§1 Классикалық теориялық физика
Бөлшектің еркін қозғалысы
жүктеу/скачать 1,76 Mb.
|
Кванттық механика (лекция)
| Бөлшектің еркін қозғалысы. Енді бөлшектің еркін қозғалысын қарастыралық. Бұл жағдайда бөлшекке сырттан ешқандай потенциалдық өріс әсер етпейді. Классикалық физикада мұндай бөлшектің бірқалыпты, әрі түзу сызықты қозғалатындығы белгілі. Сәйкес кванттық есепті шешу үшін Шредингер теңдеуін жазып, оның шешімін қарастыру керек. Бөлшектің еркін қозғалысы жөніндегі есеп стационар күйдегі потенциалдық энергия нөлге тең болған дербес жағдайға сәйкес келеді. Бұл кезде жүйенің гамильтонианы бөлшектің кинетикалық энергиясы арқылы мына түрде анықталады:
Онда еркін қозғалыс үшін Шредингер теңдеуі былай жазылады: Ерекше бір ескеретін нәрсе, бұл жағдайда импульс проекциясы операторы жүйенің (4.20) гамильтонианымен коммутацияланады. Яғни еркін қозғалыс жағдайында жүйенің энергиясымен қатар, оның импульсы да нақтылы мәндерге ие болады. Онда біз іздестіріп отырған еркін қозғалыстың толқындық функциясы осы екі оператордың ортақ меншікті функциясы болуы тиіс. Яғни, ол төмендегідей екі теңдеулер жүйесін қарастырады: Мұндағы екінші теңдеу оңай интегралданады, оның шешімі мынадай: Бұл функция болған жағдайда бірінші теңдеуді де қанағаттандырады. Сонымен, (4.23) өрнегі (4.22) теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін береді. Ал гамильтонианның меншікті мәндері сәйкес (4.24) өрнегімен анықталады. Энергия мен импульстің арасында бірмәнді тәуелділіктің болуымен байланысты толқындық функцияның (4.23) өрнегінде Е индексін көрсетпесе де болады. Стационарлық күйдің толқындық функциясының уақытқа тәуелділігін ескере отырып, еркін қозғалыстың толқындық функциясын мына түрде жазады: Импульстің кез келген заттық мәнінде бұл шешім мағынасын жоғалтпайды, сондықтан оған ешқандай қосымша шарттар қойылмайды ла, нәтижесінде еркін қозғалыс энергиясының спектрі үздіксіз болады. Бөлшектердің толқындық және корпускулалық қасиеттерін байланыстыратын де Бройльдың (1.8) қатынастарын ескере отырып, жоғарыдағы толқындық функцияны мына түрде жазуға болады: Бұл жазық толқынның теңдеуі. Яғни кванттық механикада бөлшектің еркін қозғалысы жазық толқынмен сипатталады екен. Кез келген үздіксіз спектрлі функция тәрізді, еркін қозғалыстың толқындық функциясы да Дирактың дельта-функциясына нормаланған: Бұл шарт орындалу үшін (4.26) өрнегінде болуы керек. Онда еркін қозғалатын бөлшектің нормаланған толқындық функциясының ақырғы өрнегі мынадай: §17 Квантомеханикалық шамалардың уақыт бойынша өзгеруі Стационар күйлерде физикалық шамалардың орташа мәндері өзгермей тұрақты болып қалатыны белгілі. Ал, жалпы жағдайда, бұл шамалар өзгереді, яғни ол уақыттың мынадай функциясы: Бірақ бұл функцияның уакыт бойынша туындысын анықтау оңай мәселе емес. Бұл жерде туындының әдеттегі анықтамасының мағынасы жоқ. Себебі F шамасы t уақыт мезетінде нақтылы мәнге ие болғанымен, келесі t + ∆t уақыт мезетінде кванттық механикадағы анықталмағандық принципіні салдарынан, жалпылай айтқанда, анықталмайды. Осымен байланысты берілген F физикалық шамасының уақыт бойынша туындысының анықтамасы ретінде мынадай тұжырым алынады: физикалық шамалардың орташа мәнінің уақыт бойынша туындысы осы шаманың операторының туындысының орташа мәніне тең, яғни (4.28) Ал орташа мәннің уақыт бойынша туындысы мынадай: Бұл жердегі және шамаларын Шредингердің (4.1) тендеуінен және оған комплексті-түйіндес - теңдеуінен анықтауға болады. Осы шамаларды жоғарыдағы өрнекке койып мынаны аламыз: Бұдан әрі (4.28) өрнегін ескере отырып (4.29) екенін аламыз. Осы (4.29) өрнегі кванттық механикадағы операторлардың уақыт бойынша туындысын анықтайды. Енді операторы уақытқа айқын тәуелді болмасын, яғни делік. Мұндай шартты осы кезге дейін қарастырған көптеген операторлар, мысалы, координат, импульс, импульс моменті т.б. операторлар қанағаттандырады. Онда, (4.29) өрнегінен көрініп тұрғандай,егер шарты орындалса физикалық шаманың орташа мәнінің уақыт бойынша өзгерісі нөлге тең болады. Яғни операторы уақытқа айқын тәуелді болмаса және Гамильтон операторымен коммутацияланса, онда бұл операторға сәйкес келетін F физикалық шамасының орташа мәні уақытқа байланысты өзгермейді. Кванттық механикада осылайша өзгермей сақталатын шамаларды қозғалыс интегралдары деп атайды. Енді кванттық механикада еркін қозғалыс кезінде қандай физикалық шамалардың қозғалыс интегралы болатынын анықталық. Бұл жағдайда жүйенің Гамильтон операторы мынадай: . Онда , ал, бірак [ ] ≠ 0. Ягни координат қозғалыс интегралы емес, ал энергия мен импульс классикалық механикадағы тәрізді бұл жерде де сақталады. Енді d /dt- жылдамдық операторын табалық.Ол үшін алдымен Гамильтон операторы үшін мына коммутаторды есептелік: Бұдан әрі координаттың уақытқа тікелей тәуелді емес екенін отырып, (4.30) өрнегін аламыз. Тура осы жолмен жоғарыдағы гамильтониан үшін шамасын да есептеп табуға болады. Ол мынаған тең: (4.31) Бұл (4.30) және (4.31) өрнектері операторлар үшін алынды. Сонымен қатар (4.28) өрнегін ескере отырып, бұл теңдіктерді сәйкес физикалық шамалардың орташа мәндері үшін мына түрде жазуға болады: (4.32) Яғни кванттық механикада физикалық шамалардың орташа мәндері үшін де классикалық механикадағыдай қатынастар орынды болады екен. Бұл өрнек Эренфест теоремасы деп аталады. Бұл теорема кванттық және классикалық механиканың арасындагы байланыстың сырын ашуға септігін тигізеді. §18 Кванттық механиканың қарапайым есептері. Тікбұрышты, бірелшемді потенциалдық шұңқыр Шредингер тендеуінің көмегімен кванттық механиканың кейбір қаранайым есептерін шығарудың мысалдарын қарастыралық. Бұл арада әзірше бірөлшемді қозғалыс жағдайымен шектелеміз. Әрине,нақтылы кванттық құбылыстарды қарастырған кезде бірөлшемді қозгалыс жағдайы жузегк аспайды. Дегенмен де, осылай істеуіміздің басты себебі, - бір жағынан, бірөлшемді қозғалыс кезінде бәрібір үшөлшемді қозғалыстың негізгі ерекшеліктері дурыс көрініс табады, екіншіден, мұндай есептердің шешімін табу математикалық турғыдан жеңіл. Жоғарыдағы (4.1) өрнегімен анықталатын Шредингер теңдеуінің уақытқа тәуелді жалпы шешімі сәйкес стационарлық теңдеудің шешімін еxp (-iEt/h) функциясына көбейту арқылы алынатыны белгілі. Сондықтан, алдымен Шредингердің стационар күйге арналған теңдеуін жазалық: (4.33) Бірөлшемді қозғалыс жағдайында жүйенің Гамильтон операторы мынаған тең: (4.34) Бұл жердегі негізгі мәселе - әр турлі V(х) потенциалдық өрісі үшін осы (4.33) теңдеуінің шешімін табу және жүйенің энергиясының мүмкін болатын мәндерін анықтау. Бірөлшемді қозғалыстың жоғарыдағы (4.34) гамильтонианың (4.33) теңдеуіне апарып қойсақ, Шредингердің стационар теңдеуі мына түрде жазылады: (4.35) Бұл теңдеуді мынадай қосымша шарттар орындалған кезде шешеміз: * х осінің барлық нүктелерінде толқындық функция бірмәнді және үздіксіз, егер қандай да бір нүктеде потенциалдық энергия шексіздікке айналса, онда бұл нүктеде толқындық функция нөлге тең болуы шарт; * потенциалдық энергия шексіздікке тең болмайтын нүктелердің брінде толқындық функцияның туындысы х-тің үздіксіз функциясы болуы тиіс; * толқындық функция шектелген функция болуы шарт. Шредингер теңдеуінің шешімі болып табылатын толқындық функцияның шексіздіктегі сипатына (шекаралық шартқа) байланысты жоғарыдағы (4.33) теңдеунің барлық шешімдерін мынадай екі топқа бөледі: 1) бөлшектің шексіздікте болуының ықтималдылығы өте аз болатын (нөлге тең деседе болғандай ) шешім . Бұл меншікті мәндердің спектрі дискретті болатын финитті ( шектелмеген) қозғалыс жағдайы; 2)Бөлшектің шексіздікте болуының ықтималдылығы шекті, нөлден ерекше болатын шешім . Бұл инфинитті ( шектелмеген) қозғалыс жағдайына сәйкес келеді. Бұл кезде энергия операторының меншікті мәндерінің спектрі үздіксіз болады. Енді Шредингердің стационар теңдеуін нақтылы өрістерде шешудің мысалдарын қарастыралық.Алдымен потенциалдық өріс ретінде симметриялы, тікбұрышты, бірөлшемді, шексіз терең потенциалдық шұңқырды алалық. Потенциалдық шұңқыр деп оның ішіндегі бөлшектердің потенциалдық энергиясы сыртындағы бөлшектердің энергиясымен салыстырғанда аз болатын кеңістіктің шектелген аймағын айтады. Мұндай шұңқыр бөлшектердің өзара әсерлесуінің қарапайым моделі болып табылады. Біздің жағдайымызда (4.1 суретті қараңыз) потенциалдық энергия мынандай шарттармен анықталсын: -а < х < а болғанда V(x) = 0, ал х -а. және х ≥ а болганда V(х) = .Потенциалдық шұңқыр eкi параметрмен сипатталады. Олар- энергия бірлігімен өлшенетін шұңқырдың тереңдігі (біздің Жағдайда, шұңқырдың тереңдігі шексіз) және ұзындық бірлігімен өлшенетін шұңқырдың ені (ол біздің жағдайымызда, 2а-га тең). Шұңқыр ішіндегі, яғни а < х <а болатый белшектің қозғалысы үшін Шредингер теңдеуі мына түрде жазылады: (4.36) Бұл теңдеуді төмендегідей шекаралық шарт орындалған кезде шешеді: (4.37) Бұдан әрі теңдеуде 2mЕ/ = ≥ 0 деген белгілеу енгізе отырып, оның шешімін мына түрде жазуға болады: (4.38) Мұндағы А және В - қандай да бір тұракты шамалар. Бұл шешімнен жоғарыдағы (4.37) шекаралық шартын талап ете отырып, мынадай теңдіктерді алады: 0 0 Бұдан әрі бұл теңдеулерді бір-біріне мүшелеп қосып және бір-бірінен энергиясы сате мүшелеп алып тастай отырып мынадай теңдеулер жуйесіне келеміз : (4.39) Бұл теңдеулер жуйесі А = 0 және В = 0 болғанда, қанағаттанады. Бірақ мұндай шешімнің физикалық мағынасы жоқ. Себебі бұл жағдайда толқындық функция кеңістіктің барлық нүктесінде нөлге тең болып кетеді де, кванттық күй атымен болмайды. Сондықтан бұл шешімдер ескерілмейді. Екінші жағынан, аргументтің бірдей мәнінде sinka жане coska функциялары ешкашанда бірмезгілде нөлге теңелмейді.Сондықтан бұл (4.39) теңдеулер жүйесінің шешімдерін мынадай екі топка бөліп қарастыру қажет: (4.40) (4.41) Бұл екі жағдайда да теңдіктер орындалуы ушін: (4.42) болуы шарт. Мұндағы n - бүтін сан, оның қандай жұптылыққа ие болғанына байланысты не (4.40), не болмаса(4.41) теңдеулерінің шешімін аламыз. Егер n - тақ сан болса, шешім мына түрде жазылады: ал n - жұп сан болса, онда Жоғарыдағы к толқындық санының анықтамасын және (4.42 ) өрнегін ескере отырып қарастырып отырған потенциялдық шұңқырдағы энергиялық деңгейлерді мына түрде табамыз : (4.45) Мұндағы п = 1,2,3..., ал п = 0 жағдайықарастырылмайды, себебі ол физикалық мағынасы жоқ шешімге алып келеді.Сонымен қатар n-нің теріс мәндерін де ескеріп қажеті жоқ. Себебі олар үшін алған шешім n-нің оң мәндері үшін алған шешіммен сызықтық түрде байланысқан. А және В турақтыларының мәндерін нормалау шартынан анықтайды.Сонымен, біз n кванттық санының оң және бүтін мәндеріне сәйкес келетін энергияның дискретті деңгейлерінің шексіз жүйесін алдық. Энергиялық деңгейдің әрбір мәніне тек бір ғана меншікті функция сәйкес келеді. Яғни спектр бұл жағдайда айнымаған. Ең аз энергияға сәйкес келетін күй жүйенің негізгі күйі деп аталады. Біздің мысалымызда негізгі күйге n = 1 болатын жағдай сәйкес келеді. 4.2-суретте алғашқы үш күйге сәйкес келетін меншікті функциялар көрсетілген. Потенциалдық шұңқырдың ішіндегі толқындық функцияның нөлге тең болатын нүктелерін оның түйіндері немесе толқындық функцияның нөлі деп атайды. Тікбұрышты шұңқыр үшін толқындық функцияның нөлінің саны (n-1)-ге тең екені 4.2-суреттен көрініп тұр. Негізгі күйдің толқындық функциясының түйіні болмайды. Сонымен қатар тікбұрышты потенциалдық шұңқырдың энергиялық спектірінің мынадай ерекшелігін атап өткен жөн: n-нің мәні артқан сайын деңгейлердің бір-бірінен ара қашықтығы да артады. Бул кезге дейін идеалды жуйеге сәйкес қойылаты шексіз терең шуңқырды қарастырдық.Енді нақтылы жағдайға жақынырақ, тереңдігі шектелен тікбұрышты потенциалдық шұңқырды қарастыралық. Бұл шұңқыр үшін, 4.3-суреттен көрініп тұргандай, x≤ 0 болганда V (x)= , ал 0 < х < а болганда V (x) = 0, егер x ≥ а болса, онда V (x) = болсын. Шұңқырдың бірінші аймағы үшін Шредингер теңдеуі мына түрде жазылады: (4.46) Мұндағы, , ал аймағына бөлшек өте алмайды. Ал екінші аймақ үшін бөлшектің толық энергиясы мен потенциалдық шұңқырдың тереңдігінің мәндеріне байланысты бір-бірінен ерекшеленетін екі жағдай болуы мүмкін.Оның бірі- E< ал екіншісі- E> болғандағы жағдай. Алдымен E< жағдайын қарастыралық. Онда осы екінші аймақ үшін Шредингер теңдеуі мына түрде жазылады: Мұндағы . Жоғарыдағы (4.46) теңдеуінің жалпы шешімі мына түрде жазылады: Толқындық функцияның =0 болғандағы шекаралық шартынан =0 екендігі шығады. Ал (4.47) теңдеуінің жалпы шешімі мынадай: Бұл жерде шексіздікке ұмтылған кезде, толқындық функция шектелген шама болып қалуы үшін =0 шарты орындалуы қажет. Сонымен (4.46) және (4.47) теңдеулерінің шешімдері мына түрде жазылады: Енді толқындық функцияның және оның бірінші туындысының x=a нүктесіндегі үздіксіздік шартын пайдаланамыз. Ол мынадай: . Бұл шартты әдетте бірінші және екінші аймақтардағы шешімдері бір-біріне жымдастыру шарты деп атайды. Бұл шарт мынадай теңдіктерді береді: Бұл жердегі екінші теңдеуді бірінші теңдеуге мүшелеп бөле отырып, мынаны аламыз: Бұл трансценденттік теңдеу. Оның шешімдері элементар функциялар арқылы өрнектелмейді. Сондықтан оны әдетте не графиктік, не электрондық есептеу мәшинелерінің көмегімен сандық әдіспен шешеді. Графиктік әдіспен шешу үшін оны алдымен мына түрде жазады: Мұндағы және шамалары бір-бірімен былай байланысқан. Бұл өрнекті оның (4.53)-дегі орнына қойып және деп белгілей отырып, теңдігін аламыз. Бұл теңдеудің шешімі осы теңдікиің екі жағында тұрған функциялардың графиктерінің бір-бірімен қиылысу нүктелері арқылы анықталады (4.4-суретті қараңыз). Шешім (4.52) теңдеуіндегі котангенстің теріс таңбасына сәйкес келетін жұп ширектерде болады. Қиылысу нүктелерінің жиыны сәйкес энергияның мынадай квантталған мәндерін анықтауға мүмкіндік береді: Сонымен, қарастырылып отырған тікбұрышты потенциалдық шұңқырдағы бөлшек энерниясының спектрі дискретті мәндер қабылдайды екен. Ал бұл мәндерге сәйкес келетін толқындық функцияларды жүйенің байланысқан күйлері деп атайды. Бұл жерде мынадай маңызды мәселені атап өткен жөн. Классикалық механикада энергиясы E< болатын бөлшек, энергияның сақталу заңына сәйкес, x>a аймағына ешқашан өте алмайды. Ал кванттық механикада жағдай басқаша. Осы x>a аймағындағы толқындық функция мынаған тең: . Яғни бұл аймақтағы функция x артқан кезде өте тез кемігенмен, бәрібір нөлге тең емес. Сондықтан