«Вітчизняна наука: сучасний стан, актуальні проблеми та перспективи розвитку»

142 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 


j
i
EF
CF
k
dt
dD
;

, 
где 
dD
 
–
 
показатель порчи, 
t
 
–
 
время, 
k
 
–
 
кинетическая константа.
 
Это  уравнение  означает,  что  кинетическая  константа 
k
 
является  функцией  этих  факторов,  однако  на 
практике  такая  всеобъемлющая  кинетическая  модель  не  требуется.  Для  практического  прогнозирования  срока 
хранения в реальных условиях модель должна включать только те факторы, которые изменяются в ходе хранения 
 
i
SF
. Поэтому такая практическая модель может иметь следующий вид:
 
 
i
SF
k
dt
dD

. 
Перечень 
i
SF
 
должен  включать  такие  факторы,  как  температура,  содержание  влаги,  освещённость, 
состав продукта и т.д., и только в том случае, если они меняются в ходе хранения. Кинетическая же модель 
ASLT 
может  отличаться  от  модели,  обычно  применяемой  для  прогнозирования  стабильности  продукта  в  реальных 
условиях,  поскольку  модель 
ASLT 
должна  содержать  две  группы  факторов: 
i
SF
 
–
 
факторы,  изменяющиеся  в 
процессе  хранения,  и 
j
AF
 
–
 
факторы,  применяющиеся  для  увеличения  скорости  реакции.  Таким  образом, 
кинетическая модель 
ASLT 
имеет следующий вид:
 


j
i
AF
SF
k
dt
dD
;

. 
Очевидно, что для увеличения скорости реакции может быть использован любой фактор, изменяющийся в 
ходе хранения.
 
При  работе  с  кинетической  моделью  для  начала  необходимо  решить,  сколько  факторов  следует 
использовать  для  ускорения  процесса  порчи,  а  также  какие  из  них  выбрать.  Использование  нескольких  факторов 
ускорения –
 
эффективный способ получения высокого коэффициента ускорения процесса порчи при минимальной 
цене  ошибки  прогноза.  Для  иллюстрации  этого  факта  рассмотрим  случай  кинетической  модели,  имеющей 
следующий вид:
 



2
1
2
1
2
2
1
1
F
F
c
c
F
c
F
c
K


, (1) 
где 
1
c
и 
2
c
 
–
 
оцениваемые параметры ускоряющих факторов 
1
F
и 
2
F
 
соответственно.
 
Определим  коэффициент  ускорения 
 
AR
 
как  отношение  скорости  ускоренной  реакции  к  скорости 
реакции  в  реальных  условиях  хранения.  При  линейной  зависимости  между  кинетической  константой  и  фактором 
ускорения значение коэффициента ускорения определяется выражением:
 
s
e
Y
Y
AR

, 
где 
e
Y
 
–
 
истинное
 
значение  кинетической  константы,  полученное  на  основании  экспериментальных 
данных при значении фактора 
e
X
, 
s
Y
 
–
 
истинная скорость реакции при реальных условиях хранения 
s
X
. Тогда
 
a
X
X
Y
Y
s
e
s
e



 
–
 
угловой коэффициент прямой, соединяющей точки 


e
e
Y
X ;
 
и 


s
s
Y
X ;
, и
 
s
e
X
X
Y
a




. 
Если 
p
Y
 
–
 
прогнозируемое  значение  кинетической  константы,  вычисленное  на  основании 
экспериментальных  данных,  то 
s
p
Y
Y
Y



 
и,  следовательно,  относительная  ошибка  прогнозируемого 
значения кинетической константы составляет:
 


1




AR
a
a
Y
Y
s
. (2) 
Для  оценки  ошибки  кинетической  константы,  вызванной  ошибкой  в  оцениваемых  параметрах, 
продифференцируем уравнение (1) по этим параметрам:
 
2
2
1
1
1
2
1
2
dc
F
F
c
dc
F
F
c
dK


 (3) 
После деления уравнения (3) на уравнение (1) и учитывая уравнение (2), оцениваемую ошибку находим из 
условия:
 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
143 
 
 




2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
RE
AR
RE
AR
c
c
c
c
k
k









, (4) 
где 
1
RE
 
и 
2
RE
 
–
 
экспериментальные относительные ошибки для факторов 
1
F
 
и 
2
F
 
соответственно.
 
