Коммерциялық емес акционерлік қоғам
-Дәріс. Лаплас түрлендіруі және оның қасиеттері
жүктеу/скачать 1,79 Mb. Pdf көрінісі
|
| 14-Дәріс. Лаплас түрлендіруі және оның қасиеттері
Дәріс мақсаты: операциялық есептеу әдістері арқылы есептерді шығаруда Лаплас түрлендірулерін және олардың қасиеттерін қарастыру.
жағдайларда дифференциалдық және интегралдық теңдеулерді қарапайым алгебралық теңдеулерге келтіруге мүмкіндік беретін математикалық талдау әдістерінің бірі. Операциялық есептеу әдістері есептерді шығаруда келесі схема бойынша ұсынады: 1. Ізделінді функциялардан олардың бейнелерін табуды мақсат етеді. 2. Бейнелерге тиісті амалдар қолданылады. 3. Бейнелер арқылы алынған нәтижелерде берілген функцияларға қайта оралады. Функциядан оның бейнелеріне өтуге мүмкіндік беретін Лаплас түрлендіруін қолданамыз. Операциялық есептеулердің негізгі
тұжырымдамаларына функция - түпнұсқа және функция - бейне ұғымдары жатады.
Айталық функциясы нақты t айнымалының нақты функциясы болсын (t деп уақытты немесе координатаны түсінеміз). функциясы түпнұсқа деп аталады, егер келесі шарттарды қанағаттандырса 1.
2.
үшін функциясы үзіліссіз немесе бірінші текті үзіліс нүктелері бар, сонымен қатар өсінің ақырлы аралығында мұндай нүктелер саны да ақырлы. 3. және
сандары табылады да барлық үшін келесі теңсіздік орындалады: . (14.1)
функциясы түпнұсқа болады, себебі бұл функция үзіліссіз және үшін
56 ,
мұнда
функциясы түпнұсқа емес, себебі М мен қандай мәндер қабылдаса да барлық t үшін теңсіздігі орындалмайды. Анықтама. функциясының Лаплас бойынша бейнесі деп:
комплекс айнымалы функция аталады, мұндағы , .
немесе
.
функциясын -ның Лаплас түрлендіруі немесе бейнесі деп атайды.
Теорема. Айталық (14.1)-ші теңсіздікті қанағаттандыратын түпнұсқа болсын, онда оның бейнесі жартылай жазықтықта аналитикалық функция болады. Мысал-3. (14.2) формуланы қолданып функцияның бейнесін табыңыз. Шешуі.
. функциясы үшін параметр болады, сондықтан
функциясы жартылай жазықтықта аналитикалық функция ( –
ерекше нүкте). Теорема (бірегейлік теоремасы). Егер екі және
үзіліссіз түпнұсқалардың бейнесі болса, онда:
. Лаплас түрлендіруінің қасиеттері: 1. Айталық – түпнұсқа болсын және
онда:
57 2. Сызықтылық қасиеті. Айталық және – түпнұсқалар, А және В – тұрақтылар және болсын, онда
.
3. Бейненің ығысуы қасиеті. Айталық – түпнұсқа, – тұрақты сан және болсын, онда:
4. Бейнені дифференциалдау қасиеті. Айталық – түпнұсқа, ал
– оның бейнесі болсын, онда: .
Салдар. – түпнұсқа, ал – оның бейнесі болса, онда:
Анықтама. және
түпнұсқалардың үйірткісі деп келесі
үшін келесі формуланы аламыз:
. Теорема. Айталық және
түпнұсқалар, ал және
олардың бейнелері болсын, онда:
.
5. Дюамель
формуласы. Айталық
және
дифференциалданатың түпнұсқалар болсын, онда:
. 58 6.
Түпнұсқаны дифференциалдау қасиеті. Айталық
дифференциалданатың түпнұсқа, оның бейнесі, түпнұсқа болсын, онда:
Салдар. Айталық
және
оның туындылары түпнұсқалар болсын, онда:
Түпнұсқалар кестесі: 1)
, 7)
, 2)
, 8)
, 3)
, 9)
, 4)
, 10)
, 5)
, 11)
, 6)
, 12)
табыңыз:
Шешімі. 1) берілген функцияның бейнесін табу үшін кестедегі екінші формуланы қолданамыз: .
2) берілген функцияның бейнесін табу үшін кестедегі төртінші формуланы қолданамыз: .
бірінші формулаларды қолданамыз:
. 59 4) берілген функцияның бейнесін табу үшін кестедегі он бірінші формуланы қолданамыз:
. жүктеу/скачать 1,79 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|