ӘДЕБИЕТТІ ТАЛДАУ ЖӘНЕ ӘДІСТЕМЕСІ

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
412 
10 
 
2 
 
2 
 
 
 
келіп шығады. 
2).
f 
(
x
) 
= 0 теңдеуді шешеміз. 
x
(
x
2
)(
x
2
)
= 0 
x 
= 0, 
x 
= 
және 
x 
=
. 
3).
Функцияның графигін салайық. (1-сурет) 
1-сурет 
Функцияның бес монотонды интервалдары:1)
(
; 
x
1
] 
, 2)
[
x
1
; 
x
2 
] 
, 3)
[
x
2 
; 
x
3 
] 
, 4) 
[
x
3
; 
x
4
]
, 5) 
[
x
4
; + 
) 
. 
Демек, 
y 
= 
c 
түзу сызығы 
f 
(
x
) 
функциясын ең кӛбі бес нүктеде қиып ӛте алады. 
[
x
1
; 
x
2 
] ([
x
1
; 
x
2 
]
(
1;1
)) 
монотонды интервалында бірегей
x 
= 0 бүтін сан бар. 
Демек, 
c 
= 0 болғанда 
f 
(
x
) 
= 
c 
теңдеудің ең кӛбі бес бүтін шешімі болуы мүмкін. 
Ал 
f 
(
x
) 
= 0 теңдеуінің 
x 
= 0 және 
x 
= 
барлық шешімдері бар. Бұл шарт 
f 
(
x
) 
= 
c 
теңдеуінің бес бүтін шешімі жоқ дегенді білдіреді. 
Функцияның туындысын кейбір стандартты емес есептерге қолдану. 
Бұл 
бӛлімде функцияның туындысын кейбір күрделі есептерді 
қарастырамыз. 
шешуге қолдануды 
1-теорема. 
ABCD 
тіктӛртбұрышында еркін
М 
нүктесі берілген, егер 
AB 
= 
a 
, 
AD 
= 
b 
, 
 
1 бол са, онда 
a)
max
{
MA 

+
MB 

+
MC 

+
MD 
 
}
= 
a

+ 
b

+ 
( 
a 
2
+ 
b
2
 
a 
2
+ 
b 
2
)

; 
b)
min
{
MA 

+ 
MB 

+ 
MC 

+ 
MD 
 
}
= 4
4 
теңдігі орынды болады. 
Дәлелдеу. 
M 
нүктеден 
KN 
AB 
, 
PQ 
AD 
 
кесінділерін 
ӛткізейік (1-сурет). 
Айталық, 
AK 
= 
x 
, 
MK 
= 
y 
болсын. 
M 
нүктесі тӛртбұрышта болғандығы үшін 0
x 
a 
, 0
y 
b 
болады. Пифагор теоремасы бойынша: 
MA
+ 
MB 
+ 
MC 
+ 
MD 
= 
(
x 
+ 
y
)
2
+ 
(
(
x 
a
) 
+ 
y
)
2
+ 
+ 
(
(
x 
a 
)
2
+ 
(
y 
b
)
2 
)
2
+ 
(
x
2
+ 
(
y 
b
)
2 
)
2
. 
 
 
 
2 
2 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
413 
b
2 
2 
2 
2 
 
 
 
 
P
(
x
,0
) 
= 
P
(
x
, 
b
) 
= 
x

+ 
(
a 
x
)

+ 
(
(
x 
a
)
2
+ 
b
2
)
2
+ 
(
x
2
+ 
b
2
)
2 
Бұл белгіні енгізе отырып, біз келесі екі жағдайды қарастырамыз. 
P
(
x
, 
y 
) 
= 
(
x 
2
+ 
y 
2
)
2
+ 
(
(
x 
a
)
2
+ 
y 
2
)
2
+ 
(
(
x 
a
)
2
+ 
(
y 
b
)
2 
)
2
+ 
(
x 
2
+ 
(
y 
b
)
2 
)
2
1-жағдай. 
y 
= 0 
немесе 
y 
= 
b 
2-сурет 
болсын. Бұл жағдайда 
болғандықтан тек 
P
(
x
,0
) 
 
 
екенін түсіну жеткілікті. 
P
(
x
,0
) 
 
 
функциясые 
(
0, 
a
) 
аралығында 
x-
ке 
қатысты 
бірінші 
және 
екінші 
туындыларды 
есептейміз: 
P
'
(
x
,0
) 
= 
x 
–
(
a 
x
) 
+ 
(
x 
a
)
(
(
x 
a
)
+ 
b
)
2
+ 
x
(
x 
+ 
b
)
2 
 
 
2 
2 
 
2 
2 
 
P
''
(
x
,0
) 
= 
(
 
)
(
x 
 
– 
(
a 
x
)
 
)
+ 
(
(
x 
a
)
2
+
2 
)
 
2 
(
(
 
)(
x 
a
)
2
+ 
b 
)
+ 
P
''
(
x
,0
) 
0 
болғандықтан 
+ 
 
(
x
2
+ 
b
2
)
 
2 
(
(
 
1
)
x
2
+ 
b
2
)
. 
P
'
(
x
,0
) 
функция 
(
0, 
a
) 
аралығында ӛспелі. Сол себепті 
P
'
(
x
,0
) 
= 0 теңдеуінің 
(
0, 
a
) 
аралығында ең кӛбі бір шешім болуы мүмкін. 
P
'
a 
, 0 
= 0 
болғандықтан, жалғыз шешімі - 
x 
= 
a
 
 
. 
Демек, 
P
(
x
,0
) 
функция 
0, 
a 
кесіндісінде 
2 
2
кемиді,
a 
, 
a
кесіндісінде ӛседі. Осыған сүйене отырып, біз келесі теңдеулерді аламыз: 
2 
max 
P
(
x
, 0
) 
= 
P
(
0, 0
) 
= 
P
(
a
, 0
) 
= 
a
 
+ 
b
 
+ 
x a 
a
2
+ 
b
2
)
 
, 
 
a 
a 
 
 
a 
2
2
min 
P
(
x
, 0
) 
= 
P
, 0 = 2
+ 2
+ 
b
2
. 
x
a 
2 
2
2
2-жағдай. 0
y 
b 
болсын. Бұл жағдайда 
у 
айнымалысын тағайындаймыз және 
х
-ке қатысты функциясының бірінші және екінші туындыларын есептейміз: 
P
'
(
x
, 
y 
) 
= 
x
(
x 
2
+ 
y 
2
 
2 
+ 
 
(
x 
a
)
(
(
x 
a 
)
2
+ 
y 
2
 
2 
+ 
( 
) 
) 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
414 
2 
2 
 
 
 
 
b 
 
+ 
 
(
x 
a
)
(
(
x 
a 
)
2
+ 
(
y 
b
)
2
 
2 
+ 
x
(
x 
2
+ 
(
y 
b
)
2
 
2
, 
P
''
(
x
, 
y 
) 
= 
 
(
x 
2
+ 
y 
2
 
2 
2 
(
x 
2
(
 
)
+ 
y 
2
)
+ 
+ 
 
(
(
x 
– 
a
)
2
+ 
2 
)
 
2 
(
( 
– 
a
)
2 
(
 
1)
 
+ 
y 
2 
)
+ 
+ 
 
(
(
x 
– 
a
)
2
+ 
(
y 
–
)
2 
)
 
2 
(
(
 
1
)(
x 
– 
a
)
2
+ 
(
y 
– 
b
)
2 
)
+ 
+ 
 
(
x 
2
+ 
(
y 
b
)
2
 
2 
(
x 
2
(
 
1
)
+ 
(
y 
b
)
2 
)
. 
Жоғарыда орындалған жұмысты қайталай отырып, бұл 
max 
P
(
x
, 
y
) 
= 
P
(
0, 
y
) 
= 
P
(
a
, 
y
) 
= 
y
 
+ 
(
a
2
+ 
y
2
)
2
+ 
(
a
2
+ 
(
y 
b
)
2 
)
2
+ 
(
b 
y
)
 
x a 
 
a 
a 
2
 
a 
2 
2 
min 
P
(
x
, 
y
) 
= 
P
, 
y 
= 2
+ 
y 
2
+ 2
+ 
(
y 
b
)
2
x
a 
2 
теңдігін қалыптастырамыз. 
Ары қарай 
2
2
f 
(
y
) 
=
y

+ 
(
a 
2
+ 
y 
2
)
2
+ 
(
a 
2
+ 
(
y 
b
)
2 
)
2
+ 
(
b 
y 
)
 
, 
a 
2
 
 
2 
a 
2 
2 
g
(
y
) 
= 2
+ 
y 
2
+ 2
+ 
(
y 
b
)
2
2
2
кӛмекші функцияларды енгіземіз. Бұл функциялар үшін 
max 
f 
(
y
) 
және 
x b 
min 
g 
(
y 
) 
x b 
есептейміз. Осы мақсатта, 
(
0,
b
) 
интервалында, 
f 
(
y
) 
және 
g
(
y
) 
функциялардың бірінші 
және екінші ретті туындыларын есептейміз: 
f 
' 
(
y 
) 
= 
y 
 
 
+ 
y
(
a 
2
+ 
y 
2
 
2 
+ 
 
(
y 
b
)
(
a 
2
+ 
(
y 
b
)
2
 
2 
– 
 
(
b 
y 
)
 
1 
, 
f 
' '
(
y 
) 
= 
 
(
 
)
y 
 
 
2 
+ 
 
(
a 
2
+ 
y 
2
 
2 
2 
(
a 
2
+ 
(
 
)
y 
2
)
+ 
+ 
 
(
a 
2
+ 
(
y 
b
)
2
 
2 
2 
(
a 
2
+ 
(
 
)(
y 
b
)
2
 
)
+ 
 
(
 
1
)(
b 
y 
)
 
2 
, 
 
a 
2
2 
a 
2
2
g
'
(
y
) 
= 2
y
+ 
y 
2
+ 2
(
y 
b
)
+ 
(
y 
b
)
2
, 
2
a 
2
 
2 
2
a 
2
g
' '
(
y
) 
= 2
+ 
y 
2
+ 
(
 
)
y 
2
+ 
2
a 
2
 
2 
2
a 
2
+ 2
+ 
(
y 
b
)
2
+ 
(
 
1
)(
y 
b
)
2
. 
Осы ӛрнектерден 
2
0
y 
b 
болғанда 
2
f 
' '
(
y
) 
0 , 
g
''
(
y
) 
0 
және 
f 
'
b 
= 0
, 
g 
'
b 
= 0 
2 
шығады. Демек, 
f 
(
y
) 
және 
g
(
y
) 
функциялары 
y 
= 
b
 
2 
2
нүктесінде ӛзінің ең кіші 
мәндеріне жетеді және кесіндінің шеткі нүктелерінде ең үлкен мәндерге жетеді, атап 
айтқанда 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
y 
x 

жүктеу/скачать 12,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: