Прикладная математика численные методы



бет15/34
Дата06.03.2023
өлшемі1,04 Mb.
#71977
түріУчебное пособие
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   34
Байланысты:
Кацман Ю.А. - Прикладная математика. Численные методы (2000) (1) (1)

3.7. Метод Зейделя


Этот метод представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1)-е приближения (x1 x2, ..., xi-1).


Пусть дана приведенная линейная система:


(i = 1, 2, …n). (3.35)
Выберем произвольно начальные приближения корней , стараясь, конечно, чтобы они в какой-то мере соответствовали неизвестным x1, x2, x3, ..., xn.
Предположим, что k-е приближение корней известно, тогда в соответствии с идеей метода будем строить (k+1) – е приближение по следующим формулам:
(3.36)
(k = 0, 1, 2,...).

Обычно процесс Зейделя сходится быстрее, чем метод Якоби. Бывает, что процесс Зейделя сходится, когда простая итерация расходится и, т.п. Правда, бывает и наоборот. Во всяком случае, достаточные условия сходимости для метода Якоби достаточны и для сходимости метода Зейделя. Если выполняется достаточное условие сходимости для системы (3.35) – по строкам, то в методе Зейделя выгодно расположить уравнения (3.36) так, чтобы первое уравнение системы имело наименьшую сумму модулей коэффициентов:


. (3.37)


Пример 3.6.

Для того чтобы обеспечить достаточные условия сходимости итерационного процесса (преобладающие значения диагональных элементов), преобразуем исходную систему и приведем к удобному виду. Чтобы дальнейшие преобразования были понятны, обозначим уравнения исходной системы буквами А, Б, В и Г соответственно:




х1= -0.2х2 +0.1х3 – 0.2х4 – 0.4; (Г)
х2 = -0.2х1 – 0.2х3 + 0.2; (А – Б)
х3 = 0.2х1 – 0.4х2 + 0.2х4 – 0.4; (Б)
х4 = 0.333х1 - 1.111. (2А – Б + 2В – Г)

Преобразованную систему будем решать методом Зейделя, тогда, с учетом требования (3.37), окончательно получим:








В качестве нулевого приближения (k = 0) возьмем . Зададим количество итераций k = 2 и все результаты вычислений сведем в табл. 3.1.


Таблица 3.1



Итерация, k

Значения неизвестных

Невязки

x1

x2

x3

x4

ε1

ε2

ε3

ε4

0

-0.4

0.2

-0.4

-1.111

-2.711

-1.911

0.444

-1.422

1

-0.263

0.36

-0.846

-1.244

-0.309

1.0

0.734

0.446

2

-0.329

0.422

-0.874

-1.199

0.095

-0.000

0.009

0.029

В приведенной таблице кроме значений неизвестных на каждом шаге оценивались невязки. Вспомним, что корнями уравнения называются такие значения неизвестных, которые превращают его в тождество. Так как мы используем итерационный (приближенный) метод, значения неизвестных вычисляем приближенно (три, четыре знака после десятичной точки), то, подставляя значения неизвестных в исходную систему, справа получим не ноль, а некоторые значения, называемые невязкой первого, второго, … уравнений на k –ом шаге.


Анализ данных, приведенных в табл. 3.1, показывает, что итерационный процесс быстро сходится, о чем свидетельствуют как быстрое уменьшение невязок, так и уменьшение изменений неизвестных (см. формулу (3.31) метода Якоби).


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   34




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет