Прикладная математика численные методы



бет19/34
Дата06.03.2023
өлшемі1,04 Mb.
#71977
түріУчебное пособие
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   ...   34
Байланысты:
Кацман Ю.А. - Прикладная математика. Численные методы (2000) (1) (1)

4.4. Метод хорд


Пусть дано уравнение




f(x) = 0, (4.4)

где функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, b] и выполняется соотношение f(a)·f(b) < 0.


Пусть для определенности f(a) < 0, f(b) > 0. Тогда вместо того, чтобы делить отрезок [a, b] пополам, более естественно разделить его в отношении
- f(a):f(b). При этом новое значение корня определяется из соотношения


x1 = a + h1, (4.5)
где
. (4.6)

Далее этот прием применяем к одному из отрезков [a, x1] или [x1, b], на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Аналогично находим второе приближение x2 и т.д. (см. рис. 4.2.).


Геометрически этот способ эквивалентен замене кривой y = f(x) хордой, проходящей через точки А(a, f(a)) и B(b, f(b)).


Рис. 4.2. Уточнение корня уравнения методом хорд
Действительно, уравнение хорды АВ имеет вид


(4.7)

Учитывая, что при х = х1 => y = 0, получим


(4.8)

Полагая, что на отрезке [a, b] вторая производная f''(x) сохраняет постоянный знак, метод хорд сводится к двум различным вариантам:



  1. Из рис. 4.2,a видно, что неподвижна точка а, а точка b приближается к ξ, то есть

(4.9)

Преобразовав выражение (4.9), окончательно получим




(4.10)



  1. Из рис. 4.2,b видно, что точка b остается неподвижной, а точка а приближается к ξ, тогда вычислительная формула примет вид



(4.11)

Таким образом, для вычисления корня уравнения имеем две различные вычислительные формулы (4.10) и (4.11).


Какую точку брать за неподвижную?
Рекомендуется в качестве неподвижной выбирать ту точку, в которой выполняется соотношение


f(x)·f”(x) > 0. (4.12)


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   ...   34




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет