Ќазаќстан Республикасы
жүктеу/скачать 3,13 Mb.
|
2019-KompAFT
Лекция мәтіні1. Логарифмдік алынды ±ѓымы. Айталыќ функциясы т±йыќ ‰зінді тегіс контурыныњ ішінде шектеулі сан полюстерден басќа н‰ктелердіњ бєрінде жєне сол контурды µзінде аналитикалыќ функция болсын. Оныњ ‰стінде -да нµлден µзгеше деп жориыќ. Сонда арќылы -тіњ котурыныњ ішіндегі нµлдерін сєйкес реттерін жєне мен арќылы -тіњ -ныњ ішіндегі сєйкес полюстерін жєне осы полюстердіњ сєйкес реттерін белгілесек, -ныњ ішінде жєне -ныњ µзінде аналитикалыќ болатын кез келген функциясы ‰шін (1) формуласы орындалады. Б±л формуланы дєлулдеу ‰шін интегралына алындылар туралы негізгі теорема ќолданамыз. функциясыныњ -ныњ ішіндегі ерекше н‰ктелері -тіњ не нµлдеріне, не полюстерінде жатуы м‰мкін. Алдымен нµлдерін ќарастырамыз. Оныњ мањайында жєне функцияларын Тейлор ќатарларына жіктейік: Демек () М±нан функция ‰шін н‰ктесініњ ( болѓанда) бірінші ретті полюс болатындыѓы шыѓады. -тіњ -ѓа ќатысты алындысын лекциядаѓы формула бойынша табылады: болѓанда функциясы н‰ктесінде аналитикалыќ болѓанымен, біздіњ тапќан алындымыз 0-ге айналады, сондыќтан алынды туралы негізгі теореманы ќолдана отырып, мен жаѓдайлары арасында айырымды жасамауымызѓа да болатынын ескерген жµн. Наќты осындай функциясыныњ полюсіне қатысты - тің алындысын табамыз. Бұл полюстің маңайында сонымен қоса, Сонда (бөлшектің мүшелерін -ге көбейткеннен кейін). Бұл функциясы үшін нүктесінің бірінші ретті полюс болатындығын білдіреді. . - тің ге қатысты алындысын тағы да жоғарыда көрсетілген формула бойынша табамыз: Сонымен - тің Г ішіндегі барлық ерекше нүктелеріне қатысты алындыларының қосындысы өрнегіне тең. Бұл (1) формуланың дұрыстығын дәлелдейді. Бұл формула маңызды дербес жағдайын атап өтелік. десек, (1) формуладан = Мұндағы функциясының Г контурының ішіндегі нолдерінің санын, ал осы функцияның полюстер санын білдіреді де әр нол немесе полюс оның еселігі қанша болса сонша рет есептелінеді. интегралын Г контурына қатысты функциясының логарифмдік алындысы деп атап (бұлай атау қатынасы тің логарифмдік туындысы болуымен байланысты: мынадай қорытындыға келеміз: Тұйық Г контурына қатысты функциясының логарифмдік алындысы функцияның Г – ның ішіндегі әрбір нолі және полюсі оның еселігі қанша болса сонша рет есептелгенде нолдер саны мен полюстер санының айырымына тең. 2. Аргумент қағидасы.Руше теоремасы. Логарифмдік алындының геометриялық мағынасын анықтау үшін оны түрінде жазып аламыз. Г контурының кез – келген нүктесін арқылы белгілеп, оны интегралдау жолының бастапқы және соңғы нүктесі деп есептеп, бір айналым жасалса, функциясы бастапқы мәнін қабылдайтындықтан (3) нүктесі оң бағытта Г контурдың бойымен қозғалып, бір айналым жасағанда нүктесі жазықтығында бірер С тұйық қисық бойлап қозғалады. Егер С контуры нүктені қоршайтын болса, Г контуры бойлай бір айналым жасалғанда - тің мәні өзгереді. Егер оның бастапқы мәнін ал соңғы мәнін арқылы белгілесек, (4) (3) пен (4) ті ескерсек (2) формуладан = теңдігіне келеміз. Әдетте айырмасы арқылы белгіленеді. Сонымен, аргумент қағидасы деп аталатын (5) шамасы z нүктесі Г контуры бойлай бір айналым жасағанда нүктесінің w=0 нолдік нүктесінің маңында айналымдар санына тең болады. Руше теоремеасы. Аргумент қағидасын пайдаланып, Руше теоремасы деп аталатын аса маңызды ұсынысты дәлелдеуге болады: Егер тегіс немесе үзінді – тегіс Г контурында және оның ішінде аналитикалық және екі функция Г – да Шартын қанағаттандырса, онда Г ішінде және функцияларының нолдер саны бірдей болады. Мысал: функциясының шеңберіне қатысты логарифмдік алындысын табу керек. теңдеуінен функциясының жай нолдерін табамыз. деп, функциясының еселігі 2 – ге тең полюстерін табамыз. дөңгелегінде берілген функцияның екі жай нолдері және жеті екі еселі полюстері бар: Сонымен, және Сонда логарифмдік алынды туралы теорема бойынша берілген функциясының шеңберіне қатысты алындысы жүктеу/скачать 3,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|