Таким  образом,  один  фактор,  дающий  100
-
кратное  ускорение  процесса  порчи,  можно  заменить  двумя 
факторами,  каждый  из  которых  характеризуется  коэффициентом  ускорения,  равным  10.  Снижение  коэффициента 
ускорения  на  порядок  существенно  снижает  ошибку  экстраполяции.  Так,  например,  если  ошибка  при  оценке 
параметра  модели  для  каждого  из  этих  двух  факторов  составляет  только  1%,  то  экстраполируемые  данные  в 
случае одного фактора могут отличаться от фактических значений на 99% (следует из уравнения (2)), тогда как для 
двух  факторов  возможное  отклонение  составит  лишь  18%  (уравнение  (4)).  Это  обусловлено  тем,  что  при 
использовании в модели двух и более факторов их коэффициенты перемножаются, а ошибки лишь суммируются.
 
Таким  образом,  необходимый  относительно  небольшой  коэффициент  ускорения  достигается  за  счёт 
значительно  меньшего  изменения  уровня  кинетических  факторов,  и  поэтому  система  оказывается  более 
приближённой к реальным условиям хранения.
 
 
Литература:
 
1. 
Р.
 
Стеле. Срок годности пищевых продуктов: Расчет и испытание/ Р.Стеле; [пер. с англ. В.Широкова под общ. 
ред. Ю.Г.Базарновой]. –
 
СПб.: Профессия, 2008. –
 
480 с., ил., табл., сх.
 
2. 
К.  де  В.  Блекберн.  Микробиологическая  порча  пищевых  продуктов  /  К.  де  Блекберн;  [пер.  с  англ.]  –
 
СПб.: 
Профессия, 2008. –
 
784 с., табл., ил.
 
3.  LABUZA, T.P., SCHMIDL, M.K. Accelerated shelf-life testing of foods // Food Technol.,1985, 39, 57-62, 64. 
4.  AMANATIDOU,  A.,  BARANYI,  J.,  GORRIS,  L.  G.  M.,  SMID,  J.  M.  Coexistence  of  spoilage  microorganisms  in  a  food 
system can be quantified by means of mathematical models //Proceedings Food Micro., 17
th
 International Symposium of 
the International Committee on Food Microbiology and Hygiene, Veldhoven, 13-17 Sept. 1999. 
–
 1999. 
–
 P.885-887. 
 
 
Юлия
 
Гунина, Жанна Костенко, Ольга Зюзина
 
(Краснодар, Россия)
 
 
ПРИМЕНЕНИЕ ТОЧНОГО ТЕСТА ФИШЕРА ДЛЯ СЛУЧАЯ ДВУХ
 
НЕЗАВИСИМЫХ ВЫБОРОК В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ
 
 
Ночное  дыхание  большого  города  никогда  не  бывает  ровным:  тишину  парков  и  аллей  прорезают  звуки 
машин,  смех  и  голоса  ночных  прохожих,  мелькают  блуждающие  огоньки  сигарет,  в  светящихся  окнах  движутся 
тени... В спящих домах тоже не совсем спокойно –
 
они дышат снами своих обитателей, и не всегда эти сны бывает 
тихими и безмятежными.[
1
] Люди пытаются бороться с  храпом с незапамятных времен. Это  и понятно: ведь  храп 
является симптомом некоторых заболеваний, мешает полноценному сну и отдыху миллионов людей каждую ночь. 
Мало  того,  храп  представляет  собой  еще  и  серьезную  проблему  для  тех,  кто  оказывается  рядом.  По  статистике 
храпом  страдает  каждый  пятый  человек.  Чаще  всего  эта  досадная  особенность  становится  причиной  бессонницы 
тех,  кто  вынужден  слышать  ночные  «рулады».  Но  и  храпунам  приходится  несладко.  Ведь  храп  является 
показателем проблем с организмом. По каким же
 
причинам он возникает? Причины возникновения храпа беспокоят 
не только тех, кто поневоле становится заложниками нарушения ночной тишины. Они актуальны и для нарушителей 
спокойного  сна.  Храп  вызывает  появление  сердечнососудистых  заболеваний,  повышает  утомляемость  и 
депрессивные состояния. Часто человек спит плохо, так как он сам или спящий возле него храпит. Если человек, 
лишенный сна, управляет автомобилем, он становится потенциальной угрозой движению, так как часто засыпает за 
рулем. [2]
 
С  целью  выявления
 
зависимости  позы  во  время  сна  и  храпом  по  ночам  нами  был  проведен 
социологический  опрос,  где  объектом  исследования  послужил  контингент  людей  старше  30  лет.  В  итоге  было 
опрошено  40  человек,  из  них  22  женщины  и  18  мужчин,  полученные  результаты  представлены
 
в  таблицах  1
-
2  и 
проиллюстрированы в диаграмме.
 
Таблица 1 –
 
Результаты, полученные в результате опроса женщин
 
 
 
 
 
 
 
 
Таблица 2 –
 
Результаты, полученные в результате опроса мужчин
 
 
Храпят
 
Не храпят
 
Итого
 
Предпочитают спать на спине
 
2 
6 
8 
Предпочитают спать не на 
спине
 
8 
2 
10 
Итого
 
10 
8 
18 
 
Храпят
 
Не храпят
 
Итого
 
Предпочитают спать на спине
 
3 
11 
14 
Предпочитают спать не на 
спине
 
7 
1 
8 
Итого
 
10 
12 
22 

144 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
Диаграмма, иллюстрирующая табличные данные:
 
 
Применение точного теста Фишера для случая двух независимых выборок в повседневной жизни является 
новизной
 
данной  работы.  Поставленную  задачу  можно  было  решать  с  помощью  хи  квадрат  и  точным  тестом 
Фишера.  Поскольку  число  значений  меньше  30,  то  наиболее  адекватным  является  точный  тест  Фишера, 
позволяющий вычислять точные значения вероятностей появления тех или иных событий. [3]
 
С учетом полученных данных были вычислены соответствующие вероятности как для женщин (p = 0,0045), 
так и для мужчин (p = 0,029).
 
Однако для точного вычисления вероятности этого не достаточно, поэтому перед тем как воспользоваться 
компьютерной программой для статистической обработки
 
данных SPSS Statistics, был выбран уровень значимости 
α=0,05 и сформулированы следующие гипотезы:
 

 
Н
0
: Число случаев храпа одинаково для людей, спящих на спине, и для людей, спящих в других позах.
 

 
Н
1
: Число случаев храпа не одинаково для тех, кто спит на спине, и для тех, кто спит в других позах.
 
С помощью этой
 
программы нами был получен следующий результат: у женщин  уровень значимости для 
односторонней  критической  области  он  составлял  0,005,  а  у  мужчин  –
 
0,031  и  для  двусторонней  критической 
области –
 
0,006 и 0,054 у женщин и мужчин соответственно.
 
Сравнивая полученные результаты со значением выбранного уровня значимости, мы пришли к выводу, что 
нулевой гипотезой следует пренебречь и принять альтернативную гипотезу. Отметим, что число случаев храпа не 
одинаково для тех кто спит на спине, и для тех, кто спит в других позах.
 
 
Литература
: 
1.  http://www.km.ru/zdorove/2012/09/21/serdtse-i-serdechno-sosudistye-zabolevaniya/692840-khrap-prichiny-i-sposoby-ustra
.  Дата 
обращения: 12.04.2013 г.
 
2.  http://www.bezhrapa.com 
Дата обращения: 12.04.2013 г.
 
3. 
Резник А.Д. Книга для тех, кто не любит статистику, но вынужден ею пользоваться. Непараметрическая 
статистика в примерах, упражнениях и рисунках. –
 
СПб.: Речь, 2008. –
 
256 с.: илл.
 
 
Научный руководитель
: 
ассистент кафедры прикладной математики
, 
ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический 
университет»,
 
Зюзина Ольга Николаевна
. 
 
 
Айгуль
 
Жунусова
 
(Талдыкорган, Казахстан)
 
 
 
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
 
 
1. Постановка задачи
 
Рассмотрим движение какой
-
либо системы по второму закону Ньютона с помощью системы вида:
 
 
)
,
(
t
x
t
X
dt
dx

 (1) 
где, 

t
время, 
 
t
x
x

- 
неизвестная функция, которая определяет движение в пространстве.
 
В общем случае для любого движения функцию 
 


t
x
t
X ,
 
найти сложно, потому что по второму закону 
Ньютона для уравнения:
 


x
x
t
F
x
m



,
,
 
нахождение точных значении 
x

 
и 


x
x
t
F

,
,
 
невозможно.
 
Пусть, движение описывается системой:
 
 


 


t
y
t
t
y
t
X
dt
dy
,
,



 . (2) 
Допустим что 
)
(t
x
- 
решение (1), а 
 

t
y
 
решение (2).
 
)
(
)
(
)
(
t
z
t
y
t
x


, 
0
5
10
15
Мужчины 
Женщины 
Храпят  

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
145 
 
 

)
(t
z
возмущения [1,с. 14].
 
)
(
)
(
)
(
t
z
t
y
t
x


 . (*) 
Подставим (*) в (1) , тогда:
 
 
 


 
)
,
(
))
(
,
(
)
(
)
(
,
1
t
z
t
X
t
y
t
X
t
z
t
y
t
X
t
z
t
y







. 
Из (2) находим:
 
 
 


 


t
y
t
X
y
t
y
t
,
,




, 
найденное подставляем в (3) и окончательно получаем:
 
 
 


 


t
y
t
t
z
t
X
t
z
,
,
1




. (4) 
Если решение системы (4) для 
t

 
не превосходит какого
-
либо 

: 
 


t
z
, (5) 
то выполняется следующее неравенство:
 
 




)
(
)
(
t
z
t
x
t
z
. 
Итак, решение (4) при 
t

 
выполняется неравенство 
 


t
z
 
то частное решение 
 
t
x
x

 
системы 
(1) будет устойчивым. Если выполняется условие,
 
 
0
lim



t
z
t
 (6) 
то (1) асимптотически устойчиво.
 
В  дальнейшем  мы  будем  рассматривать систему  дифференциальных  уравнений  возмущенного  движения 
[2,c
. 47]. Пусть,
 
Ax
dt
dx

, (7) 
определено в малой окрестности 
0

x
. Рассмотрим следующую систему вида [3, с.133]:
 
 
x
Ax
dt
dx



 (8) 
где, 
 
 


2
x
o
x

по  сравнению  с 
2
x
 
малое  значение  высшего  порядка.  Решение  (8)  –
 
системы 
будет  таким  же  как  и  решение  (7)  –системы,  если  матрица 
A
 
будет  линейно  независимой,  т.е. 
0

A
,  в 
противном случае их решения будут разными.
 
В малой окрестности
 
h
x

 
выполняется:
 
 
 
2
)
(
,
x
O
x
t
A
x
t
X


. 
Итак, (1) примет следующий вид:
 
 
2
)
(
x
O
x
t
A
dt
dx


 . (9) 
 
2. Устойчивость по первому приближению
 
Рассмотрим систему вида:
 
x
t
A
dt
dx
)
(

. (10) 
(10)  будет  системой  дифференциальных  уравнении  по  первому  приближению  для  (1).
 
На  основании 
изложенного  А.М.  Ляпунов  ставит  задачу  об  устойчивости  по  первому  приближению.  А  именно  если  система  (10) 
будет  устойчива  то  каким  условиям  должны  удовлетворять  матрица 
)
(t
A
 
и 
)
(
2
x
O
для  устойчивости  (1)
-
ой 
системы . Решение этой задачи и называют устойчивостью по первому приближению.
 
Пусть, (1) не зависит явно от 
t
, и система примет вид:
 
)
(x
X
dt
dx

. (11) 
(11) можно записать в виде
 
Ax
dt
dx

, (12) 
или
 

146 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
 
x
Ax
dt
dx



 (13) 
где, 
 
 
2
x
O
x


. 
C
At
x
Adt
x
dx
Ax
dt
dx




ln
 
At
Ce
x

- 
функция матрицы (14)
 
Разложим по элементам матрицы функцию 
At
e
, тогда:
 

















n
x
x
X
.
.
.
1
, 



















t
t
At
n
e
e
e


.
.
.
1
 , 
отсюда,
 










t
n
n
t
t
n
e
C
x
e
C
x
e
C
x



.........
..........
2
1
2
2
1
1
 (15) 

i

собственные числа матрицы 
A
. 
0


E
A

. 
Пусть, 

i

собственные числа матрицы 
A
 
удовлетворяют условиям, 
0

j

 
при 
n
j
j
,
1
/


, тогда 
каким условиям удовлетворяет 
 
x

 
для  устойчивости решения (13).  Для этого найдем 
C
 
таким, чтобы 
At
Ce
t
x

)
(
 
было решением (13). 
Итак,
 
 
 
 
 
 




















At
At
At
At
At
At
At
At
At
At
At
At
Ce
e
T
t
dt
e
Ce
C
e
e
C
Ce
ACe
ACe
e
C
CAe
e
C
t
x
 
если  выполняется  это  неравенство,  тогда  (11)  будет  устойчивым  по  первому  приближению.  Если 
выполняется
 
 
0
lim




At
At
t
Ce
e

, (16) 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
147 
 
 
тогда (11) будет асимптотически устойчивым по первому приближению.
 
 

жүктеу/скачать 9,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: