Процессы управления и устойчивость

Бурова И.Г., Тимофеев В.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Об эрмитовых аппроксимациях с заданным

свойством точности

Здесь предложены аппроксимации, обладающие свойством точ-

ности на степенях достаточно произвольной функции ϕ с носителя-

ми, занимающими заданное связное множество сеточных интерва-

лов.

На интервале (a, b) рассмотрим сетку {x

j

}, . . . < x

j−1

< x

j

<

x

j+1

< . . . . Функцию u ∈ C

m+1

(a, b) будем приближать функциями

u(t) вида

u(t) =

j

s

α=0

u

(α)

(x

j

)ω

j,α

(t),

(1)

где s — неотрицательное число, а ω

def

=

{ω

j,α

| j ∈ Z, α = 0, . . . , s} —

семейство функций с компактным носителем на (a, b). Предположим,

что кратность семейства ω конечна: æ

(t)

(a,b)

(ω) < +∞.

Нетрудно видеть, что аппроксимация (1) точна на функциях

ϕ

α

(t) = ϕ

α

(t), α = 0, . . . , m тогда и только тогда, когда

j

s

α =0

ϕ

α−α

(x

j

)

(α − α )!

ω

j,α

(t) =

ϕ

α

(t)

α!

,

α = 0, . . . , m;

здесь считаем, что g

γ

/γ! = 0 при γ < 0, и x

γ

/γ! = 1 при γ = 0.

Предполагаем, что вронскиан системы функций ϕ

α

(t) = ϕ

α

(t),

α = 0, . . . , m, отличен от нуля на промежутке [a, b].

Предположим, что неотрицательные числа r и r

1

таковы, что r +

r

1

= M , (s + 1)M = m + 1, supp ω

j,α

= [x

j−r

.x

j+r

1

], α = 0, . . . , s.

Тогда, при t ∈ (x

k

, x

k+1

) получаем

k+r

j=k−r

1

+1

s

k,j

α=0

(ϕ

β

(x

j

))

(α)

ω

j,α

(t) = ϕ

β

(t), 0 ≤ β ≤ m,

(2)

здесь (ϕ

β

(x

j

))

(α)

означает производную порядка α от функции ϕ

β

(t)

в точке x

j

.

119

Матрица системы уравнений (2) состоит из прямоугольных бло-

ков (X

j

, X

(1)

j

, . . . , X

(s)

j

),

j = 1, . . . , M , здесь и далее через X бу-

дем обозначать вектор-столбец (1, ϕ(t), . . . , ϕ

m

(t)), а X

(i)

j

— вектор-

столбец, составленный из i-x производных компонент вектора X ,

причем символ j означает, что вектор-функции от t вычислены в

точке t = x

j

.

Итак, матрица системы (2) может быть записана в виде суммы

k−r

1

+1

(X

j

, X

(1)

j

, . . . , X

(s)

j

).

Теорема 1. Справедлива формула

det(X

1

, X

(1)

1

, . . . , X

(s)

1

. . . X

M

, X

(1)

M

, . . . , X

(s)

M

=

= (1! 2! . . . s!)

M

1≤j

(ϕ(x

i

) − ϕ(x

j

))

(s+1)

2

M

i=1

ϕ (x

i

).

Доказательство. Доказательство проводится дифференцирова-

нием определителя Вандермонда det(X

1

, . . . , X

s+1

, . . . , X

M (s+1)

), по

входящим в него переменным x

j

, j = 1, . . . , M следующим образом:

один раз по x

2

, два раза по x

3

, . . ., s раз по x

s+1

и, полагая x

1

=

x

2

= . . . = x

s+1

, и т.д.

Рассмотрим теперь систему линейных алгебраических уравнений

X

1

, X

(1)

1

, . . . , X

(s)

1

, . . . , X

M

, X

(1)

M

, . . . , X

(s)

M

V = X ,

где вектор-функция V имеет вид

V = (v

1,0

, . . . , v

1,s

, . . . , v

M,0

, . . . , v

M,s

).

По теореме Крамера имеем

v

j,i

(t) =

det(. . . + (X

j

, X

(1)

j

, . . . , X

(i−1)

j

, X , X

(i+1)

j

, . . . , X

(s)

j

) + . . .)

det

1≤j ≤M

(X

j

, X

(1)

j

, . . . , X

(s)

j

)

,

j = 1, . . . , M , i = 1, . . . , s. Здесь определитель в числителе получается

из определителя в знаменателе заменой столбца X

(i)

j

на столбец X , в

120

первом из определителей выписана j-я группа столбцов, а остальные

группы обозначены многоточием.

Пусть s = 0. В этом случае m + 1 = M , имеем

ω

j,0

(t) =























j =j

k+1−r

l

≤j ≤k+r

ϕ(t) − ϕ(x

j

)

ϕ(x

j

) − ϕ(x

j

)

,

t ∈ [x

k

, x

k+1

),

k = j − r, . . . , j + r

1

− 1;

0,

t ∈ [x

j−r

, x

j+r

1

].

Приведенные здесь сплайны успешно использовались при реше-

нии соответствующих интерполяционных задач. Приведем результа-

ты численных экспериментов.

Пример. Пусть на промежутке [0, 1] задана равномерная сетка

узлов с шагом h = 0, 1.

Таблица 1. Результаты численного эксперимента для u(t) = e

sin(3t)

max

t∈[0,1]

|u(t) − u(t)|

ϕ(t)

s

r

1

= r

0, 1 · 10

−5

e

t

1

2

0, 2 · 10

−7

e

t

1

3

0, 6 · 10

−13

t

2

3

Таблица 2. Результаты численного эксперимента для u(t) = e

−t

2

max

t∈[0,1]

|u(t) − u(t)|

ϕ(t)

s

r

1

= r

0, 3 · 10

−8

e

t

1

2

0, 6 · 10

−11

e

t

1

3

Литература

1. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория минимальных сплайнов.

СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 316 с.

2. Бурова И.Г., Тимофеев В.А. Построение сплайнов ненулевой вы-

соты // Методы вычислений. Вып. 21. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005.

С. 31–39.

121

Давыденко А.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Условие вылета звезды из скопления

в галактическом поле

Рекомендовано к публикации доцентом Осипковым Л.П.

Введение. Исследование динамики звездных скоплений не явля-

ется тривиальным и определяется большим количеством факторов:

локальных и глобальных, случайных и постоянных. Так, на дина-

мику скопления оказывают влияние: поле скопления, галактическое

поле, возмущения, вызванные средой, в которой движется скопле-

ние и пр. В этом случае нахождение движения звезд, с учетом сово-

купности всевозможных возмущений, представляется ресурсоемким

процессом, более того, является малореализуемым. Часто бывает до-

статочным учитывать два фактора: поле скопления и галактическое

поле. Задачу о движении звезды в поле скопления и Галактики пер-

вым рассмотрел Бок [1].

Одним из способов исследования динамики скопления является

численное решение задачи N тел. При текущем уровне развития вы-

числительной техники этот подход является очень ресурсоемким.

В случае изолированного скопления, существуют критерии ухо-

да звезды из скопления. Так, уход звезды из скопления будет воз-

можен, когда значения интеграла энергии рассматриваемой звезды

будет превышать критическое значение (J > J

∗

). В случае, когда

движение звезды определяется как полем скопления, так и полем

Галактики, критерии ухода звезды из скопления для изолированно-

го скопления не всегда применимы. При выполнении условия ухода

из изолированного скопления звезда под действием поля Галактики

может оказаться связанной со скоплением. Данную задачу рассмот-

рели Хегги с соавторами [2]. Моделируя скопление точечной мас-

сой, они нашли достаточное условие вылета звезды из скопления. В

данной работе производится обобщение условия вылета звезды для

различных моделей скопления.

Уравнения движения. Будем рассматривать скопление, дви-

жущееся по круговой орбите в Галактике с круговой скоростью Ω

0

.

Предположим, что потенциал Галактики обладает ротационной и

зеркальной симметрией.

122

Введем неподвижную галактоцентрическую правую систему ко-

ординат (X, Y, Z). Начало отсчета данной системы совпадает с цен-

тром Галактики. Плоскость XY совпадает с плоскостью Галактики,

а ось Z перпендикулярна ей. Введем вращающуюся систему коорди-

нат (x, y, z). Начало данной системы совпадает с центром рассмат-

риваемого скопления. Здесь ось x направлена от центра Галактики,

ось y направлена в сторону движения скопления, а ось z параллельна

оси Z.

