Прикладная математика численные методы


Схема Гаусса с выбором главного элемента



бет12/34
Дата06.03.2023
өлшемі1,04 Mb.
#71977
түріУчебное пособие
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   34
Байланысты:
Кацман Ю.А. - Прикладная математика. Численные методы (2000) (1) (1)

3.3. Схема Гаусса с выбором главного элемента


Рассмотрим СЛАУ




(3.17)

Запишем расширенную прямоугольную матрицу коэффициентов системы (3.17):




. (3.18)

Среди элементов матрицы aij (i,j = 1, ...n) выберем наибольший по модулю, называемый главным элементом. Пусть им будет, например, элемент apq. Строка, содержащая главный элемент, называется главной строкой.


Далее вычисляем множители mi = aiq / apq для всех ip.Затем преобразуем матрицу (3.18) следующим образом: из каждой i-ой неглавной строки вычитаем почленно главную строку, умноженную на mi. В результате получим матрицу, у которой все элементы q-го столбца за исключением apq, равны 0. Отбрасывая этот столбец и главную строку, получим новую матрицу M1 с числом строк и столбцов на 1 меньше.
Над матрицей М1 повторяем те же операции, после чего получим матрицу M2 и т.д. Таким образом продолжаем до тех пор, пока не получим матрицу, содержащую одну строку из двух элементов, которую тоже считаем главной.
Затем объединим все главные строки, начиная с последней. После некоторой перестановки они образуют треугольную матрицу, эквивалентную исходной. На этом заканчивается этап вычислений, называемый прямым ходом. Решив систему с полученной треугольной матрицей коэффициентов, найдём последовательно значения неизвестных xi (i = 1, 2, ..., n). На этом заканчивается обратный ход.
Смысл выбора главного элемента состоит в том, чтобы сделать возможно меньшими числа mi и тем самым уменьшить погрешность вычислений.


Пример 3.4. Рассмотрим СЛАУ, состоящую из трех уравнений. Запишем расширенную матрицу



m2 = -1/6; m3 = -2/3.





m2 = -5/16.

M2 = [ 87/96 174/32].




x3 = 6; x1 = 3; x2 = -2.




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   34




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет