§ 89. Изображение в линзе точек, лежащих на главной оп-

244

Гл. X. Применение отражения и преломления света

Обозначим через a



расстояние от оптического центра линзы до

точки S



, в которой преломленный луч пересекает главную ось.

Как и в предыдущем параграфе, проведем через точки M

и M



плоскости, касательные к преломляющим поверхностям

линзы. Эти плоскости образуют тонкую призму BAB



с прелом-

ляющим углом θ. Вместо того чтобы рассматривать преломление

луча SM M



S



в линзе, будем рассматривать преломление того

же луча в тонкой призме BAB



.

Выбранный нами луч после преломления отклонится от пер-

воначального направления на угол α, который по формуле тонкой

призмы равен

α = (n

− 1)θ,

(89.1)

где n — показатель преломления вещества, из которого сделана

линза.

Рис. 197. Преломление в линзе луча

SM

, выходящего из точки

S

на

оси. Угол

BAB



и толщина линзы сильно преувеличены

Рассмотрим также луч P M , идущий параллельно главной

оси и падающий на линзу в точке M . Преломление такого луча

уже рассмотрено в § 88 (условие малости h здесь соблюдено).

Мы знаем, что после преломления в линзе этот луч выйдет из

точки M



под углом ϕ к оси и пройдет через главный фокус

F



на расстоянии f



от оптического центра. Точки M



и M



очень близки друг к другу, так что призмы, образованные ка-

сательными в точке M и точках M



или M



, практически не

различаются и имеют один и тот же преломляющий угол θ.

Угол α



, на который отклонится этот луч от первоначального

направления после преломления в тонкой призме, равен опять

Гл. X. Применение отражения и преломления света

245

(n − 1)θ, т. е. равен углу α. С другой стороны, этот угол α



равен,

очевидно, углу ϕ (рис. 197). Таким образом, получаем

α



= α = ϕ.

(89.2)

Но угол α как внешний угол в треугольнике SN S



равен сумме

γ + γ



. Итак, имеем

γ + γ



= ϕ.

(89.3)

Лучи SM , M



S



и M



F



идут под небольшими углами к оси,

т. е. углы γ, γ



и ϕ малы. Заменяя, как и в предыдущем парагра-

фе, синусы малых углов самими углами и пренебрегая толщиной

линзы и разницей в высоте точек M , M



и M



над осью, можно

приближенно написать:

γ

≈ sin γ =

h

a

,

γ



≈ sin γ



=

h

a



,

ϕ

≈ sin ϕ =

h

f



.

(89.4)

Подставляя эти приближенные равенства в формулу (89.3), на-

ходим

h

a

+

h

a



=

h

f



,

(89.5)

или, сокращая на общий множитель h,

1

a

+

1

a



=

1

f



.

(89.6)

В правой части полученного выражения стоит величина 1/f



, ко-

торая, как мы видели в предыдущем параграфе, зависит т о л ь-

к о о т с в о й с т в л и н з ы — от показателя преломления ве-

щества, из которого сделана линза, и от радиусов кривизны ее

преломляющих поверхностей.

То обстоятельство, что в формулу (89.6) не входит величина

h, позволяет сделать очень в а ж н ы е в ы в о д ы, а именно, что

не только луч SM , но и всякий другой луч, выходящий из точки

S, пройдет после преломления в линзе через одну и ту же точку

S



, хотя каждый из этих лучей падает на линзу на р а з н о й

высоте над осью. Единственное, но весьма существенное огра-

ничение, которое мы накладываем на рассматриваемые л у ч и,

состоит в том, что все о н и с о с т а в л я ю т с о с ь ю л и н з ы

м а л ы е у г л ы.

Таким образом, все лучи узкого пучка, выходящие из точ-

ки S, соберутся после преломления в линзе снова в одной точке

S



, являющейся изображением точки S. Мы доказали, следова-

тельно, что образующееся в тонкой линзе изображение точеч-

ного источника, лежащего на главной оси линзы, полученное

с помощью достаточно узкого пучка лучей, является точкой.

246

Гл. X. Применение отражения и преломления света

Изображения, при получении которых выполнено условие

передачи к а ж д о й т о ч к и объекта о д н о й т о ч к о й изоб-

ражения, носят название стигматических. Изображения, у ко-

торых это условие не соблюдено, носят название астигматиче-

ских

1

).

Отметим, что в силу закона обратимости световых лучей

(§ 82) положения источника света S и его изображения S



о б-

р а т и м ы, т. е., поместив источник в S



, мы получим его изоб-

ражение в точке S. Точки S и S



называются сопряженными.

В геометрической оптике особое значение имеет задача по-

лучения стигматических изображений. Степень стигматичности

изображений определяет качество служащих для их получения

оптических систем. Нарушение оптической системой стигматич-

ности падающих на нее световых пучков ведет к расплывча-

тости изображения. В дальнейшем при изучении простейших

оптических систем мы будем уделять большое внимание вопросу

о стигматичности даваемых ими изображений.

Полученная нами формула (89.6) связывает между собой

расстояния от оптического центра трех точек, находящихся на

главной оси линзы: источника S, его изображения S



и фоку-

са F



. Это — основная формула тонкой линзы.

жүктеу/скачать 6,71 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: