§3.6. Бернулли формуласы.
Анықтама. Егер сынаулардың әрқайсысы А оқиғасы бірдей ықтималдықпен, яғни Р(А)=Р пайда болып, ықтималдығы бұл оқиғаның басқа сынауларда пайда болмауы тәуелсіз болса, онда сынаулар тәуелсіз деп аталады. Айталық, тәуелсіз сынаулар жүргізілсін. Мысалы тиынды n рет лақтырайық. Егер тиынды бір рет лақтырғандағы «ет» пайда болуын , А оқиғасы деп алсақ, онда оның пайда болу ықтималдығы басқа сынауларда, яғни тиынның басқа лақтырғанда «ет» пайда болу және болмауына тәуелсіз. Қобдишада 4 ақ , 5 қара щар бар.Қобдишадан тәуекелге шарлардың біреуін аламыз. Алынған шарды қайтадан қобдишаға қайта салайық. Ақ шардың щығу ықтималдығы Р(А) . Бұл ықтималдық басқа сынаулардағы ақ шардың шығу, шықпауына тәуелсіз болды. Ал А оқиғасына кері оқиғасының ықтиммалдығы .
Егер , онда болатыны түсінікті.
Тәуелсіз n-сынау жүргізілсін делік. Бір рет жүргізілген сынау кезінде, яғни n=1, А оқиғасы Р ықтималдықпен пайда болуы да мұмкін немесе пайда болмауы да мүмкін. Демек, А оқиғасына кері оқиғасы пайда болуы да мүмкін.
Бұл қағида Р(А)=q, p+q=1, q=1-p екені түсінікті. Егер екі рет (n=2) сынау өткізілсе, онда сыйыспайтын тәуелсіз оқиғаларының біреуі пайда болуы мүмкін. Ықтималдықтарды қосу және көбейту формулалары бойынша
N тәуелсіз сынақ жүргізілген кезіндегі A оқиғасының m рет пайда болу ықтималдығын Рm,n деп белгілейміз, n=2 болған жағдайда болатынын байқаймыз. болғандықтан, екеніне көз жеткіземіз. Сонымен. Енді n=3 яғни 3 рет сынақ жүргізілсін делік. Бұл жағдайда, өзара сыйыспайтын, тәуелсіз
оқиғаларының біреуі пайда болуы мүмкін, ықтималдықтарды қосу жыне көбейту теоремалары бойынша болатынын табамыз.
Ал және болғандықтан.
Егер n рет тәуелсіз сынаулар жүргізілгенде, олардың әр қайсысында А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты және р-ға , ал бұл оқиғаның пайла болмауының ықтималдығы q=1-p тең болса, онда жүргізілген n сынауларда А оқиғасы m рет пайда болуының ықтималдығы
Pn(m)=
Формуласымен анықталады.
Шындығында, егер А оқиғасы n сынаулары кезінде m пайда болып, / n - m / рет пайда болмаса, онда тәуелсіз оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту формуласы бойынша оқиғасының ықтималдығы тең болады.
Қорытып алынған формуланы Бернулли формуласы леп аталады.
Ньютон биномы бойынша
n-рет жүргізілген сынау кезінде А оқиғасының ең болмағанда бір рет пайда болуын белгілесек, онда
P(B)=Pn(1)+…+Pn(n) екені түсінікті. Бұл жағдайда P(B)=1-Pn(0)
Немесе
P(B)=1- (8,3)
1-мысал. Бір тәулікте пайдаланылатын электр энергиясының мөлшері белгіленген нормадан аспауының ықтималдығы р=0,75 . жақындағы 6 тәуліктің 4 тәулігінде пайдаланылған электр энергиясының мөлшері нормадан аспауының ықтималдығын табу керек.
Шешуі: есептің шарты бойынша:
Р=0.75; q=1-0.75=0.25; n=4; m=4
Сондықтан
2-мысал. Нысанаға 6 рет оқ атылды. Олардың әрқайсысының нысанаға тиюінің тұрақты және ол 0,4- ке тең . осы шарттардан пайдалана отырып, нысанаға 1) бір рет; 2) 4-тен кем емес; 3) ең болмағанда бір рет оқтың тиюінің ықтималдығын табу керек.
Шешуі: 1) бернулли формуласы бойынша
2) нысанаға 4 тең кем емес оқтың тиюін С оқиғасы деп белгілейміз, сонда оқ 4,5 немесе 6 рет тиюі мүмкін.
Сондықтан
3) Нысанаға оқтың ең болмағанда «бір рет» тиюін В оқиғасы деп белгілейміз.
Сондықтан
Жалпы жағдайда Бернулли формуласын пайдаланып мына оқиғалардың ықтималдығын анақтауға болады:
§2.7.Тапсырмалар:
1.Тәуелсіз n сынақта оқиға тұрақты ықтималдықпен пайда болады.
1.n= 1500 болғанда салыстырмалы жиіліктің p=0,4 ықтималдықтан ауытқуының абсолют шамасы 0,02-ден кем болатындығының мықтималдығыг табу керек.
2. n=1500 және p=0,4 болғанда оқиғаның пайда болуының саны мына аралықтарда жататындағының ықтималдығын табу керек.
a)570-тен 630-ға дейін;
б)600-ден 660-қа дейін;
с)620-дан 380-ге дейін;
г)580-нен 640-қа дейін;
3. n=1200, p=2/3 болғанда салыстырмалы жиіліктің ықтималдықтан (p=2/3) ауытқуының абсолют шамасының ықтималдығы 0,985-ке тең ьолуы үшін салыстырмалы жиілік қандай аралықта жатуы керек?
Достарыңызбен бөлісу: |