырақ,  

суреттер  арқасында  немесе  ауызша үндістер  миллион  санына  дейін  көрсете 

алды. Сандардың құрастыру жүйелері әртүрлі болды , бірақ олардын  ішінде 

жартысы ондық үлгісінде  болды  . 

Қытай

  Ең  көне  жүйелер  Қытайда,  сонымен  қатар  Жапонияда  жасалған 

болатын  ,.  Бұл  жүйе  үстелге  немесе  тақтайға    санау  үшін  шығарылған 

шыбықтар арқылы пайда болды .  

Бір  санынан  бастап  беске  дейін  ,  сәйкесті  бір,  екі    және  т.б.  шыбықтармен 

белгіленді. Ал бір , екі , үш немесе төрт тік шыбықтар және оларға қосылған бір 

көлденең шыбық - алты  ,  жеті  ,  сегіз  және  тоғыз  сандарын  білдірді  (сандардың 

белгілеулерінің кестесін қараныз). 

 Бірінші  бес  есе үлкен  10  сан,  бір,  ек,  ...,  бес  горизонтальдық  шыбықтармен 

белгіленді,  ал  бір  , екі  ,  үш  және  төрт  горизонтальды  шыбықтардың  үстіңгі 

жағынан    тік  шыбық  орналасса  олар  60,70,80  және  90  сандарын  білдірді  .99 

және  одан  үлкен  сандарды  позициялық  принциппен  қолданды  .6789  санын 

қытайлар осылай  жазатын  еді : 

. Сандарды шыбықтың арқасында 

белгілеу    саусақтармен  және есептік тақтаймен  санаумен тығыз байланысты , 

бірақ сонымен қатар ол үлгі жазбаша есептеулерде қолданылды. 

Екінші  белгілеуге  арналған  қытайдың  санау  жүйесінде  бірінші  тоғыз 

бүтін сан немесе символды белгілеу үшін (  сандардың белгілеулерінің кестесін 

қараныз), әртүрлі  тоғыз белгіні және онның алғашқы он бір дәрежесін белгілеу 

үшін  он  бір   қосымша  символдарды қолданды.    Көбейту  және  алуды қолдану 

арқылы  бұл  тәсіл    триллионнан  кіші  кез  келген  санды  жазуға  мүмкіндік  берді. 

Егер  тоғыз  бүтін  санды  білдіретін  символдар

дың  бірі  10-ның  дәрежесін 

білдіретін символдың алдында тұрса, 1-ні 2-ге көбейту керек , ал егер алғашқы 

он  санның  символы  соңғы  орында  тұрса,  бұл  сан  белгіленген  алдыңғы  санға 

қосу  керек  .  Д

әл  осылай  санау  ж

үйесінде  6789  саны  былай  жазыла

ды 

  : яғни, 6 1000 + 7 100 + 8 10 + 9.  

 

Үндістан 

Көне  үнді  өркениетін  жазбаша  ескерткіштері  өте  аз 

сақталған, 

сонымен 

бірге 

о

ған  қарамастан  үнді 

санау 

ж

үйесі  өзге 

өркенетердін  жолымен  жүріп  өтіп  дамыған.  Мохенджо-Даро  жазбаларында 

тігінен  таяқшалардан  салынған  сандар  бірнеше  рет қайталанады,  нақты  13 

рет,  таңбалардың  жиынтығы  египеттік  иероглифтерге ұқсас.  4,  10,  20  және 

100  сандарын  қайталап  қолдану  үшін  бірнеше  уақыт  ішінде  аттикалыққа 

ұқсас  ұжымдық  символдар  қолданыста  болды.  Бұл  кхорошти  деп  аталатын 

жүйе  бірте  –  бірте  әліпи  әріптермен  белгіленетін  бірліктер,  ондықтар, 

жүздіктер және мыңдықтар жүйесі – брахми жүйесіне орын берді. Александр 

Македонскийдің  Үндістанға  басып  кіруінен  кейін  Грецияд

а  кхароштидан 

брахмаға  айналауы  өтті  және  иондық  санау  жүйесі  аттикалық  жүйені 

ығыстарды.  Кхарошмидан  брахмаға  өтуін  гректердің  ықпалынан  болуы 

мүмкін.  Бірақ,  қазіргі  кезде  осы  жүйені  қадағалау  және  қалпына  келтіру 

мүмкін  емес  және  бұл  айналымды  ежелгі үндиялық  түрден  біздің  жүйеге 

айналдыру мүмкін емес. Нана-Гат және Насеки біздің заманымыздағы бұрын 

бірінші  ғасырда  және  біздің  заманымыздағы  бірінші  ғасырға  жататын 

табылған жазбаларда сандардын белгілеулері бар. Олар үнді – араб жүйесінің 

атауын 

алғашкы 

алушылардың  бірі 

болды. 

Ал

ғашқыда 

осы 

ж

үйеде 

позициялық  принципі  және  нөл  символы  болған  жоқ.  Осы  екі  давангари 

деген  элементпен  бірге  элементер  үнді  жүйесінне  8  –  9  ғасырдарда  кірді 

(сандардың  белгілеулерін  кестесіне  назар аударыңыз).  Үнді  жүйесінде  6789 

саны 

 ретінде 

жазылады. 

осында 

бі 

за

мандас 

санау 

ж

үйелердің 

элементтернін  алғашқы  рет  көреміз.  Үнді  жүйесі  ондық,  цифрлік  және 

поициялы болады.   

Нольды  қолданған  позициялық  санау  жүйесі  Индияда  пайда  болғанжоқ, 

өйткені  көптеген  ғасырлар  бұрын  Ежелгі  Вавилонда қолданылды.  Бұны 

есінен  түсірмейік.  Үнді  жұлдызшылар  алпыс  разрядты  бөлшектерді  білді. 

Мүмкін  бұл  оларды  позициялық  принциптің  алпыс  разрядты  жүйесінен 

ондық  жүйесінде  жазылған  бүтін  сандарға  жылжытуға  ой  берді.  Ақырында 

замандас  санау  жүйесіне  келтірген  жылжу  пайда  болды.  Мүмкін  осындай 

жылжу  Грецияда,  яғни  көбінесе  Александрияда  пайда  болып,  Үндістанға 

таратылды.  Ақырғы  айтқанымызды  дәлелдейтіні  соңғы  жорамал:  нольды 

белгілейтін дөңгелектің омикрон грек әріптің кескіндерімен ұқсастығы. Бірақ 

нольге  үнді  символының  пайда  болуы  әлі  құпия,  өйткені  оның  Үндістанда 

пайда  болғанын  алғашқы  анық  дәлел  тек  қана  9  ғасырмен  бнлгіленген. 

Қандай оғаш болса да, гректер де, үнділер де өз сандар жүйесіне он рарядты 

бөлшектерді  қосқанжоқ.  Бірақ  нақты  үнділерге  біз  замандас  ж

үйесінде 

бөлшектің  бөлгіш  пен  алымға  бөлініп  жазылуына  міндетті  т

үрде  алғыс 

айтуға тиіспіз (бірақ горизантальдық сызықсыз).  

Аравия

  Арвиядан  шықпағанымен  қазірғы  сандардың  белгілеу  жүйесін 

араб  жүйесі  деп  атайды  .    Хиджра

ға  дейін  арабтар    сандарды  с

өздермен 

жазған  ,  бірақ  содан  соң  ,  гректер  сияқты,  олар  сандарды өз  әліпбиінің 

әріптерімен  белгіледі.  772  жылы  «  Сидданта  »  атты үнді  трактаты  Багдадқа 

әкелінді  және  араб  тіліне   аударылды,  содан  кейін,  сандарды  екі  жүйе 

бойынша  жазды:  (1)Астрономияда  бұрынғыша  әліпбилік  жүйені  қолданды, 

(2)  саудагерлер

 

сауда  есеп-қисаптарында  Индиядан  келген  жүйені  колданған 

.Бірақ,    үнді  жүйесін  пайдаланып  жүргендер  арасында  да  ,  цифрлард

ың 

кескіндері  Индиянікі  сияқты,  күшті  түрлендірілді.  Бұл  екі  санау  жүйесі  араб 

халифатының  ыдырауынан  кейін  кең  таралған  болатын.  Оның  шығыс 

бөлігінде  қазіргі  араб  әлемінде  қолданылатын    жүйеге  ұқсас  сан  жүйесін 

пайдаланған. 

Бірақ 

X 

ғ.  Испанияда 

сандардың  белгіленуі 

жоғарыда 

келтірілген жүйелерден басқаша болды. 

Батыс  Еуропа

  Еуропада  араб  цифраларды  пайда

лануын  бірінші 

еуропалық ғалымы Герберт енгізген болды. Ол Испанияда жұмыс істеген, ал 

999 жылдан бастап  II Сильвестр Папасы болған . XII ғ Хуан Севильядан араб 

математигі  Аль -  Хорезмидің  De  numero  indorum  (үнділерді  сандар  туралы  ) 

трактатын  латынға аударды  . 

Келесі ғасырда үнді белгілеуі кең белгілі болып, жаңа жүйе алгоритм - Аль 

-  Хорезми 

атын 

алды. 

Бірнеше 

Ж

үз 

жылдықтан 

кейін 

европалы

қ 

алгоритмиктер  абацисттарды    және  рим  цифрларымен  б

үтін  сандарды  

есептеуді    пайдаланғандарды  жеңіп  шықты,  бірақ,  тек  1585  ж.    индо -  араб 

жүйесі  кеңейіп,  бөлшектерде  қолданылды.  Сол  жылы  Симон  Стев

ин  De 

Thiende кішкене трактатын ( Десятина) жариялады. 

17 ғ санның  бүтін бөлімін  бөлшектік   бөлімінен бөлуге  пайдаланылатын 

ондық  үтір  (  немесе  нүкте  )  қолдануға  кірді,  ,    содан  кейін  еуропа

лықтар 

Стевиннің ұсынған индексация дәрежесінен бас тартты . Сол заманнан кейін 

санау    жүйесінің  өзгертелуінің  дамуы  аяқталды  .(Бірақ  бұл    сандардың 

аттарында  немесе  белгілеулерінде  толық  стандарттаудың  қалыптасқанын 

білдірмейді . Америкада және Францияда биллион мың миллионды білдіреді 

,  ал  Англияда  ж

әне  Германияда  -  миллион  миллионды  ;  континентт

ік 

Еуропада  ондық  үтір  жиі  қолданылады  ,  ал  англосаксондардын  елдерінде 

ондық  нүктені  қоюды  жөн  көреді  ;  англосакстер  үтірлерді  мыңдық 

дәрежелерді  бөліп  алу үшін қолданады  ,  кейбір    елдерде  нүкте  осы  мақсатқа 

арналған ) 

Екілік жүйе

 

Соңғы жылдары қолданбалы математика облысында , әсіресе 

компьютерлерде , екілік санау жүйесі өте маңызды мағынаға ие болды .  10 

негізбен санау жүйесі он цифрды  (нөл  қоса ) талап еткен кезде ,  екілік 

арифметикаға  тек қана екі символ -0 және 1 қажет болды. 

Онды

қ жүйе 

Екілік 

жүйе 

Онды

қ жүйе 

Екілік 

жүйе 

0 

0  

9 

1001 

1 

1  

10 

1010 

2 

10  

11 

1011 

3 

11  

12 

1100 

4 

100  

13 

1101 

5 

101  

14 

1110 

6 

110  

15 

1111 

7 

111  

16 

10000 

8 

1000  

  

  

 

Екілік  жүйеде  6789  сан   былай  жазылады- 1101010000101    .  Ондық жазудан 

екілік  жазуға  көшу  оңай  жүзеге  асады:  ондық  сан  екіге  бөлінеді  ,  содан  соң 

екіге  бөлінген сан тағы да екіге бөлінеді, содан соң - жаңа екі бөлінді қайтадан 

екіге  бөлінеді,  осылайша  сонғы  бөлінді  қалғанға  шейін  (1  те

ң)  ,және  де 

бөліндінің  қалдығы    әрдайым  жазылып  отырады.  Соңғы  бөліндіні  (1)    және  

онын  артынан  кері  ретпен  негізгі  саннын    барлық  екіге  бөлуінің  қалдықтарын 

жазып алып , біз негізгі санның екілік эквивалентін аламыз .  

Ондық жүйеде  екілік  санды  жазып қою үшін  ,  процедураны қажетті  ықылас 

білдіруге керек: бірінші цифрды сол жағынан 2 көбейту ,  нәтижеге сол жағына 

ал  екінші  цифрды қосу,  алынған  қосындының  сол  жағынан  үшінші  цифрды 

қосу, осылайша   соңғы екілік санның цифрын ( ең оң жақтағы)  қосқанға шейін 

. 

Т.Харриот екілік  санау жүйесін XVII ғ  бастап пайдаланды .Содан кейін  Г. 

Лейбниц  екілік  жүйесіне  ықылас  назарын  білдірді  .  Миссионерлер  Қытайда  

христиандық дінді уағыздап, қытай әмірін  құдай ( бір ) болғанын және барлық 

нәрсені  ( нөлден ) жасағанына сендіру  үмітімен барды. 

Бірақ  XX  ғ дейін  екілік  жүйені  математикалық  оқиға  сияқты  анықтап 

қарады,кез  кезінен    ондық  жүйесінен  не  сегізік  немесе  он  е

кілік  жүйесіне 

ұсыныс естілді , бірақ екілік жүйегіне  тіпті емес. 

Бірақ әсіресе нақ арифметикалық операция екілік жүйеде қарапайым . Екілік 

жүйеде  есте  сақталатын  « қосу  кестелері  »  болмайды  ,     яғни  « үлкен  дәрежеге 

тасымалдау  »  1+1=10 -нан  басталады. Үлкен  сандарды қосуы  жанында қажетті 

тек  бағаналармен  немесе  дәрежелерге қаттап  салу, қалай  ондық  жүйеде  ,  есіне 

түсіре  тек  томға  ,  не қандай  тек қана  тасымалданады  бағанада  2  косуға,  екіні 

сандар  жетеді  келесі  бағана  (  сол  жаққа  )  үлкен  дәреже  бірлігі  түрінде  .  Дәл 

осылай    алу    шығарылады  ғой  ,  қалай  ондық  жүйеде  ,  томға  ойланбай  ,  не 

қажеттілік оқиғасында қазір керек « орынға ие болу » бағанадан сол жағында 2, 

ал 10 емес . 

Көбейту  екілік  кестесінде  0-ден  ерекшеленетін    жалғыз  нәтиже  1 1  =  1  –ге 

тең  .     Басқалардың    көбейту  «  кестеліктердің  »  талап  есте  сақтаудың  

болмайды,яғни әрбір бүтін  сан бірден тең екілік жүйесінде « екілік».  

Көбейту  «  кішкене  бағанамен  »  еңбексіз  шығады  ,  дәл  осылай  қажеттілік 

сияқты  «     үлкен  дәрежеге  тасымалдауда  » құлап  түседі  ,  жарым-жарты 

туындылардың  қосу  шығаруының  ар  жағында  ақырғы  жауап  алуы  жанында  . 

Бірақ  мына  жеңілдіктің  артынан  үлкен  санымен  көбейту  белгілердің  жанында 

тіпті кішкене сандардыларды « төлеу » келеді  . 

    

 

Цифрлар және санау жүйелері

 

 

 

 

 Цифрлар    -

  бүтін 

сандарды 

ж

әне 

ондық 

бөлшектерді 

жазу

ға 

колданалатын 

шартты 

белгілілер. 

