Дипломная работа
Распространение тепла в пространстве
жүктеу/скачать 152,04 Kb.
|
| Распространение тепла в пространстве.
Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном пространстве. Пусть u(x, y, z, t) – температура в точке с координатами (x, y, z) с момент времени t. Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла через площадку ∆s, т. е. количество тепла, протекающего за единицу времени, определяется формулой (аналогично формуле (126)) где k – коэффициент теплопроводности рассматриваемой среды, которую мы считаем однородной и изотропной, n – единичный вектор, направленный по нормали к площадке ∆s в направлении движения тепла. Таким образом, можем записать: где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы вектора n, или Подставляя выражение в формулу (135), получаем: ∆Q = -k n grad u ∆s. Количество тепла, протекающего за время ∆t через площадку ∆s, будет равно: ∆Q∆t = -k n grad u ∆t ∆s. Вернемся к поставленной задаче. В рассматриваемой среде выделим малый объем V, ограниченный поверхностью S. Количество тепла, протекающего через поверхность S, будет равно: где n – единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S. Очевидно, что формула (136) дает количество тепла, поступающего в объем V (или уходящего из объема V) за время ∆t. Количество тепла, поступившего в объем V, идет на повышение температуры вещества этого объема. Рассмотрим элементарный объем ∆υ. Пусть за время ∆t его температура поднялась на ∆u. Очевидно, что количество тепла, затраченное на это повышение температуры элемента ∆υ, будет равно где с – теплоемкость вещества, ρ – плотность. Общее количество тепла, затраченное на повышение температуры в объеме V за время ∆t, будет Но это есть тепло, поступающее в объем V за время ∆t; оно определено формулой (136) . Таким образом, имеет место равенство Сокращая на ∆t, получаем: Поверхностный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, преобразуем по формуле Остроградского (в векторной форме, где F – дивергенция векторного поля, σ – замкнутая поверхность) полагая F = k grad u: Заменяя двойной интеграл, стоящий в левой части равенства (137), тройным интегралом, получим: Применив теорему о среднем к тройному интегралу, стоящего слева, получим : где P(x, y, z) – некоторая точка объема V. Так как мы можем выделить произвольный объем V в трехмерном пространстве, где происходит распространение тепла, и так как мы предполагаем, что подынтегральная функция в равенстве (138) непрерывна, то равенство (139) будет выполняться в каждой точке пространства. Итак, Но Подставляя в уравнение (140), получаем: Если k – постоянное, то и уравнение (140) в этом случае дает: или, положив Коротко уравнение (142) записывается так: где ∆u – оператор Лапласа. Уравнение (142) и есть уравнение теплопроводности в пространстве. Для того чтобы найти единственное решение, отвечающее поставленной задаче, нужно задать краевые условия. Пусть имеем тело Ω, поверхность которого σ. В этом теле рассматривается процесс распространения тепла. В начальный момент температура тела задана. Это соответствует тому, что известно значение решения при t = 0 – начальное условие: u(x, y, z, 0) = φ (x, y, z). (143) Кроме того, должна быть известна температура в любой точке М поверхности σ тела в любой момент времени t – граничное условие: u (М, t) = ψ (М, t). (144) (Возможны и другие граничные условия.) Если искомая функция u (x, y, z, t) не зависит от z, что соответствует тому, что температура не зависит от z, то получаем уравнение: уравнение распространения тепла на плоскости. Если рассматривается распространения тепла в плоской области D с границей С, то граничные условия, аналогично (143) и (144), формулируются так: u (x, y, 0) = φ (x, y), u(М, t) = ψ (М, t), где φ и ψ – заданные функции, М – точка границы С. Если же функция u не зависит ни от z, ни от y, то получаем уравнение - уравнение распространения тепла в стержне. 2π, ƒ(x), φ, φ(x) ,[-π, π], (λ, λ +2π), ψ(x), ·, ℓ, l, < x ≤, | x |,α, β,[a, b], σ, u (x, t), М1М2 ,φ +, ∆φ ,≈, ρ, ∆, ∂, ≡, ι, ί, υ, ′, ≠, κ, k, s, u(x, y, z, t), Ωσ жүктеу/скачать 152,04 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|