Практикалық бөлімі Ықтималдықтар теориясына есептер шығару Кездейсоқ оқиғалар Бірінші мысал

(a+b)¹=a+b

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a+b)³=a³+3a²b++3ab²+b³

(a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b4

(a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

(a+b)⁶=a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶

(a+b)⁷=a⁷+7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷

Бұл екімүшеліктерді дәрежелеу амалының нәтижесінде шыққан коэффициенттер Паскаль үшбұрышын құрайды:

Б.Паскаль (1623-1662)-француз.

Паскаль үшбұрышы бойынша

(a+b)¹¹=a¹¹+11a¹⁰b+55a⁹b²+165a⁸b³+330a⁷b⁴+462a⁵b⁶+330a⁴b⁷+

+165a³b⁸+55a²b⁹+11ab¹⁰+b¹¹,

Паскаль үшбұрышы негізінде мына тендіктер орынды:

Мына рекуренттік формула көптеген есептерді шығаруға пайдалы:

Кездейсок шамалар x,y,арқылы белгіленеді де оның мәндерін x₁,x₂,…,x_n; y₁,y₂…y_n арқылы белгілейді. Кездейсоқ шамалардың қабылдайтын мәндеріне қарап,оларды екі топқа бөледі:

Дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалар (дискретті-үзікті)

x кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері ақырлы бүтін сандар немесе тізбек түрінде жазылса, онда ондай кездейсоқ шаманы дискретті деп атайды(үзікті шама).

Егер x кездейсоқ шамалы шекті немесе шексіз интервалдың барлық мәндерін қабылдайтын болса, оны үздіксіз кездейсоқ шама деп атайды.

Мысалдар

1) ойын сүйегін лақтырғанда түсетін ұпайлар саны дискретті кездейсоқ шама. Оны x арқылы белгілесек қабылдайтын мәндері 1,2,3,4,5,6 болады;

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

X кездейсоқ шамасының х_1,х₂,…х_n мүмкін мәндерінің әйтеуір бірін қабылдайтындығынан х₁,х₂,…х_n бірікпейтін толық топ құрады.

Анықтама

Егер Х кездейсоқ шамалы 0,1,2…,n мәндерін қабылдау ықтималдығы

Өздеріңізге таныс Бернулли формуласы.

Анықтама. Егер х кездейсоқ шамасы 0,1,2,…,n мәндерін қабылдаса n мейлінше үлкен болғанда, p тым аз болғанда p_n(x=k)

Ықтималдығын жұықтап есептеуге мына формуланы қолданады

қосындысын айтады да M(x) арқылы белгінеледі. Егер i=1,2,…,n,… болса онда дискретті кездейсоқ шаманың математиқалық үміті

Мысал. Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың математиқалық үмітін табу. Анықтама бойынша

Кездейсоқ шаманың математиқалық үмітінің жуық мәні оның мәндерінің арифметиқалық ортасына тең болады,яғни

Математика үмітті механика тілінде үлестірімнің орталы(центр распределения) дейді, яғни ауырлық нүктесі.

Сөз соңында айтарымыз.

Пуассон Симон Дени (1781-1840) француз-математик; физик және механик.

Математиқалық үміттің қасиеттері:

1. Тұрақты шаманың математиқалық үміті сол шаманың өзіне тең.

M(C)=C, C=const.

Кездейсок шама тек қана С мәнін қабылдайды да оның ықтималдығы бірге тең болады.

2. Тұрақты көбейткішті математиқалық үміт таңбаcының алдына шығаруға болады2

3. Екі кездейсоқ шамалардың қосындысының (айырымының) математикалық үміті сол шамалардың математикалық үміттерінің қосындысына (айырымына) тең, яғни

1. Екі кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса олардың көбейтіндісінің математикалык үміті көбейткіштердің математикалық үміттерінің көбейтіндісінде тең:

M(xy)=M(x/M/y)

Үшінші,төртінші қасиеттері n кездейсоқ шамалар үшін жалпылауға болады.

Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын Д(Х) таңбасымен белгілейді.

Математикалық үміттің қасиеттерін пайдаланып (1) формуланы түрлендірейік:

осыдан дисперсияны есептеуге қолайлы формула шығады

3. 
   формула былай оқылады
   

Дисперсия дегеніміз кездейсоқ шаманың математикалық үмітіне қарағандағы таралымы (шашырауы), бытырауы.

Механикалық ұғымда дисперсия кездейсоқ шаманың инерциялық моменті (массаның таралымының) егер математикалық үмітті массаның центрі деп алсақ.

Дисперсия кездейсоқ шаманың квадратымен өлшемдес. Таралымның кездейсоқ шамамен өлшемдес болу үшін жаңа ұғым кездейсоқ шаманың орташа квадрат ауыткуы енгізіледі. Ол

Орташа квадрат ауыткуды стандарт немесе стандарт ауытку деп атайды.

ол орташа квадрат ауыткудың математикалық үмітке қатынасы.

Енді дисперсияның қасиеттерін қарастырайық

1. 
   Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең
   

Расында, егер С=const болса онда (2) формула бойынша

2. 
   Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады.
   

3. 
   Егер x пен y кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса онда
   

Дәлелдеу: (2) формулаға математикалық үміттің қасиеттерін қолданып кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігін ескерсек.

Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың айырымының дисперсиясы сол шамалардың дисперсиясының қосындысына тең.

Үлкен сандар заңдары

Кездейсоқ факторлардың бірігіп әсер етуінің нәтижесінде кездейсоқ емес құбылыстардың пайда болатындығы әртүрлі салаларда кездеседі. Мұндай заңдылықтар, атап айтқанда қажеттіліктің кездейсоқтық арқылы келуі ықтималдықтар теориясына тән.

Тәжірибені шексіз көп жүргізгенде оқиғаның пайда болу жиілігі оның ықтималдығынан тым аз айырмашылықта болатындығын бұрын да атап өткенбіз.

Міне, бұл үлкен сандар заңының бір көрінісі. Үлкен сандар заңы деп кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасына тұжырымдалатын теоремаларды айтамыз

1867 жылы П.Л. Чебышевтың дәлелдеген теоремасы үлкен сандар заңдарының ішіндегі ең жалпы түрі болды және оның жасап кеткен әдісі мұндай заңдарды әрі қарай дамытуға жол ашты.

П.Л. Чебышев теңсіздігі.