Прикладная математика численные методы


Основные свойства матрицы Грама



бет33/34
Дата06.03.2023
өлшемі1,04 Mb.
#71977
түріУчебное пособие
1   ...   26   27   28   29   30   31   32   33   34
Байланысты:
Кацман Ю.А. - Прикладная математика. Численные методы (2000) (1) (1)

Основные свойства матрицы Грама



  1. Матрица симметрична относительно главной диагонали, то есть
    .

  2. Матрица является положительно определенной. Следовательно, при решении методом Гаусса можно воспользоваться схемой единственного деления.

  3. Определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции ; в этом случае система (7.18) имеет единственное решение.

В качестве базисных можно выбрать линейно независимые степенные функции


(7.23)

Следует учесть, что n << k. Тогда для этих функций расширенная матрица Грама примет вид




(7.24)
Если выбрать n = k, то на основании единственности интерполяционного полинома получим функцию , совпадающую с каноническим интерполяционным полиномом степени k. При этом аппроксимирующая кривая пройдет через все экспериментальные точки, и функция S будет равна нулю.


Пример 7.2. Исходная функция y = f(x) задана в виде табл. 7.2:

Таблица 7.2



x

10

15

17

20

y

3

7

11

17

Аппроксимируем экспериментальные данные линейной либо квадратичной функцией. Методом наименьших квадратов необходимо уточнить коэффициенты аппроксимирующего полинома.




Решение
1. При линейной аппроксимации исходную зависимость представим в виде , где . Методом наименьших квадратов определим a0 и a1. Расширенная матрица Грама в нашем случае имеет вид


 ; а1 = 1.3774; а0 =-11.8491.

Таким образом, аппроксимирующая функция равна





Оценим погрешность формулы, и результаты этой оценки сведем в табл. 7.3:


Таблица 7.3





Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   26   27   28   29   30   31   32   33   34




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет