Әдістемелік жинақ
жүктеу/скачать 2,2 Mb.
|
сандық әдіс әдістемелік кешен
- Бұл бет үшін навигация:
- Ньютон әдісі
| Хорда әдісі
Бұл әдіс кесіндіні қаққа бөлу әдісіне қарағанда шешімге тез жинақталады. Алгоритмі: хn , xn+1 аралығында f (x) және f (xn+1) функцияларының таңбасы бір біріне қарама-қарсы және түбірі бар болсын. Осы екі шеткі нүктеден хорда жүргізіп, хорданың х осімен қиылысқан нүктесін мына формуламен анықтаймыз. (2.4) х* нүктесіндегі функция мәнін F(x*)-ны есептеу. Оның таңбасын екі шеткі нүктедегі функцияның таңбасымен салыстырылады. Егер f (xn) және f(x*) функциясының таңбасы бірдей болса, онда хорданы xn+1 және x* нүктесі арқылы жүргізіледі. Оның мәнін (2.4) формуламен табады. Егер f(xn+1) мен f(x*) функцияның таңбалары бірдей болса, онда хорданы xn және x* нүктесі арқылы жүргізіледі. Шыққан нүктенің мәні (2.4) формуламен есептелінеді. x* нүктедегі мәнін есептеп, мәні нөлге жуық болса , онда x* нүктесі (2.1) теңдеудің түбірі деп аталады. Егер нөлге жуық болмаса, онда процесс жалғасады. Алдындағы мысал үшін программасы келесідей болады: 69
Алдыңғы әдістерге қарағанда бастапқы жуықтау дұрыс таңдалынып алынса Ньютон әдісі тез жинақталады. Бұл әдіске қатысты теореманы келтіре кетейік: Теорема 1.3.: f(x) функциясы [a,b] аралығында анықталған және екі ретті туындысы бар, осы аралықта түбір жатыр f(a)*f(b)<0, туындылардың таңбалары осы аралықта тұрақты болса f(x)*f'(x)>0, онда f(x0)*f''(x0)>0 теңсіздігін қанағаттандыратын бастапқы жуықтаудан бастап (2.1)-ші теңдеуді қанағаттандыратын [a,b]-да жататын жалғыз шешімге жинақталатын итерациялық тізбек құруға болады. Ньютон әдісінің геометриялық мағынасы: координаталары (xn;f(xn)) , болатын нүктеден қисыққа жанама жүргізсек, оның ох өсімен қиылысу нүктесі теңдеудің түбіріне хn+1 – кезекті жуықтау болып табылады. Түбірге n-ші жуықтаудың қателігін бағалау үшін келесі теңсіздіктің орындалуын қадағалау керек:. Мұндағы М2 – функцияның екінші ретті туындысының аралықтағы максимумы, m1- минимумы. Егер, болса, онда болады, яғни түбірге дұрыс жуықталынса, әр итерациядан кейін кезекті жуықтаудың ондық таңба саны екіге артады да процесс тез жинақталады. Егер түбірді берілген е дәлдікпен табу керек болса, итерациялық процесті шарты орындалғанша жалғастырамыз. Бұл біртіндеп жуықтау әдісі деп аталады. Әдістің жинақталу жылдамдығы х0 бастапқы нүктені дұрыс таңдауға байланысты. Егер итерация процесінде функцияның туындысы нөлге тең болса, қисыққа жүргізілген жанама осіне параллель болса, онда бұл әдісті қолдану қиындайды. Сол сияқты функцияның екінші ретті туындысының мәні шексіз үлкен болса және функцияның өзі бірінші ретті туындысы нөлге тең болса, онда шыққан түбірлер еселі болып, жинақталмауы мүмкін. Бұл әдісті қолдану үшін функциясы үзіліссіз және дифференциалданған болуы керек. бастапқы жуықтауды таңдалынған уақытта құрылатын тізбек монотонды кемімелі болуы керек.
Алгоритмі: Қисықтың бойынан қандайда бір нүктесін таңдап, осы нүкте арқылы қисыққа жанама жүргізіледі. Жанама осін қиған кезде табылған нүктенің мәні мына формуламен есептелінеді. , (2.5) Табылған нүктедегі функцияның мәні нөлге өте жуық болса, онда сол нүкте (2.1) теңдеудің түбірі, болмаса процесс жалғасады. Егер түбірлер еселі болса, ол еселікті деп белгілейік. . , (2.6) 70
жүктеу/скачать 2,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|