шексіздікке ұмтылған кезде шамасы нөлден өзгеше болғандықтан, энергиясы E< бөлшектің классикалық механикада өтуге болмайтын аймаққа өтуінің қандай да бір ықтималдылығы бар. Бұл таза кванттық құбылыс. Анықталмағандық принципі салдарынан бұл жерде энергияның сақталу заңының бұзылуы жөніндегі мәселе туындамайды. Жоғарыда қарастырылған есептен потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің энергиясы қалай квантталатынын көрдік. Жүйенің толқындық функциясы және тұрақтылары арқылы өрнектеледі. Ал оларды табу үшін мынадай үш шарт бар: толқындық функция және оның бірінші туындысының үздіксіздік шарты және, сонымен қатар, толқындық функцияны нормалай шарты: Қойылатын шарттардың саны белгісіздердің санынан көп. Осыған байланысты толқындық санға немесе онымен пара-пар толық энергияның мәніне шектеулер қойылады. Ал бұл шектеулер энернияның квантталуына алып келеді. Енді бөлшек энергиясы потенциалдық шұңқырдың тереңдігінен артық болатын Е> жағдайын қарастыралық. Бұл кезде бірінші аймақтағы шешім бұған дейінгі қарастырған E< жағдайындағы шешім тәрізді болып қалады, яғни . Ал екінші аймақтағы шешім мына түрде жазылады: мұндағы . Ал осы (4.57) өрнегінен х шексіздікке ұмтылған кезде толқындық функцияның шекті шама болып қалатындығы және жоғарыдағы E< жағдайынан өзгешілігі сол- бұл кезде толқындық функцияның түрі екі тұрақтымен анықталатындыңы көрініп тұр. Мұның өзі энергияға қосымша шарт қоймай-ақ шешімдерді жиымдастыруға болатындығын көрсетеді. Шешім Е-нің кез келген мәнінде мүмкін болғандықтан, энергия квантталмайды, яғни жүйе энергиясының спектрі үздіксіз болады. Осы параграфта қарастырған мәселелер жөнінде мынадай қорытындылар жасауға болады: E< болған жағдайда жүйенің энергия спектрі дискретті, ал толқындық функциясы шұңқырдың сыртында экспонента бойынша тез кемиді, яғни қозғалыс финитті; E> болған жағдайда жүйенің энергия спектрі үздіксіз, ал толқындық функциясы шексіздікте нөлден ерекше, яғни қозғалыс шектелмеген, инифинитті; кванттық механикада бөлшек классикалық физика тұрғысынан өтуге болмайтын аймаққа да өте алады; n кванттық саны мен толқындық функцияның осцилляциясының (тербеле отырып, таңбасын өзгертуінің) арасында байланыс бар. Мәселен, тікбұрышты потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің толқындық функциясы түйіндерінің (нөлдерінің) саны n-1-ге тең. Ал негізгі күйдің толқындық функциясының түйіні болмайды; n кванттық саны артқан кезде ықтималдылықтың үлестірілуі классикалық жағдайға жуықтайды. Себебі n кванттық санының аса үлкен мәнінде толқындық функция аса тез осцилляцияланып, функциясының максимумдары бір-біріне жақындайды да, ықтималдылықтың үлестірілуі жуық шамамен бірдей бола бастайды. Сонымен n-нің аса үлкен мәндерінде кванттық және классикалық физиканың қорытындылары бір-бірімен тоғысады. Бұл кванттық механикадағы сәйкесиік принципінің көрініc табуы; мынадай теорема орынды: бірөлшемді есепте дискретті спектр күйі айнымаған. Бұл теореманы дәлелдеу үшін керісінше, қандай да бір деңгей екі ретті айныған деп ұйғаралық. Онда мынадай теңдеулер орынды болады: Бұл теңдеулердің біріншісін сол жағынан , ал екіншісін функцияларына көбейтін, онан соң біріншісінен екіншісін мүшелеп алып тастай отырып, мынаны аламыз: Бұл өрнекті интегралдай отырып, мынаны аламыз: Дискретті спектр үшін болғандықтан, бұл жердегі тұрақты сан нөлге тең, онда Ал бұл теңдеудің шешімі . Яғни толқындық функциялар бір-бірімен тең, олай болса, айну жоқ. Теорема дәледенді. жүктеу/скачать 1,76 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|