Математикалық логиканың негізін қалаған ағылшын математигі Джордж Буль (1815 – 1864ж). Ол алғашқы рет жиындар теориясының логикалық анықтамасын берген.
Математикалық логика дегеніміз – математикалық әдістерді қолданып, ой түйіндеу логикасы.
Пікір дегеніміз – оқиғаның ақиқат немесе жалған екендігін айтатын кез келген ұйғарым.
Логикалық айнымалылар
Пікірді белгілеу үшін логикалықайнымалы қолданылады
Тек екі тұрақты: 1 – ақиқат немесе 0 – жалған белгіленулерімен анықталатынх шамасын логикалық айнымалы деп атайды.
мұндағы Х U – U әмбебап жиыны.
Логикалық амалдар
Қарапайым логикалық амалдар.
Логикалық теріске шығару «емес» ( ).
Логикалық қосу «немесе» ( , |, +, )
Логикалық көбейту «және» ( , &, *, ).
Белгіленуі:
Алгебралық
Теориялы-көпше
Бағдарламалық
Логикалық
Логикалық теріске шығару
Логикалық теріске шығару (инверсия) деп нәтижесі бастапқы пікірге «қарама-қайшы» пікірді айтады.
Логикада А пікірін “екі рет терістеу” А пікірін береді.
х
х
0
1
1
0
х
х
инвертор
Логикалық қосу(дизъюнкция)
Х ақиқаттық жиынындағы х және У ақиқаттық жиынындағы у пікірлердің бірігуі Z=ХY ақиқаттық жиынындағы ху пікірі болады.
х
y
ху
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
х
y
х у
дизъюнктор
Логикалық көбейту(конъюнкция)
х
y
ху
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Х ақиқаттық жиынындағы х және У ақиқаттық жиынындағы у пікірлердің қиылысуы Z=ХY ақиқат жиынындағы ху пікіріболады.
&
х
y
ху
конъюнктор
Шеффер функциясы Шеффер функциясы – кері көбейтуді жүзеге асырады. Белгілену: x1x2 = x1 /\ x2
Ақиқаттық кестесі
Графикалық белгіленуі
х
y
&
Пирс функциясы Пирс функциясы логикалық кері қосуды жүзеге асырады. Белгілену: x1 x2 = x1 x2
Ақиқаттық кестесі
Графикалық белгіленуі
х
y
1
Ақиқаттық кестесі
x
y
x y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Графикалық белгіленуі
x y
x
y
=1
Бульдік Алгебра
В ={0,1} жиыны және онымен жасалатын барлық логикалық амалдармен құрылған алгебраны логика алгебрасы немесе Бульдік алгебра деп атайды.
А = < B, { , , } >
Логикалық амалдар
ды орындау тәртібі
Логикалық амалдарды орындау келесі кестеде көрсетілген приоритетпен (басымдылықпен) орындалады. Бір басылымдықтағы операциялар солдан оңға қарай орындалады. Жақша ішіндегі амал бірінші орындалады.
Басымдылығы
Логикалық амалдар
1
2
3
4
Инверсия
Конъюкция
Дизъюнция
mod 2 бойынша қосу
Логикалық функция
Логикалық функция – бұл x1,x2,…,xn логикалық айнымалылар жиынтағында 0 және 1 мәндерін қабылдайтын f(x1,x2,…,xn) функциясы
Берілу тәсілдері
Логикалық алгебра өрнегі
f(x1, x2, x3) = x1 + x2 *x3
Ақиқаттық кестесі
Логикалық схемасы
х1
х2
х3
f(x1, x2, x3)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
&
х1
х2
x1 + x2 *x3
х3
х3
|
1. Ауыстырымдылық заңы. Коммутативтілік (лат. – ауыстыру).
X1 \/ X2 = X2 \/ X1 X1 /\ X2 = X2/\ X1
2. Қосылу заңы. Ассоциативтілік (лат. – біріктіру ).