Для потенциала Галактики будем принимать приливное прибли-

жение:

Φ

g

=

1

2

(κ

2

r

x

2

− κ

2

z

z

2

).

Здесь κ

r

– так называемый приливной инкремент [3], κ

z

– частота

малых вертикальных колебаний.

Ограничимся исследованием движений в плоскости xy. Безраз-

мерные уравнения движения звезды в поле скопления и Галактики

запишутся в следующем виде

¨

x − γ ˙y − x =

∂Φ

∂x,

¨

y + γ ˙x =

∂Φ

∂y.

(1)

За единицу длины принят радиус критической поверхности Хил-

ла, за единицу времени – κ

−1

r

, за единицу массы – массу скопления.

Безразмерный параметр γ = 2Ω

0

/κ

r

определяет влияние поля Га-

лактики на скопление. Увеличение данного параметра соответствует

большему влиянию Галактики, а уменьшение, соответственно, боль-

шему влиянию скопления на движение звезд. На околосолнечном

расстоянии от центра Галактики γ

1, 28.

Для потенциала скопления Φ будем рассматривать следующие

модели:

—потенциал Шустера–Пламмера Φ(r) =

Φ

0

(1+

r2

a2

)

1/2

,

—потенциал скопления, представленный рядом Φ(r) =

∞

k=1

A

k

r

k

.

Вторая модель является более общей.

При допущениях, принимаемых в статье, анализ обеих моделей

проводится одинаково. Поэтому основные результаты будем приво-

дить для второй модели.

Под уходом звезды из скопления будем понимать такое движение,

при котором r → ∞ при t → ∞. В пределе при r → ∞ правую часть

123

уравнения (1) в первом приближении можно не учитывать. Тогда

решение принимает вид

x = −γC

2

−

g

y

C

3

cos gt +

g

γ

C

4

sin gt,

g =

γ

2

− 1,

y = C

1

+ C

2

t + C

3

sin gt + C

4

cos gt,

константы C

1

, C

2

, C

3

, C

4

определяются из начальных данных. За-

пишем решение в более удобном для анализа виде:

x = X + a cos gt + θ,

y = Y −

γ

g

a sin gt + θ,

(2)

где Y = Y

0

−

1

γ

Xt. Постоянные X, Y, Y

0

, a, θ определяются следущим

образом:

X = −C

2

γ,

Y = Y

0

−

1

γ

Xt,

Y

0

≡C

1

,

a = −

g

γ

C

2

3

+ C

2

4

,

tgθ =

C

4

C

3

.

Такое решение представляет движение звезды по эпициклической

орбите, а X, Y выполняют роль ведущего центра. Если учитывать

правую часть уравнений (1), то указанные величины будут меняться

со временем. Используя метод вариации постоянных, найдем выра-

жения для этих констант в общем виде:



























˙

X =

γ

g

2

∂Φ

∂y

,

˙

Y = −

1

γ

X −

γ

g

2

∂Φ

∂x

,

˙a = −

1

g

∂Φ

∂x

sin(gt + θ) −

γ

g

2

∂Φ

∂y

cos(gt + θ).

(3)

Подставляя в уравнение (3) используемый потенциал, получаем











































˙

X =

γ

g

2

y

∞

n=1

nA

n

(x

2

+ y

2

)

−

n+2

2

,

˙

Y = −

γ

g

2

x

∞

n=1

nA

n

(x

2

+ y

2

)

−

n+2

2

−

1

γ

X,

˙a = −

1

g

sin(gt + θ)

∞

n=1

nA

n

(x

2

+ y

2

)

−

n+2

2

−

−

γ

g

2

cos(gt + θ)y

∞

n=1

nA

n

(x

2

+ y

2

)

−

n+2

2

.

(4)

124

Подставим (2) в (4), будем учитывать только члены старших поряд-

ков, а также проведем усреднение по эпициклическому движению.

В результате получим:

˙

X = −

γ

g

2

A

1

β

Y

a

3

, ˙

Y =

γ

g

2

A

1

α

X

a

3

−

1

γ

X, ˙a = 0.