 

 

Мысалы,  21  және  2810  сан  екі  мағналы  және  төрт  мағыналы  сан  болып 

табылады.  Әр  цифр    сан  жазуында әртүрлі  мағынаны  білдіреді,  ол  иеленген 

орыны  –  позициясынна 

(саты) 

т

әуелді 

болады.21 

саныны

ң  екілік 

мағынасында  екі  саты:  оңдық саты.  9  цифра

 

он  даналардың санын  көрсетеді, 

ал    бірлердің  сатысы  (10  цифра -  мына  сандағы  бірлердің  мөлшері)  . 

Соңымен, 21 санында екі  оңдық және и бір бірлік : 21=2*10+1. 

Төрт  мағыналы    2810  санында  төрт  саты  бар:  2 -  мыңдықтардың  сатысын 

көрсетеді,  8  саны  жүздіктердің  саның    көрсетеді  ,  1  саны    онды

қтардың 

сатысын көрсетеді және 0 цифрасы  бірліктердің сатысын көрсетеді. 

Сонымен,    2810  рарядты  екі  мы

ңдық  ,  сегіз  жүздік,  бір  ондық  және  0 

бірлік:  2810=2∙1000+8∙100+1∙10+0∙1.  Жалпы  , 

1



n

a

-  дық  сан    ондық  жүйе 

санауында  

n

  цифрлармен жазылады : 

                                               

0

1

2

1

a

a

a

a

n

n







, 

1



n

a

- жоғары (бірінші) разрядты цифры , дәреженің  мөлшерін көрсетеді 

2



n

a

-цифры, 

2

10



n

дәрежесінің мөлшерін көрсететін сан; 













































 

1

a

- 

1

10

-дәрежесінің мөлшерін көрсететін  оңдық разрядты  цифры,; 

0

a

-  сандағы  бірліктердің  мөлшедерін  көрсететін.  Ең  кем  сатының  – 

бірліктер разрядты цифры . 

Санның үстіндегі сызық, санның ондық жазуын сандардың көбейтуінен  

айыруға мүмкіндік береді:    

0

1

2

1

a

a

a

a

n

n







.   

    Жайылған түрде 

n

-дық сан  осылай болады : 

0

1

2

1

a

a

a

a

n

n







0

1

2

2

1

1

10

10

10

a

a

a

a

n

n

n

n



























,  мұндағы 

i

a

-  цифрлар, 

ал 

0

1





n

a

. 

Санау жүйелері

–  натурал сандарды  және ондық 

бөлшектерді айқын цифрлармен жазудын  тәсілі

 . 

 Мысалы,

  үштік санау жүйесінде тек  үш цифр- 0,1,2 

болады. Қазір уақытта сандар 0,1,2…,9.-ға дейінгі он 

цифрмен жазылатын ең үлкен тарату 

позициялық 

ондық санау жүйесі 

деп

 

аталады.  

 

 1  Мысал .Үш  мағыналы және төрт мағыналы  сандардың  жалпы түрін жазу . 

Шешуі  

0

1

10

100

1000

:

0

1

10

100

































a

d

c

b

a

abcd

a

c

b

a

abc

. 

 

   2 Мысал.

 Е

ң үлкен разрядты  бірліктердің саны  , ең максималдық деңгейде  

ең төменгі разрядты бірліктердің санынан  көп болатын  екі мағыналы санды  

табу. 

Шешуі.  Ізделіп  отырған  сан  91,  яғни  91  санында   оңдықтардыың  саны 

бірліктердің    санынан  9  есе  арты

қ.  Бұл  барынша  мүмкін  болған  ең 

максималды  арттыру  .  90  саны  шартты   қанағаттандырады  , өйткені  дәл  осы  

санда  оңдықтардың саны бірліктердің санынан  ең максималды  халде  артық  , 

ал есептегі  мақсат- ондықтардың саны  бірліктердің санынан ең максималды 

шамада артық болу керек. 

Дәл осылайша он цифрдың арқасында ондық жүйеде  ондық бөлшектер 

жазылады (1.23 қараныз).Мысалы, 

2

1

0

1

2

10

6

10

5

10

5

10

4

10

3

56

.

345

























. 

Ондық санау жүйелесінің негізгі 10 саныболады.  Жалпы  позициялық санау 

жүйесінің негізі болып кез-келген

p

 саны бола алады , бірақ оның 1 ден  артық 

болуға тиіс. 

Сонда, 

n

-лық бүтін сан осылайша жазады: 

0

0

1

1

2

2

1

1

)

(

0

1

2

1

p

a

p

a

p

a

p

a

a

a

a

a

n

n

n

n

p

n

n



































, (1) 

 

i

a

- цифрлар * :0,1,2,3,..., 

p

-1. 

       * егер

p

>10 болса,  онда санды жазу үшін қосымша цифрлар (белгілер) 

қажет 10,11,..., 

p

-1. 

 

p

 бөлшекті  негізі бар санау жүйесінде  ,  

k

p

 саны бар бөлгіш  , ондық 

бөлшектер сияқты жазыла алды: 

n

n

n

p

a

p

a

p

a

A

a

a

a

A



























2

2

1

1

1

,

(2).  

 

 

 

 

Осы  (1)  және  (2)  сияқты  сандарды   

p-лік 

бүтін  (  бөлшекті  сияқты)  сан  немесе 

   

p

 негізі 

бар жүйелі

 сан деп атайды  . 

3 Мысал. 

 

 

2

3

011

,

11011

;

211

 сандарды ондық жүйеде жазып берініз. 

Шешуі. 

 

3

211

 саны – үштік бүтін сан.  Үштік жүйеде цифрлармен санау 

0;1 және 2 цифрлары болады. (1) арқылы, мынаны табамыз:  

 

 

10

0

1

3

3

22

1

3

18

3

1

3

1

3

2

211





















 . 

Осылайша, 

 

2

011

,

11011

саны  екілік  бөлшек  сан  болады.  Ол  0  мен  1 

сандары арқылы жазылады. Сондықтан  

 

.

375

,

27

8

1

4

1

1

2

8

16

2

1

2

1

2

0

2

1

2

1

2

0

2

1

2

1

011

,

11011

3

2

2

0

1

2

3

4

2























































 

Санау  жүйесінде 

p

 негізі  арқылы  жазылган  санды  ,  санау  ж

үйесінде 

q

 

негізі бойынша баскаша жазуға болады: 

 

 

 

q

p

A

A

A









10

 яғни,  бірінші  санды  онды

қ  жүйеде  жазады,  ал  сосын 

жүйеде   

q

   негізі  бар  санды  табады  .  яғни  ,  бірінші  санды  ондық  жүйеде 

жазады  ,  ал  сосын  жүйеде    негізі  санды  табады  .  бары(белгілер)  керек  10, 

11,12,…, 

p

-1. 

Мысалы,  Бағдарламалауда  колданылатын  16-лық  жүйеде  A,B,C,D,E,F 

әріптерімен  10,  11,12,13,14,15  сандарын  белгілейді. 

 

16

7

5

CF

A

 саны  осы 

жүйеде былай жазылады: 

370639

16

15

16

12

16

7

16

10

16

5

0

1

2

3

4





















. 

 

4    Мысал.

   

1,2,4,8,16  және  32  г -дық  алты  гиря  берілген.  Осы  гирялардың 

қайсысы  41 г. жүкті өлшеуде қолданылады ? 

Шешеу . 41 санын екілік жүйеде қарайык: 

 

2

0

1

2

3

4

5

101001

2

1

2

0

2

0

2

1

2

0

2

1

41



























 

Осылайша, жүк өлшеуге 1,8 және 32 г-дық гирялар керек. 

 

Рационал сан

 

Рационал 

cан – түріндегі сан, мұндағы m және n — бүтін сандар (n-0). m 

бүтін  санын  түрінде  жазуға  болатындықтан,  барлық  бүтін  сандар  Рационал 

Сан  болып  есептеледі.  Рационал

  Сандар  алгебр.  өріс  құрайды,  өйткені 

Рационал  Сандарға  қосу,  азайту,  көбейту  және  бөлу  (нөлден  басқа  бөлгішке) 

амалдарын  қолданғанда  Рационал  Сан  шығады.  Рационал  Сандарға  амалдар 

қолдану мына формулалар арқылы беріледі: 

 

Рационал  Санды  ондық  бөлшек  немесе  шекті  және  шексіз  периодты  ондық 

бөлшек түрінде жазуға болады. 

Рационал  функция

  —  х  айнымалысы  мен  тұрақты  шамаларға  саны  шекті 

арифметикалық амалдарды  (қосу,  азайту, көбейту,  бөлу) қолданғаннан  пайда 

болған функция. Рационал функцияның жалпы түрі мынадай: 

мұндағы  a0,  a1,  an,  b0,  b1,  bm  (a0-0,  b0-0)  —  тұрақтылар,  ал  n  мен  m —  оң 

бүтін  сандар.  Рационал  функция  б

өлшектің  бөлімі  нөлге  айналмайтын 

нүктелердің  бәрінде  анықталған.  m=0  болған  жағдайда R(x)  функциясы  бүтін 

Рационал  функция  немесе  көпмүше  деп  аталады.  Ал  кез  келген Рационал 

функция  көпмүшеліктердің  қатынасы  ретінде  де қарастырылады.  Рационал 

функцияны  дифференциалдау  мен интегралдау  амалдары  оңай  орындалады, 

Рационал  функцияның  туындысы  да  Рационал  функция  болады.  Рационал 

функцияның  интегралы  әр 

уақытта 

элементар 

функциялар 

ар

қылы 

өрнектеледі.  Рационал  функция —  алгебр.  функцияның  дербес  жағдайы. 

Бірнеше  айнымалылардың  Рационал  функциясы  алымы  мен  бөлімі  бірнеше 

айнымалылардың көпмүшелігі болатын бөлшек ретінде анықталады. 

Рабайсыз сан

 

Иррационал́  сан

  —  рационал  емес  нақты  сан  Геометриялық  тұрғыдан  алса 

иррационал  сан  бірлік  кесіндім

ен  өлшемдес  емес  кесіндінің  ұзындығын 

өрнектейді.  Бұндай  өлшемдес  емес  кесінділердің  барын  көне  математиктерге 

бұрыннан 

белгілі 

бол

ған: 

мысалы, 

олар 

квадратты

ң 

қабырғасы 

мен 

диагоналдары  өлшемдес 

емес 

екені 

м

әлім 

болған, 

бұл 

санының 

иррационал дегенмен бірдей. 

Иррационал сандар жиынын әдетте  деп белгілейді. Осылайша 

. 

Комплекс сан

 

Комплекс  сандар

  - 

түрінде  жазылатын  сандар.  Мұндағы 

және 

- 

нақты  сандар,  -  жорамал  бірлік  және 

немесе 

.  комплекс 

санның нақты бөлігі,  – жорамал бөлігі. 

 

 

Комплекс санынң геометриялық түрде сипатталуы 

 

 

Модуль, аргументі, нақты және жорамал бөлігі 

Комплекс сандарымен жұмыс істеу

 



 

Салыстыру  

теңдігі 

және 

дегенді  білдіреді  (екі  комплекс 

сан егер олардың нақты және жорамал бөліктері тең болса ғана өзара тең 

болады). 



 

Қосу  

 



 

Алу  

 



 

Көбейту  

 



 

Бөлу  

 

Комплекс  санның  аргументі  -  жазықтықтағы  комплекс  санды өрнектейтін 

нүктенің радиус-векторы мен абцисса осінің арасындағы бұрышы