Прикладная математика численные методы

Для нашей линейной функции S₁ = 6.4528.

2. Решим ту же задачу, аппроксимировав эмпирические данные полиномом второй степени: .

Все результаты сведены в табл. 7.4.

1. 
   Аппроксимировав эмпирические результаты более простой функцией (линейной), мы получили погрешность в различных узловых точках, лежащую в пределах от 5 до 35 %.
   
2. 
   Более сложная формула квадратичной интерполяции обеспечивает погрешность не более 5 %.
   
3. 
   Косвенную оценку погрешности можно провести, сравнив значения S₁ и S₂.
   
4. 
   Матрица Грама для полинома второй, третьей степени имеет простой вид и может быть решена, например, методом Гаусса.
   

• 
  В чем заключается задача интерполирования и аппроксимации?
  
• 
  Запишите интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона.
  
• 
  Какие требования предъявляются а) к интерполяционным полиномам;
  б) к аппроксимационным полиномам?
  
• 
  Что такое разделенные разности?
  
• 
  В каких случаях применяются формулы Ньютона для интерполирования
  а) вперед, б) назад?
  
• 
  Что можно сказать о сходимости интерполяционных полиномов?
  
• 
  Что такое обратное интерполирование, при каких условиях оно возможно (корректно)?
  
• 
  В чем заключается идея метода наименьших квадратов?
  
• 
  Что такое матрица Грама, каковы ее свойства?
  
• 
  Что такое базисные функции? Можно ли в качестве базисных функций выбрать а) линейно независимые функции; б) линейно зависимые функции?
  

Литература

1. 
   Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970. – 664 с.
   
2. 
   Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 1972. – 308 с.
   
3. 
   Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1989. – 432 с.
   
4. 
   Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. – Томск: МП "РАСКО", 1991. – 272 с.
   
5. 
   Практикум по численным методам. / Л.Я. Егорова, Л.Л. Левин, Б.Г. Ослин и др. - Томск: Изд. ТГУ, 1979. – 212 с.
   
6. 
   Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P., Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing. 2-nd ed. - Copyright © Cambridge University Press, 1992, - 966p.
   

Учебное пособие

Научный редактор

Редактор О. М. Васильева