Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика


EXPANSION OF A MODEL BY UNARY EXTERNALLY DEFINABLE SET AND



Pdf көрінісі
бет9/527
Дата14.10.2023
өлшемі12,2 Mb.
#114644
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   527
Байланысты:
TaimanovMatem

EXPANSION OF A MODEL BY UNARY EXTERNALLY DEFINABLE SET AND 
NEIGHBORHOOD OF ELEMENT IN TYPE 
 
B.S.BAIZHANOV AND F.SARGULOVA 
Institute of Mathematics and Mathematical Modeling 
 
External definability. 
Let ɱ be elementary substructure of ɲ. It is said that pair of models 
is beautiful, if 
ɲ 
is saturated over M. Let 
α
¯

N
\

and 
p
:= 
tp
(
α
|
M
). Then for any formula 
ψ
(
x
¯
,y
¯) 
define the predicate 
R
(
ψ,p
)(
y
¯) on the set 
M
,|=
R
(
ψ,p
)(
a
¯) i
ff 
ψ
(
x
¯
,a
¯)

tp
(
α
¯|
M
) i

ɲ|=
ψ
(
α
¯
,a
¯). Denote 
by ɱ
+
=

M

+
⟩ 
where Σ
+
:= { 
R
(
ψ,p
)(
y
¯) | 
p

S
(
M
)


Σ}. 
Let ɱ be a model of an arbitrary complete theory T of the signature Σ. We say that 
ɱ
+
is 
expansion of ɱ by type 
p

S
1
(
M
), if 
ɱ
+
:=

M

+

, where

+
:={
R
(
ψ.p
)(
y
¯)|
ψ

Σ}. 


We say that 
ɱ
+
admits uniformly representation 
of 

+
-formulas by Σ-formulas, if for 


any formula 
ϕ
(
y
¯) of 

+
there exists Σ-formula 
K
ϕ
(
y
¯
,z
¯), there exists 
α
¯

N
\
M
such that for any 
a
¯ 


the following holds: 
ɱ
+
|=
ϕ
(
a
¯)
⇐⇒
|=
K
ϕ
(
a
¯

¯)

 
Approach of Macpherson-Marker-Steinhorn. 
In the paper [1] (preprint 1994 Macpherson- 
Marker-Steinhorn proved weak o-minimality of the expansion of an o-minimal structure by 
unary convex predicate, such that the predicate is traversed by a uniquely realizable 1-type. 
Following D. Marker [5], an uniquely realizable 1-type 
p

S
1
(
M
) over model is that prime model 
over model and one realization of this 1-type 

contains just this element from the set of 
realization of the type. An uniquely realizable 1-type has the next property: there is no definable 
functionacting on the set of realizations of this 1-type 
p
. Macpherson-Marker-Steinhorn 
considered at the same time two structures 
ɱ 
+
=

M


{U
1
}

and ɲ =

M


, where ɲ is a model of 
an o-minimal theory of the signature Σ and a saturated elementary extension of 
ɱ
. They defined 
a new unary convex predicate U by using an element α 
∈ 
N \ M from the set of realizations of an 
irrational 1−type 
p

S
1
(
M
) such that for every 
a
∈ 
M the following holds: 
ɱ 
+
|=
U
(
a
)

ɲ|=
a<α

Thus, any Σ
+
-
M
-1-formula
ϕ
(
x,a
¯) has the set of its realizations,
ϕ
(
ɱ
+
,a
¯)=
K
ϕ

,a
¯)

M

being a finite union of convex sets because 
K
ϕ

,a
¯) is a finite union of intervals and points. The 
elementary theory of 
ɱ 
+
is weakly o- minimalsince the number of convex sets is bounded and 
consequently does not depend on parameters. 
Approach of B.S.Baizhanov. 
For the case when 
p

S
1
(
M
) is a non uniquely realizable 
type, B.S. Baizhanov proposed [2] (1995), on the base of theory of (non)orthogonality of 1-types 




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   527




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет