Бірінші текті қисық сызықтағы жазықтықтағы тұйық емес (жай) қисық сызық

1.
Бірінші текті қисық сызықтағы жазықтықтағы тұйық емес 
(жай) қисық сызық.
 
OXY координаталық жазықтықтағы L қисығы мына теңдеулер арқылы параметрлік түрде 
берілсін 
x = φ(t), y = ψ(t), α ≤ t ≤ β. (1) 
Еске сала кетейік, егер φ(t), ψ(t) функциялары [α, β] бойынша үзіліссіз болса және [α, β] 
сегментінен t параметрінің әртүрлі мәндері болса, L қарапайым (жай)) тұйық емес қисық деп 
аталады. Егер А(φ(α), ψ(α)) нүктесі В(φ(β), ψ(β)) нүктесімен сәйкес келсе, ал қалған нүктелер 
еселік болмаса, L қарапайым тұйық қисық деп аталады. Қарапайым L қисығы түзетілетін деп 
аталады, егер қисыққа сызылған сынық сызықтар ұзындығының шегі Δt → 0 (бұл шек L 
қисығының ұзындығы деп аталады) болса. Ұқсас анықтамалар Oxyz координаталық 
кеңістігіндегі теңдеулер арқылы параметрлік түрде анықталған кеңістіктік қисық үшін орын 
алады. L (1) теңдеулерімен берілген қарапайым, түзетілетін (тұйық немесе ашық) қисық 
болсын, және L қисығында f(x, y) функциясы анықталсын.[α, β] кесіндісін α=t
0
1
<...n 
=β 
нүктелері арқылы n бөлікке бөлейік. Бұл жағдайда L қисығы M
0
, M
1
, ..., M
n 
нүктелері арқылы n 
бөлікке бөлінеді. M
k-1 
,M
k 
доғасының ұзындығын Δl
k 
арқылы белгілеп, әрбір M
k-1
M
k 
доғасында қандай да бір N
k 
(ξ
k
, η
k
) нүктесін таңдап, интегралдық қосындысын құрастырамыз: 
Анықтама: I саны интегралдық қосындылардың шегі деп аталады при Δl → 0, егер ∀ ε > 0 ∃ δ 
> 0 болса, L қисығының Δl < δ бар кез келген бөлімі үшін, I саны интегралдық қосындылардың 
шегі Δl → 0 деп аталады, егер ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 болса, және N
k 
аралық нүктелерінің кез келген 
таңдауы үшін теңсіздік пайда болады.