Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Сызықты нормаланған X кеңістігіне анықгалған X -ті Ү -ке бей
- нүктесі X жиынының кез келген элементі болсын жэне хп х, п — >
- 2-теорема.
| jc
- jc 0 \\х < S болғанда \ \ А х - А х 0 \\у<£ теңсіздігін қанағаттандырса, онда А операторы х0 е D{A) нүктесінде үзіліссіз деп айтады. 1-теорем а. Сызықты нормаланған X кеңістігіне анықгалған X -ті Ү -ке бей- нелейтін жэне х0 е Х нүктесінде үзіліссіз А операторы бүкіл X кеңіс-тігінде үзіліссіз болады. Д әл ел д еуі. х нүктесі X жиынының кез келген элементі болсын жэне хп х, п — > оо шарты орындалсын. Ол кезде х„ - х + х0 -> х0, и - > с о . Ал А опера торы х0 нүктесінде үзіліссіз болғандықтан 21 ІітЛ(хп - х + х0) = Ах0. Екінші жағынан, А операторының сызықтық болуына байланысты А(х - х + х п)=Ах - А х + Ах0. Сондықтан £іт(Ахп - Ах + Ах„)= Ах„, бұл өрнектен £іт Ах„ = Ах тендігі шығады. Демек, А операторы Vx е X нүктесінде үзіліссіз. « —>QO X -ті Ү -ке бейнелейтін сызықтық А операторы бүкіл X -те анықталып, V xg A" үшін М > 0 саны табылып, || Ах\\ү< М || х\\х теңсіздігі орындалса, онда А - ны шенелген оператор деп атайды. Сызықтық операторлар арасында олардың шенелгендігі мен үзіліссіздігі тығыз байланыста екенін мына түжырым көрсетеді. 2-теорема. Сызықтық А операторы үзіліссіз болуы үшін оның шенелген болуы қажетті де жеткілікті. Дәлелдеуі. Л-шенелген оператор жоне х„ - » х 0, /?->оо болсын. Сонда, егер п —> оо жағдайда || Ахп - Ах0 1|=|| А(х„ - х 0) ||< М || х„ - х 0 1|—> 0 демек, А үзіліссіз оператор. Енді А - үзіліссіз деп үйғарайық. Сонда |х |< ^ = > || Ах\\<£ . Егер Б - М К х И десек, онда || Ах\\< М || х ||, яғни А -шенелген оператор. М 0 = sup У Дх|| IW lsi өрнегімен аныкталған М {) саны А операторының нормасы деп аталады да ||Л || символымен белгіленеді. Сызықтық операторларга амалдар қолдану. Сызықтық нормаланған X -ті Ү -ке бейнелейтін А,В,С,... сызықтық операторларын қарастырайық. Егер Vx g X элементі үшін А мен В сызықтык операторлары Ах = Вх тең- дігін қанағаттандырса, онда А мен В операторлары бір-біріне тең деп атайды да А = В деп белгілейді. (А + В)х - Ах + В х У х е X тендігін қанағаттандыратын А + В операторын А мен В операторларының қосындысы деп атайды. Сызықтық А операторының скаляр Л санына көбейтіндісі деп (ЛА)х = А ( А х ) , Vx g X өрнекті қанагаттандыратын ЛА сызықтық операторын айтады. X кеңістігінің барлық нүктелері үшін Ox - Ө өрнегін қанағттандыратын сызықтық операторды нөлдік оператор деп атап, оны О символымен белгілейді. Әрбір сызықтық А операторы үшін орқашан оған теріс оператор деп аталатын - А операторы бар болады, ол - А - (-І)Л өрнегімен аныкталады. Мына тұжырымның дүрыстығына оңай коз жеткізуге болады. X -ті Ү -ке бейнелейтін операторлар жиыны L ( X, Ү) жоғарыдағы операторларды қосу, скаляр санға көбейту, нөлдік оператор жэне теріс оператор үғымдарымен сызық- тық кеңістік түзеді. Оның үстіне бүл жиын сызықтық нормаланған кеңістік жоне ол толық болады. Ц Х , Ү ) жиындағы сызықтық А мен В операторларының көбейтіндісі деп АВх = А(Вх), V xe X өрнегін қанағаттандыратын АВ операторын айтады. Жалпы жағдайда А В ^ ВА. 22 |