Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ 

МИНИСТРЛІГІ

 

 

Павлодар қаласының № 24 жалпы білім беретін орта мектебі 

Павлодар қаласының «Жас дарын» мамандандырылған мектебі 

 

 

 

 

 

 

 

Математика  пәнінен

 

Нақты сандар

 

тақырыбына оқу материалдары

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Авторы: Аубакирова Г. Б., 

Жунусова Ж. Ж. 

 

 

 

Павлодар  2012 жыл 

 

Бүтін сандар

 

Бүтін сандар торы

 

Негізгі қасиеттері

 

 

Атап айтқанда, нөл саны оң және теріс сандарды бөлгенмен, нөл оң және 

теріс сандардың тобына жатпайды.  

Бүтін  сандар  қосындысы,  алындысы  және  көбейтуі  бүтін  сан  болады.  

Бүтін сандардың бөлуі әрқашан бүтін сан болмайды. Мысалы, (-5):2=-2,5



Z. 

Сан  түзуінде  бейнеленген  бүтін  сандар,    б

үтін  сандардың  торын 

құрайды.  

Басқаша  айтқанда  ,  әрбір 

n

 бүтін  саны  үшін  алдында 

1



n

,  одан  кейін 

1



n

 жалғыз   саны  келеді.   Ал  бүтін  сан  емес  кез  келген 

p

саны   көршілес 

бүтін сандардың  арасында орналасады : 

1







n

p

n

, қайда  

Z

n 

 .   

Сонда 

n

 саны  ,  (

p

 санын    аспайтын,  ең  үлкен  бүтін  сан  ) 

p

 

санының 

бүтін    бөлімі  деп  аталады    және 

]

[ p

 деп    белгіленеді. 

n

 бүтін  санының 

бүтін бөлімі 

n

 саны  болып келеді. 

Мысалы,[6,2]=6,[-7]=-7, [-



]=-4.   

Санның бүтін  бөлімдерінің қасиеттері.

 

 

                    Қасиет. 

Мысалы

. 

1 

n

-бүтің сан болса, онда [

n

]=

n

. 

 

 

 

32

32

;

56

56





 

2 

n

-бүтің  сан  болса,  онда   әрбір  

х саны үшін [x+n]=[x]+n  

 



  



  

5

2

,

6

5

2

,

6

25

2

,

3

25

2

,

3













 

3 

Егер x



[y]. 

   

32

6

,

32

6





 

   Бүтін 

оң  және 

теріс, 

н

өл 

сандардын 

жиынтығы 

Z 

әріппен 

белгіленетін 

бүтін 

сандардын 

жиынын

 

құрайды. 

Осылайша, 

}

,...,

2

,

1

,

0

{

n

Z









. 

 

4 

Егер x



y, онда [x]



[y] 

 

   

9

5

.

9

5





 

5 

 Егер 

n

 саны – бүтін сан болса 

,  онда  [x]=n  теңдеуі  n

1





 n

 

теңсіздігіне тең болады. 

 

 

11

10

10

10

6

.

9







 

6 

[x]=[y]  теңдеуі  мына  теңсіздік 

жүйесіне тең болады. 

                                                  



















.

1

1

n

y

n

n

x

n

 

 

   

2

.

8

1

.

8



 



















.

1

8

3

.

8

8

1

8

1

.

8

8

 

 

 

 

Санау жүйеілері

 

туралы

 

 Америка

  16  ғасырда  Орталық  Америкаға  саяхат 

жасаған 

зерттеушілер 

, 

жо

ғары 

сапада 

дамы

ған 

Европадағы  жүйеден    басқаша  санау  жүйелері  бар 

өркениеттерді  кездестірді  .  Май

я  тайпасында  санау 

жүйесінің    ең  маңызды  элементі  болып,  позициялы

 

принцип және  нөл символын қолдану саналды  .  

 Майя  жүйелерінде  нүкте  бірлікті    білдірді,  ал қайталанатын  нүктелер  -  

төрт  санға  дейін;  бесті    горизонталдық  сызық  белгіледі,  ал  екі  және  үш 

горизонталды сызықтары - он және он бес сандарын белгіледі.  Ал жиырма 

санын    белгілеуі үшін  майя  позициялы  принципті қолданған  ,  яғни  ноль 

символының  үстіне  нүктені    орналастырып    пайдаланған.(  Соңғы  түрі 

 

болды.) 

Ертедегі  майя  санау  жүйесінде  сандар  бағанаға  жазылды  ,  жоғарғы  да 

үлкен  символдар  болды  .  Е

ң  төменгі  позиция  бірліктердің  дәрежелік 

талабына  сай  болды  ;      «бір 

қабат  жоғарырақ  »  жиырмалық  сандар 

орналасқан.  Тағы  жоғарырақ  бір  саны  400  санының  талабына  сай  болмай, 

360  бағанына  санға  сай  болады  .  Бас

қалар  қабатпен  жоғарырақтау  20  

санның дәрежесіне сәйкес. 6489 сан майя жүйесінде осылай жазылады: 

 

Мексикалық    ацтектерде  майядан  қарағанда  жиырмалық  санау  жүйесі 

басқаша  болды  ,  бірақ  қалғаныда  біраз қарапайымды,  яғни  позициялы  және 

нөл символының принцибін  қолданбады. Ацтектерде нүкте бірлікті білдірді, 

ал    20  санының  дәрежесін  белгілеуге  жаңа  белгілер  енгізілген  :  20 үшін 

жалау,  400  үшін  ағаш  және  8000  үшін  әмиян.  Қажет  болған  кезде    басқа 

сандар  осы  символдардың  қайталануы  арқылы    жазылды,  ал  оларды

ң 

шамадан  тыс  қайталануынан  олар  арнайы  ұжымды  белгілерді  енгізіп  

құтылды  : 10 үшін ромб тәрізді белгі және 100,200 немесе 300 үшін ағаштың 

үзінділерін. 

Солтүстік  Америкаға  европалықтардың  келуіне  дейін  Үндістердің 

жазуы 

жүйесі 

болмады 

. 

Ертеде 

санау 

ж

үйелерінің  зерттеулері,  

қолданалып  жүрген сандар сан есім болғанын көрсетеді , тек кана ерекше 

оқиғаларда абстракция деңгейінің жетті , яғни олар зат есім болған кезде. 

Бырақ,    суреттер  арқасында  немесе  ауызша үндістер  миллион  санына 

дейін көрсете алды. Сандардың құрастыру жүйелері әртүрлі болды , бірақ 

олардын ішінде жартысы ондық үлгісінде  болды  . 

Қытай

 Ең көне жүйелер Қытайда, сонымен қатар Жапонияда жасалған 

болатын  ,.  Бұл  жүйе  үстелге  немесе  тақтайға    санау үшін  шығарылған 

шыбықтар арқылы пайда болды .  

Бір  санынан  бастап  беске  дейін  ,  сәйкесті  бір,  екі    және  т.б.  шыбықтармен 

белгіленді. Ал бір , екі , үш немесе төрт тік шыбықтар және оларға қосылған 

бір  көлденең  шыбық  -  алты  ,  жеті  ,  сегіз  ж

әне  тоғыз  сандарын  білдірді 

(сандардың белгілеулерінің кестесін қараныз). 

 Бірінші бес есе үлкен 10 сан, бір, ек, ..., бес горизонтальдық шыбықтармен 

белгіленді,  ал  бір  ,  екі  , үш  және  төрт  горизонтальды  шыбықтардың  үстіңгі 

жағынан    тік  шыбық  орналасса  олар  60,70,80  және  90  сандарын  білдірді  .99 

және  одан  үлкен  сандарды  позициялық  принциппен  қолданды  .6789  санын 

қытайлар  осылай    жазатын    еді  :

 

.  Сандарды  шыбықтың 

арқасында белгілеу    саусақтармен  және есептік тақтаймен  санаумен тығыз 

байланысты 

, 

біра

қ  сонымен  қатар 

ол  үлгі 

жазбаша 

есептеулерде 

қолданылды. 

Екінші  белгілеуге  арналған  қытайдың  санау  жүйесінде  бірінші  тоғыз 

бүтін  сан  немесе  символды  белгіл

еу  үшін  (    сандардың  белгілеулерінің 

кестесін  қараныз),  әртүрлі  тоғыз  белгіні  және  онның  алғашқы  он  бір 

дәрежесін  белгілеу үшін  он  бір   қосымша  символдарды қолданды.    Көбейту 

және  алуды  қолдану  арқылы  бұл  тәсіл    триллионнан  кіші  кез  келген  санды 

жазуға мүмкіндік берді. Егер тоғыз бүтін санды білдіретін символдардың бірі 

10-ның  дәрежесін  білдіретін  символдың  алдында  тұрса,  1-ні  2-ге  көбейту 

керек  ,  ал  егер  алғашқы  он  санның  символы  соңғы  орында  тұрса,  бұл  сан 

белгіленген  алдыңғы  санға  қосу  керек  .  Дәл  осылай  санау  жүйесінде  6789 

саны былай жазылады 

  : яғни, 6 1000 + 7 100 + 8 10 + 

9.  

 

Үндістан 

Көне  үнді  өркениетін  жазбаша  ескерткіштері  өте  аз 

сақталған,  сонымен  бірге  о

ған  қарамастан  үнді  санау  ж

үйесі  өзге 

өркенетердін жолымен жүріп өтіп дамыған. Мохенджо-Даро жазбаларында 

тігінен  таяқшалардан  салынған  сандар бірнеше  рет қайталанады,  нақты  13 

рет, таңбалардың жиынтығы египеттік иероглифтерге ұқсас. 4, 10, 20 және 

100  сандарын  қайталап  қолдану  үшін  бірнеше  уақыт  ішінде  аттикалыққа 

ұқсас ұжымдық символдар қолданыста болды. Бұл кхорошти деп аталатын 

жүйе  бірте  –  бірте  әліпи  әріптермен  белгіленетін  бірліктер,  ондықтар, 

жүздіктер  және  мыңдықтар  жүйесі  –  брахми  жүйесіне  орын  берді. 

Александр  Македонскийдің  Үндістанға  басып  кіруінен  кейін  Грецияд

а 

кхароштидан брахмаға айналауы өтті және иондық санау жүйесі аттикалық 

жүйені  ығыстарды.  Кхарошмидан  брахмаға  өтуін  гректердің  ықпалынан 

болуы  мүмкін.  Бірақ,  қазіргі  кезде  осы  жүйені  қадағалау  және  қалпына 

келтіру  мүмкін  емес  және  бұл  айналымды  ежелгі үндиялық  түрден  біздің 

жүйеге 

айналдыру 

м

үмкін 

емес. 

Нана

-Гат 

және 

Насеки 

бізді

ң 

заманымыздағы  бұрын  бірінші  ғасырда  және  біздің  заманымыздағы 

бірінші ғасырға жататын табылған жазбаларда сандардын белгілеулері бар. 

Олар  үнді  –  араб  жүйесінің  атауын  алғашкы  алушылардың  бірі  болды. 

Алғашқыда  осы  жүйеде  позициялық  принципі  және  нөл  символы  болған 

жоқ. Осы екі давангари деген элементпен бірге элементер үнді жүйесінне 8 

– 9 ғасырдарда кірді (сандардың белгілеулерін кестесіне назар аударыңыз). 

Үнді  жүйесінде  6789  саны 

 ретінде  жазылады.  осында  бі  за

мандас 

санау жүйелердің элементтернін алғашқы рет көреміз. Үнді жүйесі ондық, 

цифрлік және поициялы болады.   

Нольды қолданған  позициялық санау  жүйесі  Индияда  пайда  болғанжоқ, 

өйткені  көптеген  ғасырлар  бұрын  Ежелгі  Вавилонда қолданылды.  Бұны 

есінен  түсірмейік.  Үнді  жұлдызшылар  алпыс  разрядты  бөлшектерді  білді. 

Мүмкін  бұл  оларды  позициялық  принциптің  алпыс  разрядты  жүйесінен 

ондық жүйесінде жазылған бүтін сандарға жылжытуға ой берді. Ақырында 

замандас  санау  жүйесіне  келтірген  жылжу  пайда  болды.  Мүмкін  осындай 

жылжу  Грецияда,  яғни  көбінесе  Александрияда  пайда  болып,  Үндістанға 

таратылды.  Ақырғы  айтқанымызды  дәлелдейтіні  соңғы  жорамал:  нольды 

белгілейтін  дөңгелектің  омикрон  грек  әріптің  кескіндерімен  ұқсастығы. 

Бірақ  нольге  үнді  символының  пайда  болуы  әлі  құпия,  өйткені  оның 

Үндістанда  пайда  болғанын  алғашқы  анық  дәлел  тек  қана  9  ғасырмен 

бнлгіленген.  Қандай  оғаш  болса  да,  гректер  де, үнділер  де  өз  сандар 

жүйесіне  он  рарядты  бөлшектерді  қосқанжоқ.  Бірақ  нақты  үнділерге  біз 

замандас  жүйесінде  бөлшектің  бөлгіш  пен  алымға  бөлініп  жазылуына 

міндетті түрде алғыс айтуға тиіспіз (бірақ горизантальдық сызықсыз).  

Аравия

  Арвиядан 

шықпағанымен  қазірғы 

сандардың  белгілеу 

жүйесін  араб  жүйесі  деп  атайды  .    Хиджра

ға  дейін  арабтар    сандарды 

сөздермен  жазған  ,  бірақ  содан  соң  ,  гректер  сияқты,  олар  сандарды өз 

әліпбиінің  әріптерімен  белгіледі.  772  жылы

  «  Сидданта  »  атты үнді 

трактаты  Багдадқа  әкелінді  және  араб  тіліне    аударылды,  сод

ан  кейін, 

сандарды 

екі 

ж

үйе 

бойынша 

жазды: 

(1)Астрономи

яда 

бұрынғыша 

әліпбилік  жүйені  қолданды,  (2)  саудагерлер

 

сауда  есеп-қисаптарында 

Индиядан  келген  жүйені  колданған  .Бірақ,    үнді  жүйесін  пайдаланып 

жүргендер  арасында  да  ,  цифрлардың  кескіндері  Индиянікі  сияқты,  күшті 

түрлендірілді.  Бұл  екі  санау  жүйесі  араб  халифатының  ыдырауынан  кейін 

кең  таралған  болатын.  Оның  шығыс  бөлігінде  қазіргі  араб  әлемінде 

қолданылатын    жүйеге  ұқсас  сан  жүйесін  пайдаланған.  Бірақ  X  ғ. 

Испанияда 

сандардың  белгіленуі 

жоғарыда 

келтірілген 

ж

үйелерден 

басқаша болды. 

Батыс  Еуропа

  Еуропада  араб  цифраларды  пайдалануын  бірінші 

еуропалық  ғалымы  Герберт  енгізген  болды. Ол  Испанияда  жұмыс  істеген, 

ал  999  жылдан  бастап    II  Сильвестр  Па

пасы  болған  .  XII  ғ  Хуан 

Севильядан  араб  математигі  Аль

  -  Хорезмидің  De  numero  indorum 

(үнділерді сандар туралы ) трактатын  латынға аударды  . 

Келесі  ғасырда  үнді  белгілеуі  кең  белгілі  болып,  жаңа  жүйе  алгоритм - 

Аль  -  Хорезми  атын  алды.  Бірнеше  Ж

үз  жылдықтан  кейін  европалық 

алгоритмиктер  абацисттарды    және  рим  цифрларымен  бүтін  сандарды  

есептеуді  пайдаланғандарды жеңіп шықты, бірақ, тек 1585 ж.  индо - араб 

жүйесі  кеңейіп,  бөлшектерде  қолданылды.  Сол  жылы  Симон  Стевин  De 

Thiende кішкене трактатын ( Десятина) жариялады. 

17  ғ  санның 

  бүтін 

бөлімін 

 

б

өлшектік 

 

б

өлімінен 

бөлуге  

пайдаланылатын ондық үтір ( немесе нүкте ) қолдануға кірді, ,  содан кейін 

еуропалықтар Стевиннің ұсынған индексация дәрежесінен бас тартты . Сол 

заманнан кейін санау  жүйесінің өзгертелуінің дамуы аяқталды .(Бірақ бұл  

сандардың  аттарында  немесе  белгілеулерін

де  толық  стандарттаудың 

қалыптасқанын  білдірмейді  .  Америкада  және  Францияда  биллион  мың 

миллионды  білдіреді  ,  ал  Англи

яда  және  Германияда  -  миллион 

миллионды  ;  континенттік  Еуропада  ондық  үтір  жиі  қолданылады  ,  ал 

англосаксондардын 

елдерінде 

он

дық  нүктені  қоюды 

жөн 

көреді 

; 

англосакстер  үтірлерді  мыңдық  дәрежелерді  бөліп  алу  үшін  қолданады  , 

кейбір  елдерде нүкте осы мақсатқа арналған )