где

α =

1

2π

2π

0

γ

2

g

2

sin(τ )

2

− 2 cos(τ )

2

(cos(τ )

2

+

γ

2

g

2

sin(τ )

2

)

5/2

dτ,

β =

1

2π

2π

0

1

(cos(τ )

2

+

γ

2

g

2

sin(τ )

2

)

3/2

dτ.

Критерий ухода. Из уравнений (2) видно, что уход возможен

как при X > 0, в этом случае Y → − ∞, так и при X < 0, в этом

случае Y → + ∞. Из уравнений (3) видно, что хоть X и не являет-

ся константой, все же, с увеличением r изменения данной величины

уменьшаются. Идея критерия заключается в следующем: необходи-

мо наложить такие условия на начальные данные, чтобы X не могла

бы поменять со временем знак, и, таким образом, центр эпицикли-

ческого движения удалялся на бесконечность от центра скопления,

уводя с собой звезду.

Очевидно, что

r≥|y|≥|Y | −

γ

g

|a|.

(5)

Для того, чтобы обеспечить уход звезды из скопления, достаточно

показать, что R → ∞ при t → ∞, где

R = |Y | −

γ

g

|a|.

(6)

Выделим ограничения на начальные данные, с помощью которых

попытаемся оценить решение (3). Во-первых, R

0

> 0, во-вторых, X

0

и Y

0

должны иметь разные знаки, и в-третьих, должна существовать

положительная величина V , такая что R≥R

0

+ V t.

Заметим, что y не может менять знак (следует из первого и тре-

тьего условий и (5)), а сохраняет знак Y

0

, и, таким образом, y со-

храняет знак и X

0

(согласно второму условию). Отсюда, из первого

125

уравнения (3) имеем |X|≥|X

0

|, t≥0. Исследуя второе и третье урав-

нения в (3), получаем следующие оценки:

|Y |≥|Y

0

| +

1

γ

|X

0

|t +

γ

g

2

t

0

dτ

r

2

,

t≥0,

|a|≤|a

0

| +

1

γ

|X

0

|t −

g + γ

g

2

t

0

dt

r

2

,

t≥0.

Тогда из (6) следует

R≥R

0

+

1

γ

|X

0

|t +

γ

g

2g + γ

g

2

t

R

2

0

,

t≥0.

Это согласуется с последним условием, т.е.

3

2

|X

0

| +

γ

g

2g + γ

g

2

1

R

2

0

> V.

Критерий ухода звезды из скопления даёт

Утверждение. Для того, чтобы обеспечить уход звезды из

поля скопления, т.е. обеспечить выполнение условия R → ∞ при

t → ∞, достаточно, чтобы в момент времени t = 0, выполнялись

следующие условия: 1) R

0

> 0, 2) X

0

Y

0

< 0, 3) ∃V > 0 : R≥R

0

+ V t,

∀t > 0.

Литература

1. Bok B.J. The stability of moving clusters // Harvard College Observ.

Circular. 1934. № 384. P. 1–41.

2. Ross D.J., Mennim A., Heggie D.C. Escape from a tidally limited

star cluster // Mon. Not. Astron. Soc. 1997. Vol. 284. P. 811–814.

3. Кутузов С.А., Олемской И.В., Осипков Л.П., Старков В.Н. Ма-

тематические методы исследования космических систем. СПб.:

КМУ физ. ф-та СПбГУ, 2003. С. 155–178.

126

Демьянов И.С.

Санкт-Петербургский государственный университет

Оптимизационные модели в задачах

распознавания популяций

Рекомендовано к публикации доцентом Иголкиным В.Н.

1. Введение. Рассматривается следующая задача. В простран-

стве R

n

заданы две популяции Ω

1

и Ω

2

с плотностями распределения

вероятностей, соответственно, f

1

и f

2

:

f

1

(x) ≥ 0, f

2

(x) ≥ 0,

R

n

f

1

(x)dx =

R

n

f

2

(x)dx = 1.

Будем предполагать, что функции f

1

и f

2

непрерывны на R

n

. Тре-

буется найти правило, по которому точка x ∈ Ω

1

∪ Ω

2

идентифици-

руется как точка из популяции Ω

1

или из популяции Ω

2

. Подобные

задачи возникают, например, в теории распознавания образов и в

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: