-ДӘРІС. Дербес туындылы математикалық физиканың теңдеулеріне сандық әдістер

1. 
   Бір өлшемді параболалық теңдеулер.
   
2. 
   Жылу өткізгіштік теңдеуі үшін аралас Коши есебіне сәйкес келетін айқындалмаған айырымдық есептер.
   
3. 
   Тор және торда аппроксимациялау.
   
4. 
   Айырымдық есептің орнықтылығын зерттеу әдістері, айнымалыны бөлектеу, спектр, энергетика теңсіздігі және максимум принциптерін пайдалану.
   

Жалпы түрде сызықты емес дербес туындылы дифференциалдық теңдеу

түрінде жазылады.

(1)-теңдеуді теңбе – теңдікке айналдыратын функциясын оның шешімі деп атайды.

Сызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеу

түрінде жазылады. Бұл теңдеудің коэффициенттері де х,у айнымалыларынан тәуелді. Егер олар х,у-тен тәуелсіз болса, онда теңдеу тұрақты коэффициентті деп аталады.

(2)-теңдеудің дискриминанты: формуласымен табылады.

D>0 болса, (2)-теңдеу эллиптикалық типті теңдеу,

D=0 болса, (2)-теңдеу параболалық типті теңдеу,

D<0 болса, (2)-теңдеу гиперболалық типті теңдеу, егер D таңбасы тұрақты таңба сақтамаса онда аралас типті теңдеу деп аталады.

(3)

(3)-теңдеу (2)-теңдеудің характеристикалық теңдеуі деп аталады.

Жалпы жағдайда (1)-(2)-теңдеулердің шешімі шексіз көп болады. Сондықтан мұндай теңдеулерді шешу үшін оларға қосымша бастапқы және шекаралық шарттар беріледі.

Егер бір айнымалы уақыттан тәуелді болса, оған қатысты шарт бастапқы шарт деп аталады. Келесі айнымалы кеңістіктегі кординаттар болып, тұрақтандырылған белгілі бір нүктелердегі мәндерді көрсетсе, оған қатысты шарт шекаралық шарт деп аталады.

Егер теңдеу тек қана кеңістіктік координаттардан тәуелді болса, яғни уақытқа байланыссыз өзгеретін процесстерді сипаттаса, онда стационар дифференциалдық теңдеу деп аталады. Оған Гельмгольц теңдеуі, Пуассон теңдеуі үшін Дирихле есебі жатады. Ал теңдеу уақыт айнымалысынан тәуелді болып, қандай да бір процестің уақыт өзгеруіне байланысты мәндерін анықтауға қатысты болса, онда стационар емес теңдеу деп аталады. Оған Толқын теңдеуі, жылуөткізгіштік теңдеуі жатады.

Мұндай теңдеулерді шешу үшін практикада тор әдісі көп қолданылады. Тор әдісі 3 этаптан тұрады:

1. 
   Тор құру
   
2. 
   Айырымдық схема құру
   
3. 
   Айырымдық схеманың орнықтылығы мен жинақтылығын зерттеу
   

Дифференциалдық операторды дискретті нүктелердегі функция мәндері арқылы өрнектелген өздерінің жуық мәндерімен алмастыру арқылы шешуді тор әдісі дейді.

Жылуөткізгіштік теңдеуін қарастырайық. Біртекті жұқа, бірлік өлшемді серіппеде жылудың таралуын уақытқа байланысты анықтау керек болсын.

Мұндағы - тұрақты, жылуөткізгіштік коэффициенті, - температура, - жылу көзінің таралу функциясы, t – уақыт. (2)-шарт – бастапқы уақыт моментінде серіппедегі температураның таралуы. (3)-шарт – уақытқа байланысты серіппенің екі ұшындағы температураның өзгеру заңдылығы. Кез келген уақыт моментінде (t>0) серіппедегі температураның таралуын табу керек.

2. Айырымдық схема құрамыз: Үзіліссіз және функцияларының орнына торлық функция қарастырамыз. Құрылған тордың түйіндерінде анықталған функцияны торлық функция дейміз.

деуге болады. Дәл сол сияқты:

(4)-(7) қатынастарын (1)-ге қойсақ, айырымдық теңдеу аламыз

47

Бастапқы шекаралық шарттар келесі түрде жазылады:

Сонымен берілген (1)-(3)- дифференциалдық есепті (8)-(10) торлық-айырымдық немесе шектік-айырымдық есепке келтірдік. (8)-(10)- есепті практикада шектік-айырымдық схема деп атайды.

Бұл есепті шешу үшін (8)-теңдеуден белгілі уақыт қабатынан келесі уақыт қабатына өткен уақыттағы температураның таралуын анықтайтын формуланы шығарамыз:

(11)

(9)-(10)-шарттарды ескерсек (11)-схемадан кез келген уақыт моментінде температураның стержень бойымен таралуын анықтауға болады.