Бұл әдістің мәнін түсіну үшін мынадай мысал қарастырайық
жүктеу/скачать 50,98 Kb.
|
1 2
| 3.4. Ылдилай анализ әдісі.
Ылдилай анализ әдісінің екі түрі бар: жетілмеген анализ және қарсы жору арқылы дәлелдеу. Жетілмеген анализге мысал келтірейік. 1-есеп. Шеңберге іштей ABCD төртбұрышы сызылған. Төртбұрыштың СD диагоналы АВ диагоналының ортасы арқылы өтеді. Дәлелдеу керек 2CD2=AC2+CD2+BD2+DA2 – (1) Шешуі. Төртбұрыштың диагональдарының қиылысу нүктесі Р болсын (6-сурет). (1) теңдік орындалсын делік. Онда оны былайша жазуға болады: немесе
Жақшаларды ашып ықшамдасақ Енді екенін ескеріп, теңдікті мына түрде жазамыз Шеңбер хордаларының қасиетіне сәйкес болады. Демек, Сонымен дұрыс теңдік алдық. Мұндай жағдайда оқушылар тұжырым дәлелденді деп есептейді. Бірақ олай емес. Біздің жасаған пайымдауларымыз (1) теңдіктің дұрыстығын дәлелдемейді. Әлі бұл теңдіктің дұрыстығы немесе жалғандығы туралы біз ешнарсе айта алмаймыз. Оның себебі, дұрыс емес мәселелерден де дұрыс пайымдаулар жасаулар арқылы дұрыс салдар алуға болады. Бұдан есепті шығару барысында мұндай пайымдауларымыздың ешқандай пайдасы жоқ деген қорытынды шықпайды. Керісінше синтетикалық әдіспен дәлелдеудің жоспарын жасауға мүмкіндік береді. Енді пайымдау кері бағытта жүреді. CD векторын былай өрнектейік: , сонда немесе ал болғандықтан, болады. Теңдіктің екі жағын да 2-ге көбейтіп және екендігін ескерсек, шығатыны бұдан нeмece Сонымен теорема дәлелденді. Жетілмеген анализ далелдеу жоспарын жасауға жәрдемін тигізеді екен. 2-есеп. Шеңберге АВС дұрыс үшбұрышы іштей сызылған және кесіндісі радиустың бөлігіне тең екендігін дәлелдеу керек (7-сурет). Шешуі. Айталық, (2) болсын жүргізейік. Сонда DBK үшбұрышы тең қабырғалы болып, оның әрбір қабырғасы болады. Есептің шарты бойынша . Олай болса, DE кесіндісі DBK үшбұрышының медианасы, әрі биіктігі. DBE тікбұрышты үшбұрыштан табылатыны (3) 7-сурет 7-суреттен DЕ-нің мәнін (2) теңдікке қойсақ, , бұдан болады. Дұрыс емес теңдік алдық, олай болса теореманың қорытындысы жалған екен, . Өз кезегінде (3) теңдік есептің қорытындысының қандай болуы керектігін де көрсетеді. 3-есеп. n-нін кез келген мәнінде мына теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдеу керек (4) Дәлелдеуі (4) теңсіздік орындалады деп жориық. Теңсіздіктің екі жағын көбейткішіне көбейтейік. Түрлендірулер нәтижесінде мынадай түрге келеді (5) (6) (7) (8) (9) (9) айқын теңсіздік. Осымен талдау үрдісі аяқталады. Берілген теңсіздік пен айқын теңсіздік арасында қандай да бір байланыс тағайындалып тұр. Пайда болған теңсіздіктердің тізбегі дәлелдеу бола алмайды. Толық дәлелдеу болу үшін орындалатындығын көрсету керек. Шындығында да (9)-дан (8) шығады, (8)-ден (7) шығады т. с. с. Бұл қарастырылған мысалдардан жетілмеген анализдің мәні мынада екендігі көрінеді: дәлелдеудің бастауы үшін дәлелденетін сөйлем А алынады да, оны дұрыс деп есептейді. Осы ұйғарымды, есептің шартын және бұрыннан белгілі сөйлемдерді пайдалана отырып, А-ның бірнеше салдарларын шығарып алады. Осы салдарлар берілген есепті қосалқы есептерге жіктеу болып табылады. Егер қосалқы есептер бірден шешілмесе, онда А-дан, есептің шартынан, белгілі сөйлемдерден А-ның салдарын алады және бірінші қосалқы есептер екінші бір қосалқы есептерге жіктеледі де, ол алдыңғы есепті шығаруға мүмкіндік береді. Осылайша қашан есептің дұрыстығы көрсетілгенше немесе жөнсіз салдар алынғанша жалғаса береді. Егер түрлендірулер тізбегі 2-есептегідей жөнсіз салдарға алып келсе, онда бұл берілген есептің дұрыс емес екендігіні белгісі. Мұндай жағдайда жетілмеген анализ дұрыс деп табылып, жоруымыз қайта дәлелдеуді қажет етпейді. Көп жағдайда жетілмеген анализ дәлелдеудің жолын көрсетіп береді. Оның маңыздылығы да сонда. Жетілмеген анализдің ерекшелігі, салдарлар ұйғарымға қайшылыққа келмесе, онда дәлелдеуді синтетикалық жолмен жүзеге асыру мүмкін болады. Егер дұрыс салдарлар болғанымен, пайымдаулар арқылы дәлелдеуге ешқандай мүмкіндік болмаса, онда есепті шығару ашық күйінде калады. Ондай жағдайда басқа әрбір әдістермен пайдалануды ойластырған жөн. Жетілмеген анализ теоремаларды дәлелдеуде, салу есептерінің жоспарын жасауда, дұрыс емес ұйғарымдарды теріске шығаруда кең түрде қолданылады. Бұл әдіспен теоремаларды дәлелдеу мен есептер шығаруды оқушыларға біртіндеп таныстыру керек. Қарсы жору арқылы дәлелдеуді қарастырайық. Қарсы жору әдісі математика курсында жиі қолданылады. 4-есеп. а жане b өзара жай сандар, ax+by=ab тендеуінің натурал сандар жиынында шешімі болмайтынын дәлелдеу керек. Дәлелдеуі. (х, у) - теңдеудің натурал шешімі болсын, онда ab-ax= by немесе а(b-х) = by болады. Олай болса by өрнегі a-ға бөлінеді, бірақ a және b өзара жай сандар, сондықтан у а-ға бөлінуі керек, яғни y=ka болады. Дәл сол сиякты х-тың да b-ға бөлінетінін көрсетуге болады, яғни х=mb. Бұл мәндерді берілген теңдікке қойсақ аmb+bka = ab болып, бұдан m +k=1 болатындығы шығады. Бұл m және k натурал сандары үшін мүмкін емес. Мұндай қайшылық берілген ұйғарымның дұрыстығын дәлелдейді. 5-есеп. Төртбұрыштың қабырғаларын диаметр ретінде алып, салынған дөңгелектер төртбұрышты түгел жабады. Дәлелдеуі. Төртбұрыштың ішінде жататын және дөңгелектермен жабылмаған М нүктесі табылсын. Ондай жағдайда төбесі М нүктесі болатын төртбұрыштың қабырғасына тірелген бұрыш сүйір болады (диаметрге тірелген шеңберден тыс бұрыш ретінде). Демек, төрт сүйір бұрыштың қосындысы 4d-дан кіші болады да, сонымен қатар бұл бұрыштар толық бұрыш құрайтын болғандықтан, 4d-дан артық та болып қалады. Олай болса, төртбұрыштың қабырғаларын диаметр ретінде алып, салынған дөңгелектер төртбұрышты толық жабады. Қарсы жору арқылы дәлелдеудің басқа дәлелдеу тәсілдерінен айырмашылығы, тікелей емес жанама дәлелдеу болып табылады. Мұнда берілген сөйлемнің дұрыстығы, ол сөйлемді теріске (жоққа) шығару арқылы дәлелденеді. Қарсы жору арқылы дәлелдеу, табиғаты жағынан аналитикалық әдіске жатады. Ол дәлелдеу керектен басталады, ұйғарылған сөйлем мүмкін болатын бірнеше түрлерге бөлініп, олардың әрқайсысы жеке-жеке зерттеледі, яғни элементар анализ жасалынады. Қарсы жору арқылы дәлелдеу нәтижесінде есептің шартына немесе бұрын тағайындалған сөйлемге қарама- қайшылыққа келеді де, қарсы жоруды дұрыс емес деп табады. Бұл әдіспен дәлелдеудің алгоритмі мынадай: дәлелденетін сөйлем жалған (дұрыс емес) деп алынып, оған қарама-қарсы ұйғарым дұрыс деп жорылады; осының нәтижесінде әр түрлі жағдайлар белгіленеді; әрбір жағдайдың салдарында теореманың шартына немесе бұрын тағайындалған сөйлемге қайшылыққа келеді; қайшылықтың болуы біздің жоруымыздың дұрыс еместігін білдіреді; дәлелденетін сөйлемнің қорытындысы дұрыс екен делінеді. Дәлелдеуді осы жоспар бойынша жүргізу оқушылардың қарсы жору арқылы дәлелдеу дағдыларын қалыптастырып, оның мәнін түсінуге мүмкіндік береді. жүктеу/скачать 50,98 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2