Ч а с т ь V i молодой ученый
Молодой ученый Қазақстан
жүктеу/скачать 6,09 Mb. Pdf көрінісі
|
| 400
Молодой ученый Қазақстан Есеп. А және В пункттерінен біл мезгілде велосипетші мен мотоциклші бір-біріне қарама қарсы шықты. Пункттердің арақашықтығы 96 км. Егер велосипедші Пункттердің арақашықтығы 96 км. Егер велосипедші 3 4 сағатта 12 км жол жүрсе және оның жылдамдығы мотоциклші жылдамдығының 1 3 -іне тең болса, онда олар қанша сағаттан кейін кездеседі? Шешуі. 1) Велосипедшінің жылдамдығы қандай? 3 4 12 : 12 16 4 3 = ⋅ = км/сағ. 2) Мотоциклшінің жылдамдығы қандай? 1 16 : 16 3 48 3 = ⋅ = км/сағ. 3) Мотоциклші мен велосипедші бір сағаттың ішінде қанша қашықтыққа жақындасады? 16 48 64 + = км. 4) Мотоциклші мен велосипедші қанша уақыттан кейін кездеседі? 96 : 64 3 : 2 1,5 = = сағ. Жауабы: 1,5 сағ. Мұнда алдымен бірінші көмекш есеп — велосипедшінің жылдамдығын, содан кейін бірінші көмекші есептің нәтижесі мен негізгі есептің мәліметін пайдаланып, екінші көмекші есеп — мотоциклшінің жылдамдығын таптық. Бірінші және екінші көмекші есептердің нәтижелерін пайдалынып, үшінші көмекші есепті тұжырымдап шығардық. Осы соңғы көмекші есептің нәтижесі мен негізгі есептің мәліметін пайдаланып, ізделінген шаманы таптық. Есепті аналитикалық әдіспен шығару. «Есепте қойылған мәселеге жауап беру үшін нені білу керек?» деген сұрақтан басталады. Бұл сұраққа толық жауап беру үшін есептің мәліметтерін айқындап, оның ізделетін шамамен байланысын анықтау керек. Сонымен қатар есеп шығаруда арнаулы әдістер де жиі қолданылады. Олар: сарқа сынау, жинақтау, модельдеу және ізделетін шаманың жуық мәндерін табу әдісі [2, 160 б]. Сарқа сынау әдісінде барлық логикалық мүмкіндіктерді айқындап, оның ішінен есептің шартын қанағаттандыратындарын бөліп көрсетеді. Мысал. Құрылыс объектісін жөндеуден өткізген сылақшылар мен сыршыларға 1000 теңге қосымша төленді: әрбір сылақшы 23 теңге, ал әр сыршы 17 теңгеден алды. Объектіде неше сылақшы, неше сыршы жұмыс істеді? Шешуі. Жөндеуге қатысқан сылақшылардың санын — x , ал сыршылардың санын y деп белгілесек: 23 17 1000 x y + = (1) теңдеуін табамыз. Демек, мәселе анықталмаған теңдеудің бүтін шешулерін табуға тіреліп тұр. Бұл теңдеуден: ( ) 3 1 2 1000 23 3 6 59 59 17 17 17 x x x y x x + − + = = − − = − − ; 1 2 17 x t + = деп белгілесек, 2 17 1 x t = − ; бұдан 1 8 2 t x t − = + . Енді 1 1 2 t t − = белгілеулерін енгзейік, онда 1 2 1 t t = + . Сонда 1 1 1 16 8 17 8 x t t t = + + = + ; (2) 1 59 17 8 6 3 48 23 y t t t = − − − − = − (3) Ал x пен y — оң бүтін сандар (жұмысшылардың саны), ендеше, 1 1 0 17 8 0; 0 48 23 0 x t y t > ⇒ + > > ⇒ − > Немесе 1 8 17 t > − және 1 48 2 2 23 23 t < − = , яғни 1 8 2 2 17 23 t − < < . Демек, t -нің мәні 0, 1, 2 бүтін сандары бола алады. Осы мәндерді (2), (3) теңдеулерге қойып, сарқа сынап x пен y - тің мәндерін таблица арқылы өрнектеуге болады: 1 t 0 1 2 x 8 25 48 y 48 25 2 Сөйтіп, теңдеудің үш бүтін шешімі бар екен, яғни 8 сылақшы және 48 сыршы, 25 сылақшы және 25 сыршы, 48 сылықшы және 2 сыршы. Сарқа сынау әдісімен көптеген логикалық есептер мен теориялық-сандық мазмұндағы кейбір қарапайым есептерді шығаруға болады. Жинақтау әдісінің мәні берілген өрнекті біртіндеп түрлендіру болып табылады. Осы мақсаттағы түрлендірулер тізбегінің соңы, ізделінді нәтижені тікелей көрсетуі тиіс. Мәселен, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкенде, оларға пара- пар теңдеулер немесе теңсіздіктердің шектеулі тізбегін құрады және бұл тізбектің соңғы буыны — шешуі бұрыннан мәлім теңдеу немесе теңсіздік. Ал дәлелдеуге берілген есептерді шығару көбіне белгісізден берілген мәліметтерге қарай жүргізілетін тепе-тең түрлендірулерден құралады. Пара-парлық қатынасы мен реттілік қатынастары транзитивті қасиетке ие болғанда ғана жинақтау әдісі жиі қолданылатынын ескеру керек. Мысал. 2 2 1 1 а а < + екенін дәлелдеу керек, мұнда 1 a ≠ . Шешуі. Теңсіздіктің сол жағы мен оң жағының айырмасын қарастырайық: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 a а a a a a а a a a − − − − + − = = − = − + + + + . Ал 1 a ≠ болғанда, ( ) 2 2 1 0 1 a a − − < + . Тепе-тең түрлендірулер пара-пар, демек, берілген теңсіздік дұрыс. Дәлелдеу керегі осы еді. Жинақтау әдісі теоремаларды дәлелдегенде және салу есептерін шығарғанда жиі қолданылады. Шынында, белгілі бір теореманы дәлелдегенде бұрыннан мәлім теоремаларға және басқа математикалық сөйлемдерге сүйенеді. Ал геометриялық салуларды орындағанда қарапайым салуларды негізге алады. Модельдеу әдісі есеп шығарғанда жиі қолданылады. Берілген есепті модельдеуге әр алуан формулалар, таблицалар, диаграммалар, схемалар, теңдеулер мен теңсіздіктер және олардың жүйелері пайдаланылады. Мәселен, мәселе есептің мазмұны бойынша құрылған теңдеу оның аналитикалық моделі, сызба геометриялық моделі, сызба геометриялық моделі болып табылады. Мысал. Математикалық олимпиадада 6 есеп берілді. Шығарылған әрбір есеп үшін 10 ұпай қосылып, шығарылмаған есеп үшін 3 ұпай шегеріледі. Олимпиаданың келесі турына кемінде 30 ұпай алған оқушылар шықты. Келесі турға шығу үшін қанша есеп шығару керек? Бұл есептің аналитикалық моделі: ( ) 10 3 6 30 6 x x x − − ≥ ≤ теңсіздіктер жүйесі. Тағы бір мысал. 4 2 y x x = − функциясының геометриялық моделі — парабола. 1 t 0 1 2 x 8 25 48 y 48 25 2 Сөйтіп, теңдеудің үш бүтін шешімі бар екен, яғни 8 сылақшы және 48 сыршы, 25 сылақшы және 25 сыршы, 48 сылықшы және 2 сыршы. Сарқа сынау әдісімен көптеген логикалық есептер мен теориялық-сандық мазмұндағы кейбір қарапайым есептерді шығаруға болады. Жинақтау әдісінің мәні берілген өрнекті біртіндеп түрлендіру болып табылады. Осы мақсаттағы түрлендірулер тізбегінің соңы, ізделінді нәтижені тікелей көрсетуі тиіс. Мәселен, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкенде, оларға пара- пар теңдеулер немесе теңсіздіктердің шектеулі тізбегін құрады және бұл тізбектің соңғы буыны — шешуі бұрыннан мәлім теңдеу немесе теңсіздік. Ал дәлелдеуге берілген есептерді шығару көбіне белгісізден берілген мәліметтерге қарай жүргізілетін тепе-тең түрлендірулерден құралады. Пара-парлық қатынасы мен реттілік қатынастары транзитивті қасиетке ие болғанда ғана жинақтау әдісі жиі қолданылатынын ескеру керек. Мысал. 2 2 1 1 а а < + екенін дәлелдеу керек, мұнда 1 a ≠ . Шешуі. Теңсіздіктің сол жағы мен оң жағының айырмасын қарастырайық: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 a а a a a a а a a a − − − − + − = = − = − + + + + . Ал 1 a ≠ болғанда, ( ) 2 2 1 0 1 a a − − < + . Тепе-тең түрлендірулер пара-пар, демек, берілген теңсіздік дұрыс. Дәлелдеу керегі осы еді. Жинақтау әдісі теоремаларды дәлелдегенде және салу есептерін шығарғанда жиі қолданылады. Шынында, белгілі бір теореманы дәлелдегенде бұрыннан мәлім теоремаларға және басқа математикалық сөйлемдерге сүйенеді. Ал геометриялық салуларды орындағанда қарапайым салуларды негізге алады. Модельдеу әдісі есеп шығарғанда жиі қолданылады. Берілген есепті модельдеуге әр алуан формулалар, таблицалар, диаграммалар, схемалар, теңдеулер мен теңсіздіктер және олардың жүйелері пайдаланылады. Мәселен, мәселе есептің мазмұны бойынша құрылған теңдеу оның аналитикалық моделі, сызба геометриялық моделі, сызба геометриялық моделі болып табылады. Мысал. Математикалық олимпиадада 6 есеп берілді. Шығарылған әрбір есеп үшін 10 ұпай қосылып, шығарылмаған есеп үшін 3 ұпай шегеріледі. Олимпиаданың келесі турына кемінде 30 ұпай алған оқушылар шықты. Келесі турға шығу үшін қанша есеп шығару керек? Бұл есептің аналитикалық моделі: ( ) 10 3 6 30 6 x x x − − ≥ ≤ теңсіздіктер жүйесі. Тағы бір мысал. 4 2 y x x = − функциясының геометриялық моделі — парабола. |